密碼學分為密碼術與破密學，而本次的研究重點在密碼術的部分。密碼術的研究在於加密的複雜性與解密的可逆性，而一個加密系統的好壞取決於它的安全性。本次研究運用了國中的幾何概念與高中的矩陣發展出新的加密方式。並透過合成函數的概念結合五重不同的加密方式，增加其加密的安全性，分別為改良式改撒密碼、不完全加密法(一維度不完全鏡射法、二維度分別不完全鏡射法、二維度不完全鏡射法、二維度不完全點射法、二維度改良式不完全映射法，高維度不完全加密法)、煙霧彈加密法(改良式維吉尼亞密碼、干擾加密法)、連分數加密法與RSA公鑰演算法，以各自加密法的優點截長補短，使這五重加密方式能相互配合，奏出和諧優美的「加密五重奏」。

本文探究由一人獨自進行的遊戲，探討最後是否能將兩堆石頭移動形成數量相等的狀態，稱之為「穩定狀態」。探索過程中，我們利用數對(x, y)來表示兩堆石頭分別有x, y顆的情況，利用輾轉相除法的形式來記錄移動過程，而因為遊戲進行中，兩堆石頭的總數不變，因而以此總數進行分類觀察，我們發現並非任意數對(x, y)皆能形成穩定狀態。 藉由列表觀察後，我們猜測當x+y=2k時，任意數對(x, y)皆能形成穩定狀態，我們用二進位制驗證，並進一步得到定理1： 定理1：數對(2k－p×2m, p×2m))形成穩定狀態所需的次數為k－1－m次。 另外，因為數對(qa, qb)和(a, b)的移動方式類似，得知定理3及4如下： 定理3：數對(q2k－pq×2m, pq×2m)形成穩定狀態所需的次數為k－1－m次。 定理4：若x+y=q×2k , q≠1, 且x, y的最大公因數為r×2m，q≠r時(x,y)無法形成穩定狀態。 由以上定理1、3、4，可歸納為定理5如下： 定理5：若x+y=q2k(q為奇數), 且x, y的最大公因數為r×2m，則 1.q=r時，數對(x, y)形成穩定狀態的次數為k－1－m次。 2.q≠r時，數對(x, y)無法形成穩定狀態。

此作品研究是「將問題先轉換成二元一次方程式的解(其中二元一次式為3x+4y)，再者，透過推導過程研發找到『間隔標記點數模式』方法，能快速且無遺漏的畫出，判斷能否將圖形覆蓋填滿；更進一步延伸到N×N方陣或M'×N'矩形，只有總格數為3的倍數，可完全被L型填滿，若一定都要用到I型或田型，則分別最少需3塊；當總格數為非3的倍數，則I型或田型分別最少為1塊或2塊，需視總格數推知。對I型與田型拼片數同但結構不同，部分巧拼是無法填滿，經總格數切割成小方陣或小矩形的組合，推導找出符合可將方陣圖形及矩形圖形覆蓋填滿之劃分方式的一般式，同時以『數學歸納法』證明之。最後，以程式C#寫出執行操作的友善介面，進行驗證其規律與異同點。

粽子是端午節的應景物，更是生活中常見的「三角錐」。在不同顆數的珠子串所堆疊成不同層數的珠子粽裡，存在著「形」與「數」的有趣數學。珠子粽裡的形，有「三角形」和「三角錐」；而珠子粽裡的數，一共有三種數量關係。首先是，珠子粽的〝半粽〞中，所使用的珠子串，具有「顆數+串數=層數+1」的數量關係；其次是，珠子粽的側面和底面都是三角形，而珠子粽 由上而下的每一層珠子數，是「三角形數」的數量關係，其計算公式為Tn= n×(n＋1)÷2；再者是，不同層數珠子粽的珠子總數，是「三稜錐數」的數量關係，其計算公式為Sn= n×(n＋1)×(n＋2)÷6。

