數學科

Abdilkadir Altinas 提出三角形△ABC 與其垂心三角形△DEF 的有趣問題：若角 A 為 60 度，則角 AH'H 恆為 90 度[1]。本研究推廣此問題，我把垂心換成外心、九點圓圓心、重心，發現都有垂直關係。有趣的是，一般化討論歐拉線上所有的對應點都符合這樣的垂直關係，我先採取綜合幾何方法需逐個問題考慮而沒有共通性，較難找出歐拉線上所有的對應點的垂直關係的充要條件，所以改用解析幾何而給出了一般化的理論，這是本研究的亮點。接下來創新探究由其他形心所構造的垂足三角形之性質，不設定內角為 60 度，分別討論垂足三角形為正三角形（共有兩個）和相似三角形（共有五組，每組兩個），發現原三角形與垂足三角形的重心恆三點共線，其他形心皆無此現象。

本文主要在探討如何將二維Lill Path的性質推廣至三維。首先，我們證明有一自原點出發的射線在多項式函數f(x)的三維Lill Path進行反射，且此射線通過其終點的充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )。除此之外，我們還證明了射線通過三維ϕ-Lill Path終點的充要條件為f(x)=0有一實根((-sin⁡θ)/sin⁡〖(ϕ-θ)〗 )。接著，我們證明了三維Lill Path圖形封閉時之充要條件為此多項式有一因式為(x^3+1)；同時，我們也證明了三維ϕ-Lill Path圖形為封閉時之充要條件為多項式有一因式為[x^3-(cos⁡ϕ ) x^2-(cos⁡ϕ )x+1]。最後，我們將三維Lill Path繼續推廣至n維Lill Path。我們證明了射線通過圖形終點的充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )，以及圖形是封閉時的充要條件為f(x)有一因式(x^n+1)。

騎士過城堡是一款棋盤模式的電腦遊戲，棋盤是由14格棋盤格組成之圖形，以騎士棋的斜日式走法，選擇棋盤格上的任意棋盤格作起點，跳完棋盤格上的14格棋盤格，每個棋盤格子僅能跳一次，跳完全部棋盤格回到起點即過過關。研究動機是希望能找出符合過關條件的其他棋盤格圖形以增加遊戲樂趣。研究目的在5X5與6X6的棋盤格範圍內，探討以「基礎圖形擴張法」找出其延伸的棋盤格圖形，與圖形中具多條可解路徑之規律性。研究過程中下指令Chatgpt生成Python程式碼，跑出基礎圖形延伸之棋盤格路徑。研究結果在5X5以8格基礎圖形其延伸圖形有14個、5X5與6X6以6格基礎圖形其延伸圖形分別有306與14535個，而圖形的中多條可解路徑由1-多條主迴圈與1-2條次迴圈所構成之規律性。

有3隻蜜蜂，同時從蜂巢出發，在一朵花與蜂巢間的連線上，來回等速直線飛行，牠們的飛行速度比為1：2：4，問：在蜂巢與花之間，是否存在某個時刻，牠們飛到同一點？ 上述問題取自《科學研習月刊》數學專欄，我們不但解決原題，還將原題推廣到任意隻數蜜蜂，給出求滿足要求的時刻的方法，獲得一般化的結果。 我們還能加以應用求滿足要求的時刻的方法，探討速度比滿足給定一階線性遞迴數列，得到若符合一些條件，就能同時飛到同一點。

雞爪定理僅適用於任意三角形，好奇「此性質是否可適用在多邊形?多邊形在何條件下才能找到等距共圓點?」經探索後，發現「雞爪定理不能適用在多邊形」；證明得到若「任意n邊形所有頂點共圓時，可形成等距共圓點及形成n組共邊三角形，存在n-2組n個等距線段。」 接續，在等距共圓點的條件下，是否能在多邊形找到「等距相關性質」，如：等距△數量、等距△全等、相似種類……等，如：等角共圓n邊形、正奇數n邊形及正偶數n邊形中 ，形成最小頂角等距△的數量公式分別為[(n-1)(n-4)/2+3]×n/2、2n[(n+5)/4×(n-3) ]及 2n[((n+4)(n-2)+8)/8]，並證明公式成立。 將研究推廣，發現任意多面體所有平面皆形成等距共圓點之條件為「任意n面體所有平面的頂角共圓」。並應用在夾娃娃機及網路基地台之建置。

