數學科

在探究騎士過城堡的棋盤格遊戲中，我們發現棋盤設計巧妙，玩家可以從任意棋盤格出發，利用西洋棋中騎士的L形走法，跳過棋盤上的每一格且僅能跳一次，最終返回起始點以通過城堡。本研究的目的是在4x4棋盤格中，找出符合遊戲規則的棋格圖形。首先探討3x3棋盤中任意兩格與其路徑圖形之間的關係，發現了路徑與圖形間的相對關係，將此發現應用於4x4棋盤，並以「路徑探戡法」通過Python程式分析生成棋盤格圖形的路徑，刪除不符合遊戲規則的圖形，合併重複、對稱和旋轉對稱圖形。最後篩選出的棋盤格圖形，依棋盤格子數量分類：8格的有1個、10格的有8個、12格的有9個、14格的有1個，總共19個符合遊戲條件的棋盤格圖形。

本文探討雙圓軌跡繞行函數𝑆𝑎,𝑏,𝑟(𝑡)≔(cos 𝑎𝑡+𝑟cos 𝑏𝑡,sin 𝑎𝑡+𝑟sin 𝑏𝑡) 的圖形特徵及拓樸性質，利用GeoGebra繪圖觀察圖形模式，並使用微積分等分析學的手法進行證明。 本文主要分為兩個部分進行探討，分別研究變動𝑎,𝑏和變動𝑟造成的現象。第一部分關於𝑎,𝑏的討論發現當𝑎/𝑏為有理數時，圖形將有明顯的週期性結構，因此我們定義並討論此函數的代數週期及幾何週期。當𝑎/𝑏為無理數時，圖形將不再有週期結構，然而其圖形卻會在一環狀區域𝐷𝑟中稠密，並且圖形的補集也會在𝐷𝑟中稠密。第二部分關於𝑟的討論，發現當𝑟在某些特定值時，圖形將產生尖點，並且此尖點可作出通過原點的圖形切線。

本作品研究「從幾何圖形問題探究如何以最多或最少的路徑轉折次數通過各類幾何圖形的所有中心」，同時解決科學研習雙月刊的問題。主要將該主題分為：研究各類幾何圖形路徑轉折處只能在中心、路徑轉折處只能在頂點與路徑轉折處在中心與頂點給定依序輪流條件時，路徑轉折次數的最大值及最小值與邊格數之關係，更可延伸探討長方體及矩形不同路徑走法組合。再者，由路徑的行進方向發現，在將各類幾何圖形的路徑方向化為代數後，可將路徑過程表示為一個代數列。若代數列相鄰的兩項為相同代數，則該路徑為一直線；若相鄰的兩項為不相同代數，則該路徑為路徑轉折處。比較至代數列的最後一項，即可找出該幾何圖形的路徑轉折次數，並用代數列驗證其一般式。

本研究旨在探討科學研習月刊62-2期中「鳩佔鵲巢」的問題。首先小斑鳩編號是0，喜鵲編號1、2、3、4、5，沿著圓周排列，探討餵食的順序為選第一隻編號k喜鵲餵食，下一隻被餵食的鳥是由這隻鳥開始，順時針接著沿著圓周數的第k隻鳥。接著編號r喜鵲，再由這隻鳥開始沿著圓周數的第r隻鳥，以此類推。但若餵到編號0斑鳩，會將食物吃光。探討喜鵲n隻，當食物n份、無限多份時，以及當餵食順序為順時針、逆時針交替時，所有喜鵲都吃到食物，其「位置排序」和小鳥數量之間的數學關係。並延伸討論(1)當斑鳩二隻位置相鄰時，(2)當喜鵲吃完一份食物後即飛走時。食物n份、所有喜鵲都吃到食物，其「位置排序」和小鳥數量之間的數學關係。

2021年Todor Zaharinov在數學雜誌上提供了一道幾何證明題，題目為「給定任意三角形𝐴𝐵𝐶與動點𝑃，以𝑃點和三角形邊（或其延長線）上的點，構造三個旁接三角形，並使得𝐴、𝐵、𝐶點分別為其重心，再取旁接三角形的頂點構造兩個 衍伸三角形，證明衍伸三角形恆面積相同」。 我們的研究在原題構造中發現了新性質，並創新將其中的「重心」更換為其他形心構造與剖析，並關心衍伸三角形的面積關係，更探討滿足特殊條件時，動點 𝑃 在平面上的軌跡。 值得一提的是，當以三頂點為旁接三角形的「垂心」時，滿足衍伸三角形的有向面積的和與差為0的𝑃點，其軌跡構成外接圓及著名的Kiepert雙曲線，這是一大亮點。

我們對內切圓研究一開始是從四邊形出發再延伸到多邊形，而研究的方向有兩個，其中一個是探討圓外切多邊形與圓內接多邊形（即圓與切線交點之切點多邊形）之間的關係。首先得到凸多邊形內切圓的成立條件，依據圓外切多邊形的邊角關係、邊長關係，得到不同的結論；接下來對圓外切四邊形與切點四邊形的關係做分類，並討論這兩種四邊形的面積公式後，進而觀察這兩種四邊形的面積與周長比值的關係，最後衍伸至n邊形，因而得到凸多邊形之面積與周長比值的關係。另一個方向則是由圓外切四邊形與切點四邊形的對角線交點，以及兩四邊形之邊長延伸線的交點、內外頂點延伸線的交點，去探討其共點共線的關係。