我們研究《科學研習月刊》上一個有趣的數學遊戲「正七邊形的頂點中有五個紅點，兩個黑點，用紅點當頂點可以連成多少個等腰三角形？」。 目前研究此題目的其他科展作品，採取直接計算所有頂點皆為紅點的等腰三角形個數，當黑點增加時，分類情形複雜而難有一致規律，所以探討到最多的黑點個數僅為4個。 有別於其他作品，我們提出不同的策略，先計算等腰三角形頂點包含黑點的情形，再利用排容原理扣除，得出一般化的結果：在正N邊形中，給定任意B個黑點（B=0,1,2,…），給出計數等腰三角形的個數一般化策略與公式。除此之外，利用本研究提出的方法，進一步延伸探討正多邊形內的等腰梯形個數，給出計數等腰梯形個數的一般化策略與公式。

本文用半圓弧來活化△的邊，讓使用者在圓弧上作切線畫出相似形，為方便計算並易於描述這個概念，文中採用國中常用的30°、45°、60°、90°來操作。首先將半圓弧及圓心角依逆時針置放，分別依不同的圓心角配合各整數倍或分數倍半圓直徑畫出切線相似△，並求得對應邊長比值，再將比值描圖，呈斜率為正的直線或折線狀，並求出各圖形的關係式，以利操作時使用。接著計算半圓弧向外和向內的相似△面積差，在等圓心角條件下，描圖呈直線或拋物線狀。另外討論將一次到位畫出的相似△分成兩段式操作，結果發現兩段式操作的半圓直徑倍數有雙曲線關係。最後使用直角坐標計算上文之系統，當圓心角90°時，取得相似形邊長比值關係式，有助於對任意△的縮放圖逆向操作。

本研究探討正三角形衍生圖形與拼板個數的關係。 一、以A和B拼板無縫密鋪由 塊邊長 正三角形組成水平衍生圖形，發現 (一) a是奇數 條件：至少需t個B拼板 最大拼板數：A拼板(at^2-3t)/2個和B拼板t個(2▲1▼) 範圍：A拼板(at^2-3t)/2-3k個和B拼板t+k個(2▲1▼)、k個(1▲2▼) (二) a是偶數 條件：需要偶數個B拼板且兩類型個數相等 最大拼板數：A拼板(at^2)/2個 範圍：A拼板a/2 t^2-3k個和B拼板兩類型各k個 (三) 解的存在性 除a=1_ ,t=1與a=1_ ,t=2外，其餘必有解存在。 二、增加拼板種類 無縫密鋪邊長 正三角形衍生圖形，需 拼板m,n,p,q個， 則2m+3n+4p=at^2或2m+3n+8q=at^2 解的判斷法則 步驟1：找最大拼板的個數範圍 步驟2：根據最大拼板個數切割圖形，將剩餘區域切成可無縫密鋪圖形，最後剩餘不為 或 ，則可無縫密鋪 步驟3：利用n的奇偶性，計算A、B拼板。

探討三角形、扇形、梯形面積n等分的方法，以及給定任一三角形、扇形、梯形的圖形，不需任何數據，就可以用尺規作圖的方式來解決面積任意等分的問題。

本篇的目標在於探究多項定理的展開式，若將展開式全部列出來是繁雜的，我們透過幾何來呈現展開項，配合動點成線，動線成面，動面成體的概念，我們共發展了四種幾何表現，並且呈現出不同的性質，帶出更多的代數與幾何的規律，同時還推廣了多項展開式的係數表示法、kn、巴斯卡等式、並且找出多項展開中不同項與變數項的數量間的通式等等性質，處處可見數形合一的微妙關係，也帶動了幾何與代數之美。

本文主要是在探討二維醉漢走路問題的各種情形。 參考一維醉漢走路的原始問題「一醉漢從距離懸崖一步的位置出發，另一端則是無窮延伸的道路，醉漢在道路上每步以一固定機率不停的前後隨機移動，直到落下懸崖則停止移動，試求醉漢落下懸崖機率為何？」我們將其拓展至二維平面上，利用一路領先問題的概念以及無窮級數的生成函數，探討二維一邊懸崖、兩邊懸崖以及三邊懸崖的情況下，不同移動機率組合，醉漢落下懸崖的機率，並發現Catalan Series是研究二維醉漢走路問題很有力的工具。

本研究是先找出正多面體的每一個「面」上的中垂心，並將相鄰「面」的中垂心相連，紀錄所形成的多面體結構，並歸納出規則原理，進而推論至阿基米德立體。 我們嘗試以「相鄰中垂心相連」的研究方法，用針線實際的連接柏拉圖立體模型的中垂心。結果歸納出四個規律分別為點面個數會互換、邊數不變、面形邊數是原圖共點面數、原面形邊數是新頂點共點面數。而這四項規律推論到阿基米德立體一樣適用，並且在本研究中獲得驗證。 研究中更發現到柏拉圖立體與阿基米德立體的對偶圖型關係，其中正六面體與正八面體互為對偶；正十二面體與正二十面體互為對偶。

本研究發現互不整除的組合個數在2至Ｎ/２（(Ｎ＋１)/２）之間。且快速找出其中一個互不整除的最少組合內容為(N-1,N)且必有(2,3)。 當N為質數，組合個數(P)為2的情況下， 1~N的組合數量（a_N）有aN=aN-1+N-FN的關係存在。組合個數(P)的組合數量（a(N,P)）有a(N,P)=a(N-1,P-1)+a(N-1,P)的關係存在。也出現連續數的狀況，連續數的數量與N及組合個數(P)，呈現N-2(P-1)的關係存在。 另外，我們創造了「互不整除表」，透過螢光筆劃線即可來快速判斷該組合是否為互不整除的組合。我們也可以透過「互不整除表」快速找出組合個數為2時，1~N的組合數會有多少種組合數量。

本研究推廣古老的數學問題「Quadrisection Problem」，2018 年 Carl Eberhart 曾針對此問題進行探討，給出兩條垂直線將任意 △ABC 的面積四等分的解。 我們沒有設定兩相異直線必須垂直。由於兩相異直線至少將任意三角形分割成三塊區域，至多分割成四塊區域，所以我們先探討兩直線三等分三角形，再繼續研究四等分三角形，最後給出完整分割的圖樣與方法，並且給出四等分面積的充要條件。第二，我們繼續推廣到任意凸四邊形與凹四邊形，證明了對於所有凸四邊形與凹四邊形必存在四等分面積的分割方法，這是本研究的亮點之處。本研究雖僅使用了初等幾何工具，但是簡潔地找出豐富的性質並且完整解決了兩相異直線均分任意三角形以及四等分任意凸四邊形與凹四邊形的面積之問題。

我們將可同時被整係數分解的兩個式子ax2+bx+c與ax2+bx-c稱為「共軛可分解式」。當已知可被因式分解的ax2+bx+c時，將係數依序分別乘上等比數列，所得新式子必可被因式分解，我們稱這組式子為「孿生可分解式」，這很容易獲得。但是要找到共軛可分解式卻相當困難。本研究在探討並找尋共軛可分解式的規則，並進而找出其生成公式。 從式子可被分解與方程式根之公式的關係，發現共軛可分解式的係數與畢氏三元數有關。再利用本原畢氏三元數公式，找出一種共軛可分解式的生成公式。最後推論放寬限制後本原畢氏三元數可以表示出所有畢氏三元數。後續研究只要能證明，或配合幾何性質，必能找出所有共軛可分解式的規則。