數學科

本研究在探討數學雜誌《Crux Mathematicorum》2024年公告的題目MA 288.所產生的方格紙圖案分布的規律。我們先解開該題，並透過繪製與分析不同大小的圖形，觀察圖案的規律，並利用此規律求出第 𝑛 列及前 𝑛 列綠色方格數的遞迴關係與一般式。 我們發現在𝑛×(𝑛+1) 的方格紙中，當𝑛為2的次方時，綠色方格圖案會形成一個類似謝爾賓斯基三角形的完整三角形，且每當𝑛增加2的1次方時，綠色方格圖案會利用自我複製的方式形成新的圖案。因此可以把𝑛轉換成二進位的表示法，利用二進位中1的位置與數量推論出方格圖案的樣貌與綠色方格數。 除了利用塗色的方式觀察規律外，本研究還將原問題條件轉換成不同的敘述，方便利用excel繪製圖案，將問題推廣到𝑛×𝑚方格。

此研究探討「在𝑛×𝑛的正方形中L型、T型和O型任兩種四方連塊」及「在𝑚×𝑛的長方形中LO、TO 兩種四方連塊」的拼圖可行性規律。我們發現拼片組合的可能性與正方形邊長有明顯關聯，透過黑白格排列法找出可行的解與排法，並分析不同邊長下的規律與極值，做出分類。此外，研究問題延伸至不同邊長分類下的𝑚×𝑛長方形，我們找到「最小圖形」，如由2個O或2個L組成的𝐿𝑂2×4。接著，定義「中圖形」以分析LO與TO拼片組合的數量規律，如由4個L和一個𝐿𝑂2×4組成的𝐿𝑂3×8。透過將長方形切割成以上圖形、分析性質、找出一般化的公式，進而推導出矩形中LO與TO數量的極值規律。

本研究以拿破崙定理為出發點，探討特殊三角形與其所構成的外接特殊圖形之間的幾何對應關係。我們關注三角形的外心、內心與重心所構成的「群心三角形」並進行其分析。 過程中，我們使用GGB進行圖形建構，建立不同類型的特殊三角形與四邊形所構成群心三角形。透過觀察與計算，分析兩個三角形之間是否具有關係並比較其面積比值。進一步地，探討旋轉角度對結果的影響，當外接的圖形發生變化時，群心三角形的結構性質亦會產生對應變化，並成功歸納出具規律性的關係式。 本研究加深了對三角形幾何的理解，也建立群心三角形在幾何理論探討中的新視角。此成果可作為幾何圖形研究的新起點，有潛力應用於生活上為未來幾何學的研究與教學提供了豐富的延伸空間。

從一題關於任意三角形兩邊外接正方形的國中練習題出發，利用全等三角形及對頂角性質求出兩線段夾角。後來發現原題的線段夾角與兩邊外接之正多邊形內角相等，且與原三角形頂角無關。在原題目圖形中，我們也發現共圓的性質，進而可以將A點與P點看成是兩圓相交的兩交點，從中得到共線性質。在原三角形兩邊的正多邊形中，有規律的線段交點，竟然是同一個點，進而推廣出任意直線的夾角公式。原三角形若為等腰三角形，則兩邊外接任意不同邊數的正多邊形，其特定直線的夾角公式。當兩正多邊形有一邊重合時，我們也得到其兩不同邊數之正多邊形特定直線夾角的各種公式與性質。

本研究中所提到的「真心」即為三角百科中的Kimberling center 𝑋174，Wabash center 為三角百科中的Kimberling center 𝑋364。我們從Wabash center 的作圖法，延伸出真心的概念，並定義了真心三角形。在本研究中，我們對於真心三角形、旁邊三角形、旁心三角形及其內切圓、外接圓進行研究，發現這些三角形有相似關係，其各心間則存在共點、共線、共圓等性質。同時我們也找出了真心的barycentric coordinates，並以此作為基礎，提出真心之幾何作圖法。

本研究探討給定平面任意三點A,B,O，滿足∠OPB=∠APO的點P軌跡為何？有什麼性質？我們主要運用複數解析求出曲線方程式，再運用其對觀察到的曲線性質進行證明，我們亦在作品中給出一些幾何解釋。之後我們更進一步更改兩角度之間的關係(如成倍數關係、差為定值等)，得到了豐碩的成果。最終還發現此軌跡與其他曲線間的關聯，並說明了背後的幾何本質。

本研究探討三類幾何結構的交集特性：第一，兩個直圓柱面在特定條件下相交時，交點集合的幾何特性；第二，兩個直圓錐面相交時，交點集合的幾何特性；第三，一個直圓柱面與一個直橢柱面相交時，交點集合的幾何特性。我們透過數學建模，理解圓錐曲線在不同條件下所形成的圖形，並進一步探索其數學特性。研究過程中，我們考慮了兩個直圓柱面的相對位置、中心軸夾角的變化與比例關係，兩個直圓錐面的相對位置與中心軸夾角的變化，以及一個直圓柱面與一個直橢柱面的相對位置與比例關係，並透過數學推導與動態幾何模擬來分析這些變數對交點集合的影響。

1.雙心n邊形中，過任一旁心作不相切邊的垂直線（旁心高）並與該旁切圓交於一點，再過此交點作旁心高的垂直線（旁高垂線）則 (1)過內心I作旁心高的垂直線，則該垂足與I、對應切點形成一角具有旁高垂線與圓I是否相交的判別性質。 (2)透過旁心高和旁徑、內切圓、外接圓半徑的關係，進而推導出雙心n邊形面積和三種半徑有關的一般式。 (3)只有雙心四邊形的四條旁高垂線相交形成的旁高垂四邊形和原雙心四邊形全等，且具有對偶性。 2.雙心n邊形中，過每個頂點作不相切邊的頂點高，會與對應外接圓圓心角之正弦函數值有漂亮的比值關係式。 3.推廣文獻1結果到雙心四邊形，可得內切圓半徑與四個旁徑間類似的關係式。

本研究使用幾何繪圖軟體，利用五條直線繪製至少三個三角形，進而探討這些三角形的相似、全等、五心與內部結構，分析其中存在的數學規律或幾何性質，主要探討為三角形的五心共線和重疊問題。本研究發現，五條直線有一定規則才能繪製出三到五個三角形，且特定畫法的三個相似直角三角形的外心會共線、四個相似或全等三角形的垂心會重疊、三到五個相似或全等三角形的旁心皆會共線或重疊。

看到大學入學考試中心九十九學年度學科能力測驗試題G中有關2倍角三角形，就產生討論其三邊整數生成器的發想，便由此出發，證明該三邊整數生成器為全起源整數三邊生成器，並討論其整數邊三邊的數論性質與相關性質，再延伸至3倍角整數邊三角形、4倍角整數邊三角形乃至於n倍角整數邊三角形，得到其三邊全起源生成器與推廣至MN倍角整數邊三角形三邊整數生成器、討論相關特性並推廣至n倍角整數Heronian三角形。