數學科

設有A1,A2,A3, · · · ,An 共n 人及K1,K2,K3, · · · ,Kn 共n 把鑰匙，其中n 為正整數。現在依照A1,A2, · · · ,An 的順序來抽鑰匙。在n 人中除了Ar(1 ≤ r < n) 認得某一把鑰匙，並且絕對不會選取之外，每個人抽到這些鑰匙的機會都均等。令P(Ai,Kj) 表Ai 抽到Kj 的機率(1 ≤ i, j ≤ n)。在這篇研究中我們得到了P(Ai,Kj) 的一般式，並且利用程式模擬驗證。此外我們也將問題推廣到n 人中恰有m 個人必不選某把鑰匙的情況，並得到對應的機率通式與遞迴關係。

在一個三角形的內切圓上，任取三點連線成內接三角形，我們發現當此三點為切點時，可以找到許多與切點三角形有關的性質除了一一加以證明外，並推展至四邊形及更多邊形。

本研究在探討各小組成員最多n(n≥1)人，且符合分組條件的情況下，所構成班上學生人數之最大值及計數方法，藉由觀察、尋找關係與樣式、猜測、檢驗與論證的探究過程，進而發現各小組成員最多n人時所構成學生人數最大值之計數方法，其解法可分成唯一解、多重解，並發展出計數公式與應用如下： 一、在n×n(2≤n≤6)的方格表，只有5×5有多重解法，其他都為唯一解。 二、在n×n(n>6)的方格表，都有多重解法。 三、學生人數最大值之計數公式為，將(n的平方)減掉(n除以每一列(x)所得之餘數)，並分別求出當n為偶數(2k)與n為奇數(2k+1)之公式。 四、辦活動分組時，可藉由本研究所發現對參與學生的快速編碼法，以確定活動參與人數的最大值，進而用來準確預估最多可報名人數。

本作品結合兩道題目，給出有趣且新的結果。 第一題：硬幣兩面分別為「H」和「T」，有n個硬幣排成一列，若恰有k枚H朝上，便 翻動左起數來第k個硬幣──H朝上的硬幣數量，決定左起第幾個硬幣要翻動。試證明持續操作下去，能在有限次內操作至停止，並求出操作次數的平均值。 另一題為講座中提出的：有n個燈排成一圈，按一盞燈，不是由亮變暗就是由暗變亮，而且它左右兩盞燈會隨之變換當前的明暗狀態，試求使其由全滅變成全亮的方法和最少操作次數。 它們都屬於離散動態系統，本研究除了解決競賽題外，創意在於結合上述兩題的條件，形成一道新題目，給出可以操作至停止的必要條件、以及操作次數平均值的猜想。

本篇作品旨在探討已知平面上 個點，分別落在正 邊形的各邊上，能否藉由這 個點找出正 邊形？而找出的正 邊形是否唯一呢？我們利用數學繪圖軟體Geogebra結合國中所學的幾何尺規作圖觀念作圖，從正三角形開始探討，進而延伸到正方形、正五邊形、…、正八邊形，最後探討至正 邊形。 作圖探討後我們發現當邊數較小的時候，可以透過平行或是邊長相等的概念畫出正多邊形；但邊數較大的時候，就需要透過圓內接多邊形的性質才能畫出正多邊形。我們透過圖形也發現平面上只要給定 個點，即可畫出正 邊形，且除了正三角形畫出來的不只一個，其餘的正多邊形都只能畫出唯一一個，最後我們利用三角形的全等及圓內接多邊形的性質證明之。

近年關於垂足多邊形的研究，都著重在垂足「三角形」。本研究不限定於三角形: 給定任意正整數 n≥3，以及平面上的一個 n 邊形，從平面上一點 P 對該多邊形的 n 個邊(的延長線)作垂足，可得一個「垂足 n 邊形」。我們創新利用三腳架手法，證明: 給定三角形 A、B，必定存在一點 P，使得 P 對 A 的垂足三角形與 B 相似。再將三腳架手法推廣到任意 n 邊形，發現 n 腳架結構中，內、外 n 邊形面積的性質；並將上述結果推回三角形，研究內、外三角形定向關係，以及找出 n 腳架結構中，內 n 邊形面積極小時刻的特殊性質。最後，我們利用垂足性質定義特殊的等價關係，將 n 邊形分類。

本文主要在探討平面幾何學中的兩個重要結果—三角形中的『Menelaus定理』與『Ceva定理』推廣到任意的『球面n邊形』的相對應結果，對於任意的球面n邊形，我們分別找到了『球面n邊形的Menelaus共線定理』與『球面n邊形的Ceva共點定理』的一般化結果。

「Siebeck-Marden」定理是複數平面中一個關於三角形之內切橢圓的定理。本研究主要是利用歐氏平面幾何性質應用在複數平面上推廣到複數平面中任意一個存在內切橢圓的凸四邊形上，我們和Siebeck-Marden定理「獨立地」找到了一個相對應的二次複數方程式進而可以利用配方法解出凸四邊形之內切橢圓兩個焦點的一個全新的定理。 另外，主要結果的應用的部分，歐氏平面幾何中另一個著名的「Newton橢圓問題」，藉由我們的主要定理的結果，可以直接推得關於「Newton橢圓問題」之「加強」的結果，並且提供「Newton橢圓問題」一個全新的幾何證明。

從科學研習月刊中「森棚教官的數學題」的一道數論問題： 「你可以找到多少組正整數對(a,b)，讓 的平方減5是b的倍數，b的平方減5是a的倍數？」 觀察到盧卡斯數列相鄰奇數項滿足原問題的解，也發現某數列與原問題的解間滿足充分條件，於是延伸問題改為數列恆等式，推廣更一般情形，即 階整係數齊次線性遞迴數列，簡稱 階線性遞迴數列。本作品建構兩種k階線性遞迴數列來探討，其兩數列分別是由盧卡斯數列及費氏數列類推而得。 第一種數列是利用特徵複數根性質來探討，而第二種數列是配合k階Cassini恆等式來求其解。最後利用兩個恆等式或不等式來描述上述兩種數列，是由Vandermonde行列式來論證。

本研究旨在探討圓錐曲線的等視角軌跡。我們利用幾何方法和過曲線外一點的兩切線夾角之cot⁡θ值恆等的條件求得：線段的等視角軌跡為兩對稱圓弧；圓的等視角軌跡為圓；拋物線的為單支雙曲線，且視角互補的軌跡恰為一雙曲線，視角90°時軌跡為其準線。 由於不同觀測點位置對雙曲線作切線的情況不同，只有在漸近線同號區能定義等視角軌跡，故我們擴充視角的定義，並提出等切線夾角軌跡來研究雙曲線的軌跡。橢圓的等視角軌跡和雙曲線等切線夾角軌跡皆為含根式的二次曲線，視角90°時軌跡為兩者的準圓。我們討論兩圖形的相似特徵：找出圖形凹向改變的條件，並以實驗數據說明軌跡的兩側近似於軌跡與y軸交點的密切圓(Osculating Circle)。期待能以研究結果解決一些視覺問題。