數學科

交通號誌具有指揮車輛通行路口的權力，藉由適宜的週期、時相、綠燈秒數之時制規劃，可有效增加路口汽車的通行量，解決不必要停等之交通壅塞問題。 緊鄰學校的五叉路口，是重要的交通要道。根據我們的路口影片分析，發現南來北往的車輛在交通尖峰的上班時刻，總是因為停等此路口號誌造成一定程度的塞車，致使部分車輛需要停等到第二個周期時才能通過路口，著實影響路口通行成效。本次研究透過系列性科學化的測量、計算與分析，我們提出路口週期再增加5-15秒時，共有25種新的交通時制設置方式，可使此路口通行量每秒增加0.268至0.737公尺，將能有效紓解停等紅綠燈的壅塞。

本研究是由一個棋盤遊戲推廣延伸而來的，研究內容為紅棋先走或後走，若紅棋壓在藍棋上面，則紅棋獲勝；若藍棋壓在紅棋上面，則藍棋獲勝。(也就是說紅、藍棋在同一方格時，遊戲就分出勝負了。)而本研究分成兩種遊戲：遊戲1：紅、藍棋只能上下左右移動、遊戲2：紅、藍棋除了可上下左右移動外，增加可向斜的移動方式；若紅棋每一次走 步、藍棋每一次走 步，且雙方的起點分別在任意位置的方格中，分別去推導雙方剛好走完或少走k步就分出勝負的最短步數、最短路徑數、雙方分出勝負時的所有位置個數、所有位置(坐標)以及分出勝負的判斷準則，最後由上述遊戲1及遊戲2推導出來的公式，透過演算法並利用程式軟體-R語言寫成程式碼作驗證。

本科展作品在研究正N邊形的頂點塗色，定義相鄰兩頂點的距離為1，先設定距離m，規定若兩頂點相距m則塗不同色，求塗完N個頂點的最少色數。當只設定1個m時，我們研究出最少色數只有2與3兩種，並清楚區分出對應條件。而設定兩個m時，我們研究出最少色數有2 , 3 , 4 , 5等四種，同樣清楚區分出對應條件。最後推廣到設定k個m時，我們證出最少色數的絕對下界為2，絕對上界為2k+1。並以N、m的奇偶性細分各情況來做出更精密的上界估計。

本研究目的主要探討：矩形瓶、圓瓶、八角瓶、六角瓶和三角瓶等各種飲料瓶分別以「方」形和「巢」形排法時空間使用率之比較。研究假設置物架為矩形，瓶子高度也相同，故將空間的使用率簡化成瓶子總底面積占置物架總面積之百分比。

本文源於 Tsintsifas 所提出的線段比值和定值問題，我們以射影幾何、重心（面積）坐標、極點（線）等方法，推廣平面上 P 點關於「n 邊形及其外接錐線」的有向線段比值和，並刻劃其滿足定值 k 的點軌跡，主要發現為： 1、滿足三角形的有向線段比值和為定值的點軌跡必為二次曲線 Γ3,k，我們找出其判別式。 2、Γ3,k 是由外接錐線與直線 L0 所構成的二次曲線系。 3、刻劃 Γ3,k 同心二次曲線的充要條件。 4、推廣滿足 n 邊形的有向線段比值和為定值的點軌跡必為二次曲線 Γn,k，我們找出其判別式與 Γn,k 同心橢圓。 我們將研究結果與原作者討論，確認為新發現。應用本研究方法可推論到三維空間的 Tsintsifas 二次曲面。

本文旨在探討兩圓重疊區域內之內接三角形的最大面積，我們從等半徑之兩圓到相異半徑之兩圓，從特殊化(兩圓互過另一圓之圓心)到一般化(不限定是否通過圓心)分別進行分析。隨著兩圓半徑、連心線長等變數的不同，我們觀察到內接最大面積三角形的形狀變化，及其面積的計算方式，最後我們推導出一般化的結果。

我的研究是在m×n層的教室座位圖，每位同學只能朝前後左右移動一格的情形下，有幾種交換座位的方法數探討。我利用圖形分析方式，得出以下四個主要結論：（1）座位圖為奇數時就無法進行交換座位，某些座位圖為偶數時亦無法進行交換座位。（2）透過樹狀圖分析發現2×n交換座位的方法數為費氏數列的完全平方數。（3）利用木棒擺放的圖形方式來解釋交換座位的情形，進而推導出交換座位方法數為兩兩互換座位方法數的完全平方數。（4）找到了2×n、3×n、4×n交換座位方法數的遞迴關係及規律和2×2×2之立體圖形的交換座位方法數。

本研究推廣於近年的兩篇研究，Sejfried 與 Shelomovskii 的三角形及其內切圓的幾何構圖研究[1]，以及沈執中與陳彥睿提出的三角形與四邊形及其內切圓的幾何構圖研究[3]。 相較他們的研究，本研究是新的方向，我們的對象不同，使用方法也不同。我們不使用空間射影模型，因為射影只能處理共點、共線，卻喪失了角度、長度、形狀等幾何定性與定量性質。本研究討論了給定任意圓內接三角形，如何在其三邊的延長線上分別取一點，使得這兩兩點的連線（共三條直線）都與圓相切呢？同樣的，推廣到給定任意圓內接四邊形的外切四邊形構圖。值得一提的是，在任意三角形中，我們進一步發現外切三角形的樣態與原三角形的兩邊比值有關，臨界點是漂亮的黃金比例！

本文主要是在探討二維醉漢走路問題的各種情形。 參考一維醉漢走路的原始問題「一醉漢從距離懸崖一步的位置出發，另一端則是無窮延伸的道路，醉漢在道路上每步以一固定機率不停的前後隨機移動，直到落下懸崖則停止移動，試求醉漢落下懸崖機率為何？」我們將其拓展至二維平面上，利用一路領先問題的概念以及無窮級數的生成函數，探討二維一邊懸崖、兩邊懸崖以及三邊懸崖的情況下，不同移動機率組合，醉漢落下懸崖的機率，並發現Catalan Series是研究二維醉漢走路問題很有力的工具。

本研究探討正三角形衍生圖形與拼板個數的關係。 一、以A和B拼板無縫密鋪由 塊邊長 正三角形組成水平衍生圖形，發現 (一) a是奇數 條件：至少需t個B拼板 最大拼板數：A拼板(at^2-3t)/2個和B拼板t個(2▲1▼) 範圍：A拼板(at^2-3t)/2-3k個和B拼板t+k個(2▲1▼)、k個(1▲2▼) (二) a是偶數 條件：需要偶數個B拼板且兩類型個數相等 最大拼板數：A拼板(at^2)/2個 範圍：A拼板a/2 t^2-3k個和B拼板兩類型各k個 (三) 解的存在性 除a=1_ ,t=1與a=1_ ,t=2外，其餘必有解存在。 二、增加拼板種類 無縫密鋪邊長 正三角形衍生圖形，需 拼板m,n,p,q個， 則2m+3n+4p=at^2或2m+3n+8q=at^2 解的判斷法則 步驟1：找最大拼板的個數範圍 步驟2：根據最大拼板個數切割圖形，將剩餘區域切成可無縫密鋪圖形，最後剩餘不為 或 ，則可無縫密鋪 步驟3：利用n的奇偶性，計算A、B拼板。