從廣告影片中也能發掘有趣的數學題目。 本作品主要研究從廣告「交換名片」發想的數學問題：試求全體人員完成一對一交換名片所需最少輪數，我們得到最佳解；由於交換名片屬於交換訊息的一種，所以我們探討更一般化的情況，設計兩種交換訊息的方式：「攜帶」與「分送」，找出這兩種所需的最少輪數。前者的最少輪數和「2的n次方」有關；後者的最少輪數則利用「費氏n-步數列」解決。最後我們比較了三種方式的最少輪數。

透視法在建築圖學上是常被使用的方法，例如一點透視、兩點透視、三點透視等。透視法在文藝復興時期對繪畫也產生重要的影響，例如馬薩喬的「聖三位一體」。 我試著不使用幾點透視的看法，而是對透視法建立一個模型，再根據這個模型中得到的性質，去進行一般化情形的尺規作圖，並對透視法中常用的理論進行驗證。 作品說明書中所有的幾何圖形，都是利用Geogebra自行繪製而成。

近年來流行的轉珠遊戲大同小異[1]，其玩法是可以從任一顆珠子來移動，所以能自由移動的方式相當多，找出最短移動路徑也相對的複雜。起初先從數字拼圖開始[2]研究起，若起手之珠子看成是空格的話，移動珠子等同於數字拼圖的數字移動至空格處，別於數字拼圖的固定位置擺放，轉珠遊戲以這個架構延伸變化。本篇試著在3X3的盤面中，放上三種不同顏色的珠子，找出其最佳移動路徑與其規律性。

本研究推廣於近年的兩篇研究，Sejfried 與 Shelomovskii 的三角形及其內切圓的幾何構圖研究[1]，以及沈執中與陳彥睿提出的三角形與四邊形及其內切圓的幾何構圖研究[3]。 相較他們的研究，本研究是新的方向，我們的對象不同，使用方法也不同。我們不使用空間射影模型，因為射影只能處理共點、共線，卻喪失了角度、長度、形狀等幾何定性與定量性質。本研究討論了給定任意圓內接三角形，如何在其三邊的延長線上分別取一點，使得這兩兩點的連線（共三條直線）都與圓相切呢？同樣的，推廣到給定任意圓內接四邊形的外切四邊形構圖。值得一提的是，在任意三角形中，我們進一步發現外切三角形的樣態與原三角形的兩邊比值有關，臨界點是漂亮的黃金比例！

本研究靈感來自2013澳洲數學能力測驗中級卷第22題，我們發現直線L分割互相外切的兩圓，其無陰影面積與有陰影面積形成固定之比例關係。於是我們繼續探討直線L分割多個圓時，第k個圓與第一個圓的面積關係，得知圓的個數（k為奇數或偶數）會影響其比例，無陰影面積及有陰影面積皆存在半徑平方比的關係。接著，我們將總陰影部分面積固定，探討其與第一個圓之面積比例關係，並利用數學歸納法整理出關係式。 最後，我們改變直線，利用折線來進行分割，進一步探討其面積比例關係，並進一步延伸至球體，發現平面切割多個球時，第k個球與第一個球無陰影部分及有陰影部分的體積亦存在半徑立方比的關係。

利用「三角形兩邊之和大於的三邊」的概念，將任意△ABC的三頂點設為圓心，各頂點對邊長為該頂點之半徑畫圓，讓此三圓定兩兩相交於兩點。本研究以作圖與觀察為出發點，利用GeoGebra軟體，觀察到此三圓兩兩相交所形成之三條共弦相交於同一點P，並發現固定B、C兩點，移動A點時，P點位置的改變。過程中我們逐步推測與猜想，最後著眼在只討論A、B、C、P四點坐標位置的關係，在固定B、C兩點的條件下，移動A點觀察P點軌跡，及移動P點觀察A點軌跡，從中我們發現了這些移動軌跡會形成二次曲線，並將這些有趣的現象加以證明。