數學科

本研究的目的是探討巧克力遊戲，切到剩1塊巧克力，對方無法再切時，就贏得遊戲，巧克力紙板的形狀及尺寸與遊戲獲勝的關係。 研究結果發現：巧克力紙板是正方形，後行者切出正方形給先行者，就會贏得遊戲。若正方形的邊長為A，先行者切給後行者n條，先行者贏的比率的分母為(A－1)＋(n－1)2，分子為(A－2)＋(n－1)2。 巧克力紙板是寬為A，長為B的長方形，先行者切出正方形給後行者，就會贏得遊戲。若A≦2，後行者贏的比率的分母= A＋B－2；若A＞2，後行者贏的比率的分母=A×(A－2)＋B。 此遊戲獲勝的關鍵是｢正方形｣，先行者或後行者只要能切出正方形尺寸給對方，就會贏得遊戲。

滿足如下遞迴關係的數列，我們給出豐富且新穎的結果： 𝑎𝑛𝑎𝑛−3−𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1=𝑘， 它可以轉換成四階線性遞迴式，研究過它的科展作品皆使用特徵方程，我們則從遞迴關係式去推導，手法更簡潔更得到： 1.它是整數數列的充份條件。 2.當固定𝑛，以𝑘為項次，則形成的數列為多階等差數列。 新的結果有： 1.研究項次推廣的遞迴數列： 𝑎𝑁+𝑅𝑎𝑀−𝑅−𝑎𝑁 𝑎𝑀=𝑘， 它可轉換成若干個線性遞迴數列，我們還發現將前述若干迴數列，統整成用單一個數列表示的方法。 2.探討一般化的數列 𝑎𝑛𝑎𝑛−3−𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1=𝑘， 條件設定請看說明書。我們得到一些初步成果。 最後應用本作品的結論，解決某科展作品未解決的問題。

「六角星拼圖摺紙遊戲」是一個將平面的六角星拼圖摺成一個正四面體，且使其中的三面連接起來是一隻完整羊的摺紙遊戲。本研究以能摺出正四面體的23個圖格組合模組為基底，以展開圖作為平面圖形到立體形體的媒介，成功解構六角星拼圖圖格的選取與摺法。除了得出解謎密技外，也證明了謎底圖格與摺法的唯一性。此外，應用解構六角星拼圖所得之定理，將研究擴展至設計多隻羊拼圖以及摺出正八面體的多角星拼圖探討，並將之應用在創意園遊會闖關活動上。 （本作品之所有照片或圖片均由作者拍攝或繪製）

一群運動員在一條直線跑道上，以互不相同的均速做折返跑。當這群運動員於某一時刻全部相遇於某一點後，這樣的情形會不會再度發生？我們找出這群運動員第一次相遇和再次相遇的的條件及相遇點，並延伸探討圓形跑道相遇的情形，最後討論給定k名運動員的速率比，判斷其是否會相遇。

大部分的作品都是在研究五方連塊和它的特性，本研究特別以三角多連塊以及六邊多連塊為出發點來探討。一開始，我們針對連塊可以擴充的數量來分析，隨著圖形擴充，發現連塊數量、連接邊、Ｖ字角會影響總擴充數。接著，蒐集三角多連塊、六邊多連塊，研究它們的周長、角的數量、內角和等幾何性質，隨著圖形發展，發現平角、周角的數量會影響幾何性質的表現。 最後在n階三角形、n階六邊形中，拿走最少個數並找出規律拿法，讓指定三角多連塊、六邊多連塊無法放入n階圖形內。未來，我們希望在更多指定多連塊下，找出各種規律拿法，讓n階圖形呈現更多規律之美。

本研究探討乘法賓果雙人對戰遊戲的設計原理與對戰策略。 探討問題與獲致結果如下： 一、正整數1～c兩兩相乘所得乘積總個數，找出計算公式。≤500只有7個c恰可組成正方形棋盤。重複的乘積，其最大質因數≤𝑐/2。 二、由棋盤邊長n和m數連線，可計算出棋盤各位置的賓果組合數量、及可與之賓果的位置數量，且可判斷合適的m值。 三、按照數字大小排列邊長≤6的完美棋盤，都是先手較占優勢的不公平棋盤。對戰策略包括：取得棋盤中央位置、選擇平方數、賓果係數較高，考慮可連跳乘積數的相關性質、倍數位置分布等。 四、設計公平棋盤並用不同方法驗證。 五、編寫程式，找出可排成較大正方形棋盤的數，且模擬隨機對戰，找出雙方勝率，以驗證棋盤的公平性。

此次的研究，我們著重在切割法的探討與延伸，先研究正n邊形藉由「長方形切割法」與「三角形切割法」成為正方形，在過程中發現問題並分類探討，最後證明一定能切割成正方形，並且計算兩方法完成後的切割塊數。接著研究邊長相等的正n邊形與正 (n+1)邊形，後者利用前者已切割出的正方形，將多餘的部分切割重組，填補成新的 大正方形，建構出遞迴切割的關係。最後發想出等面積三角形置換切割法，並透過此方法來完成任意凸多邊形切割重組成正方形。再進一步研究任意凹多邊形，研發出優角角平分線切割法，將凹多邊形完全切割成數個凸多邊形後，再重組成正方形。

將正方形的邊長從1，2，3，4…依序增加，在面積最大的正方形左上角，加上一個長方形，使其寬等於最大正方形邊長的一半，將最左上角的點連接最小正方形右下的點，形成對角線，問長方形的長為多少時，此對角線能將圖形平分。在此，我們得到一些結論及一般化的證明。 接著，我們把正方形改成正三角形，將三角形的個數依序增加，而邊長依序是1，2，3，4…，在面積最大的三角形旁加上一個梯形，梯形的高為正三角形高的一半，接著畫出斜對角線，我們想問梯形的底為多少時，此對角線能將圖形平分。這個問題，我們也得到一些結論。

本研究邀請60位國小學生參與猜拳比賽，採用嚴謹的統計方法進行母群體分層隨機抽樣與270場循環賽，以利誘激發勝負動機並加以錄影。本研究對資料進行重覆檢核的三角校正以獲得信度。之後利用ChatGPT進行統計分析和考驗全體學生、不同年段、性別的出拳偏好及致勝策略（含回應文獻），再徵詢統計專家分析之合宜性。 結果發現：1.小學生整體偏好出剪刀，尤其男生與低年段在第一拳特別明顯；2.無文獻中提及的「勝後堅持」及「首拳石頭」等偏誤；3.有非常明顯的「敗後改變」、「平手後中斷」與「社會性循環行為」（石頭→剪刀，剪刀→布，布→剪刀）；4.出拳策略可透過觀察對手上一拳，依循環模式反制。高年段勝場數最高，顯示經驗與觀察力有助策略制定。