數學科

本研究改編自2015 EGMO P2，探討在𝑛×𝑚的棋盤中放入最多的1×𝑡或𝑡×1的骨牌，並使得每一個𝑡×𝑡還有空間再放入一個骨牌的方法數。原本題目是𝑡=2,𝑛=𝑚為偶數的情況。於是我先從𝑡=2開始研究，推導出(1)𝑛,𝑚皆為偶數、(2)𝑛,𝑚一奇一偶、(3) 𝑛,𝑚皆為奇數的答案。接著再推廣到(4)任意的𝑡且𝑡∣𝑛=𝑚的結果。最後再討論(5)𝑛,𝑚分別為𝑡的倍數、模𝑡餘1的數，或其他 數等不同可能性得出的不同答案。

本研究探討三角形中線段共點的幾何性質，特別是與奈格爾點相關的七線共點現象，這七條直線包括三條特定的作圖線、三條周長平分線、以及內心與重心的連線。研究動機源於對奈格爾點定義及其作圖方法的探究。研究過程中，我們透過Dussau作圖法、三角形性質及解析幾何等方法，從已知條件推導出相關的幾何性質，並進行了驗證。研究發現這三條作圖線分別與三內角平分線平行，可視為內心在位似變換下的映射。本研究亦探討此類作圖法是否可遷移應用至其他三角形特殊點（如內心、重心）。這些發現證明了即使直線的構成方式看似複雜或「殊途」，最終也能「同歸」於同一個點，展現了幾何的奧妙。

從一題關於任意三角形兩邊外接正方形的國中練習題出發，利用全等三角形及對頂角性質求出兩線段夾角。後來發現原題的線段夾角與兩邊外接之正多邊形內角相等，且與原三角形頂角無關。在原題目圖形中，我們也發現共圓的性質，進而可以將A點與P點看成是兩圓相交的兩交點，從中得到共線性質。在原三角形兩邊的正多邊形中，有規律的線段交點，竟然是同一個點，進而推廣出任意直線的夾角公式。原三角形若為等腰三角形，則兩邊外接任意不同邊數的正多邊形，其特定直線的夾角公式。當兩正多邊形有一邊重合時，我們也得到其兩不同邊數之正多邊形特定直線夾角的各種公式與性質。

本研究邀請60位國小學生參與猜拳比賽，採用嚴謹的統計方法進行母群體分層隨機抽樣與270場循環賽，以利誘激發勝負動機並加以錄影。本研究對資料進行重覆檢核的三角校正以獲得信度。之後利用ChatGPT進行統計分析和考驗全體學生、不同年段、性別的出拳偏好及致勝策略（含回應文獻），再徵詢統計專家分析之合宜性。 結果發現：1.小學生整體偏好出剪刀，尤其男生與低年段在第一拳特別明顯；2.無文獻中提及的「勝後堅持」及「首拳石頭」等偏誤；3.有非常明顯的「敗後改變」、「平手後中斷」與「社會性循環行為」（石頭→剪刀，剪刀→布，布→剪刀）；4.出拳策略可透過觀察對手上一拳，依循環模式反制。高年段勝場數最高，顯示經驗與觀察力有助策略制定。

本研究探討三類幾何結構的交集特性：第一，兩個直圓柱面在特定條件下相交時，交點集合的幾何特性；第二，兩個直圓錐面相交時，交點集合的幾何特性；第三，一個直圓柱面與一個直橢柱面相交時，交點集合的幾何特性。我們透過數學建模，理解圓錐曲線在不同條件下所形成的圖形，並進一步探索其數學特性。研究過程中，我們考慮了兩個直圓柱面的相對位置、中心軸夾角的變化與比例關係，兩個直圓錐面的相對位置與中心軸夾角的變化，以及一個直圓柱面與一個直橢柱面的相對位置與比例關係，並透過數學推導與動態幾何模擬來分析這些變數對交點集合的影響。

看到大學入學考試中心九十九學年度學科能力測驗試題G中有關2倍角三角形，就產生討論其三邊整數生成器的發想，便由此出發，證明該三邊整數生成器為全起源整數三邊生成器，並討論其整數邊三邊的數論性質與相關性質，再延伸至3倍角整數邊三角形、4倍角整數邊三角形乃至於n倍角整數邊三角形，得到其三邊全起源生成器與推廣至MN倍角整數邊三角形三邊整數生成器、討論相關特性並推廣至n倍角整數Heronian三角形。

一個籤筒中有編號為1,2,3,…,𝑛的𝑛的支籤，每抽出一支籤，將其編號寫在紙上，形成一個數列。數列只能向左右兩端添加項，不能從中插入；若無法插入，則操作結束。本研究探討此隨機生成數列的長度期望值的。數列添添加項的向向為為單向向與「單向向與，又添生成原理為為單嚴格遞增減與「的單嚴嚴格遞增減與。過組組計算與「勒展展式，，本研究成證明明： 𝑛趨近無窮大時，向、向向數列的長度為別會趨近𝑒−1「1/2(𝑒2−1)。此外，本研究針對隨機生成數列的單子列與進行延伸探討，發現了向向子列數「Eulerian Number的對應關係，且明明出發現𝑛 籤任意排列時，子列的期望組數為𝑛+1/2的；當𝑛趨近無窮大時，向向子列的長度期望值為2。

本研究從探討平面上任點對任意三角形所鏡射出之三角形的心，與原三角形的心是否具有關聯性開始。鏡射三角形即是平面上任一點分別對三角形的三邊延長直線做鏡射後，所得到三點形成的三角形。在特定情況下，鏡射三角形的心與原三角形的心之間有所關聯。之後進一步觀察不同點對固定角度之三角形作出之鏡射三角形的各個心之間的關係，以及這些鏡射點的連線與原點連線間的關係，也利用固定角度之三角形所推出的規律，繼續探究任意角度的三角形的各個心，與鏡射三角形的心之間的關聯。

我們為了解若將手機解鎖的九宮格圖形改成圓形圖形是否會有更多不一樣的解法且更不容易被破解，於是，我們先在圓形圓周上標示若干個點，取任一點作為起點，再經過其他不重複的二點、三點、四點……形成一條連續線段所組成的圖形，這裡簡稱圓形一筆畫圖形，探討此類圖形的種類與路徑。我們除了利用圖示法詳列外，還利用樹狀法、列舉法佐證，除此之外，我們也從文獻中發現部分樹狀法，跟我們的研究似乎同出一轍，最後依據尋找規律歸納通式，並比較傳統九宮格一筆畫圖形與圓形一筆畫圖形在解鎖上的優缺點。