本文旨在推廣拿破崙定理「以任意三角形各邊為邊分別向外作正三角形，則它們的中心(三心)連線必構成一個正三角形」至「對多邊形各邊為邊分別向外作正多邊形，則正多邊形的中心點(三心)可依序連成正多邊形」時成立的多邊形條件(此多邊形稱為拿破崙多邊形)。本文證明出拿破崙多邊形、平行多邊形與壓縮多邊形的成立條件互為等價，並推廣拿破崙法為「對多邊形各邊為底邊分別向外作相似三角形，其中相似三角形頂點依序連線」且討論完畢。

關於三角形的分割子三角形之內切圓問題，有文獻探討此分割線的長度[4]，也有探討內切圓半徑和[5]，或內切圓半徑平方和[3]。本研究異於前者，創新探究分割子三角形的內切圓與旁切圓的「半徑長度乘積不變量」、「兩點圓心連線性質」以及「三點圓心連線三角形的面積不變量」。我們依序探討兩個、三個到多個子三角形，先給出內切圓與旁切圓半徑長度乘積與邊長的關係式，接著探討兩點圓心連線的共點及相似形，最後是三點圓心連線三角形面積不變量。值得一提的是，看似不相關的「圓心連線三角形的面積比值」與「半徑長度乘積比值」居然是等價，這是本研究亮點。最後我們完整給出分割為三個子三角形的所有面積不變量的所有組合。

1.在正n邊形中作內角k等分角線、外角平分線和原邊上作k'等分垂直線（K,K'>2，K,K'∈ ），這三種直線經各自相交或兩兩搭配後相交得到五種相似正n邊形，其邊長、面積會與原正n邊形間存在規律的關係一般式。 2.承1，內角k等分角線與其外角平分線之交點會連成內外分角正nk邊形，滿足邊數n和k的特定關係式時，才能作出此種正n邊形。 3.原正n邊形的邊或其延長線，恰可平分內外分角正nk邊形和外角邊垂正nk'邊形的邊。 4.內分角正nk邊形、邊垂正nk'邊形和內角邊垂正nk,k'邊形皆會出現五點共圓的情形。 5.承1的五種正n邊形會出現旋轉，其旋轉角度與n、k、k'有關，並有一定的範圍。

從建築燈光秀發想路徑問題，探討「密鋪多邊形進行完全漫遊路徑是否存在?是否可運用模組化的方法找到完全漫遊路徑?」發現不同密鋪多邊形可透過基本幾何拼板分割，當中心或初始圖形是可漫遊且可對外連通，搭配同條件的基本幾何拼板組合，則該密鋪多邊形路徑可完全漫遊；且可歸類同類路徑中不同幾何拼板之等價組合；另外，密鋪多邊形中每個單位圖形若維持原來的「圖形特徵—路徑可行進方向數」，則「密鋪多邊形完全漫遊路徑可以進行任意形變轉換」。在漫遊過程中得到不同密鋪多邊形的基本幾何拼板種類、路徑分類及路徑方法數公式。 最後應用研究結果，有效控制高空智慧清潔蜘蛛人，並設計一款全新完全漫遊路徑邏輯拼圖遊戲。

在圖論中，以G=(V,E)表示一個圖，其中G的頂點集合記作V(G)、邊集合記作E(G)。令k是一個正整數，若能在G的每個邊上各給一個非零整數{±1,±2,±3,...,±(k−1)}的標號，且每個頂點所連出的邊標號總和為0，則稱圖G有零和k流，當k有最小值時，稱k為圖G的零和基數，記作F(G)。 零和流（zero-sum flow）是由無零流（nowhere-zero flow）演化而來的問題，亦是一種邊上加權的問題。在2009年S. Akbari等人提出零和流猜想，猜測所有滿足零和的圖其零和基數皆不大於6。 在本作品，我們設計雙色標籤與圖形變換的方法，成功刻劃出尤拉圖（每個頂點都連出偶數個邊的連通圖）零和基數為3的充要條件，並將其變換的技巧與結果，應用於判斷其它圖形的零和基數。