數學科

本篇的目標在於探究多項定理的展開式，若將展開式全部列出來是繁雜的，我們透過幾何來呈現展開項，配合動點成線，動線成面，動面成體的概念，我們共發展了四種幾何表現，並且呈現出不同的性質，帶出更多的代數與幾何的規律，同時還推廣了多項展開式的係數表示法、kn、巴斯卡等式、並且找出多項展開中不同項與變數項的數量間的通式等等性質，處處可見數形合一的微妙關係，也帶動了幾何與代數之美。

本研究主要探討由一組數字來畫圖，所畫的圖形特徵與數字組合間的關係，並歸納共通性質。 (一)圖形特徵 1.個數1或2均畫出1個矩形。 2.個數≧3，圖形較多樣化。一次循環，均可畫出一個以最小數字為邊長的矩形，且從數字組合可判斷此種矩形彼此的離合程度。 3.個數非4整數倍，均畫出點對稱圖形。 4.數字順序相反的數序，互為線對稱圖形。 5.數字先後關係不變，只改變起始數字，所畫圖形經旋轉後會相同。 (二)循環次數，由個數除以4的餘數所決定。 (三)位移向量與旋轉變換： 1.將第一次循環起點到終點的位置向量做旋轉變換，可得各次循環的位移向量和終點座標。 2.可證循環次數。 3.可推算對稱中心座標。 (四)應用：繪出可變換圖形花樣的互動遊戲。

我們將可同時被整係數分解的兩個式子ax2+bx+c與ax2+bx-c稱為「共軛可分解式」。當已知可被因式分解的ax2+bx+c時，將係數依序分別乘上等比數列，所得新式子必可被因式分解，我們稱這組式子為「孿生可分解式」，這很容易獲得。但是要找到共軛可分解式卻相當困難。本研究在探討並找尋共軛可分解式的規則，並進而找出其生成公式。 從式子可被分解與方程式根之公式的關係，發現共軛可分解式的係數與畢氏三元數有關。再利用本原畢氏三元數公式，找出一種共軛可分解式的生成公式。最後推論放寬限制後本原畢氏三元數可以表示出所有畢氏三元數。後續研究只要能證明，或配合幾何性質，必能找出所有共軛可分解式的規則。

此作品研究「在n堆彈珠數目的分堆問題，當每堆個數不同並進行分配，每次都從最多個數那堆拿最少個數那堆的數目給最少個數的那堆，直到收斂或出現迴圈時，則停止分配彈珠。」首先，探究分配過程中，奇偶數變化與總和(∑)的關聯性，進而觀察出可達成穩定狀態(收斂)之條件的規律；而當無法達成穩定狀態時，起始彈珠數之總和固定，在甚麼條件下會形成最大迴圈或最小迴圈，其迴圈數是多少，而迴圈的個數又會是多少；並探討起始值在甚麼條件下，其分配過程中，每個組合都能經過且不重複；最後，將分配過程所找出的規律，運用數學邏輯並加入條件因素，寫成演算法，利用程式GDScript動態語言執行，並呈現其分配過程及驗證我們的方法。

本研究主要探討以軌跡法做出平面多邊形的軌跡圖形與原圖形之間的關係。文中主要分成三部分加以分析討論。首先，將三角形以軌跡法做出後，觀察軌跡圖形與原圖形的關係。其次，軌跡圖形與原圖形是否存在一定的規律，對於不同的多邊形是否都存在此一規律？最後，以數學概念證明出軌跡圖形會與原圖形相似或是全等。從中發現在菱形的相似圖形尋找過程中，當原來菱形的內角分別為60°、120°、60°、120°時，其他兩點的軌跡線所形成的圖形與原圖形具有全等關係。接著更進一步分析與討論此一情形後，歸納出當所選定的軌跡點至定點的距離等於定點至動點的距離，則該軌跡點所形成的軌跡圖形會全等於原圖形;反之，該軌跡點所形成的軌跡圖形會相似於原圖形。

本研究是先找出正多面體的每一個「面」上的中垂心，並將相鄰「面」的中垂心相連，紀錄所形成的多面體結構，並歸納出規則原理，進而推論至阿基米德立體。 我們嘗試以「相鄰中垂心相連」的研究方法，用針線實際的連接柏拉圖立體模型的中垂心。結果歸納出四個規律分別為點面個數會互換、邊數不變、面形邊數是原圖共點面數、原面形邊數是新頂點共點面數。而這四項規律推論到阿基米德立體一樣適用，並且在本研究中獲得驗證。 研究中更發現到柏拉圖立體與阿基米德立體的對偶圖型關係，其中正六面體與正八面體互為對偶；正十二面體與正二十面體互為對偶。

本研究發現互不整除的組合個數在2至Ｎ/２（(Ｎ＋１)/２）之間。且快速找出其中一個互不整除的最少組合內容為(N-1,N)且必有(2,3)。 當N為質數，組合個數(P)為2的情況下， 1~N的組合數量（a_N）有aN=aN-1+N-FN的關係存在。組合個數(P)的組合數量（a(N,P)）有a(N,P)=a(N-1,P-1)+a(N-1,P)的關係存在。也出現連續數的狀況，連續數的數量與N及組合個數(P)，呈現N-2(P-1)的關係存在。 另外，我們創造了「互不整除表」，透過螢光筆劃線即可來快速判斷該組合是否為互不整除的組合。我們也可以透過「互不整除表」快速找出組合個數為2時，1~N的組合數會有多少種組合數量。

我們研究《科學研習月刊》上一個有趣的數學遊戲「正七邊形的頂點中有五個紅點，兩個黑點，用紅點當頂點可以連成多少個等腰三角形？」。 目前研究此題目的其他科展作品，採取直接計算所有頂點皆為紅點的等腰三角形個數，當黑點增加時，分類情形複雜而難有一致規律，所以探討到最多的黑點個數僅為4個。 有別於其他作品，我們提出不同的策略，先計算等腰三角形頂點包含黑點的情形，再利用排容原理扣除，得出一般化的結果：在正N邊形中，給定任意B個黑點（B=0,1,2,…），給出計數等腰三角形的個數一般化策略與公式。除此之外，利用本研究提出的方法，進一步延伸探討正多邊形內的等腰梯形個數，給出計數等腰梯形個數的一般化策略與公式。

本文主要探討兩全等正n邊形之n個邊所在直線所圍2n邊形之交錯邊的m次方和關係，參考資料[1]中的原始問題為：『平面上△ABC與△A1B1C1為兩個全等正三角形，且AB與C1A1、AB與A1B1、BC與A1B1、BC與B1C1、CA與B1C1、CA與C1A1分別相交於P、Q、R、S、T、U等六點，又六邊形PQRSTU未落在兩正三角形外部時，則PQ2+RS2+TU2=QR2+ST2+UP2。』我們發現兩組線段的一次方和亦相等，接著推廣到正方形與正五邊形。我們也考慮正n邊形的兩組線段的一次方和與二次方和，並發現如下的規則：『當0≦m≦n-1時，兩組線段的m次方和亦相等；而當m≧n時，雖然兩組線段的m次方和不再維持恆等，但在滿足特定的條件下，還是有機會相等的。』

本研究是由一個棋盤遊戲推廣延伸而來的，研究內容為紅棋先走或後走，若紅棋壓在藍棋上面，則紅棋獲勝；若藍棋壓在紅棋上面，則藍棋獲勝。(也就是說紅、藍棋在同一方格時，遊戲就分出勝負了。)而本研究分成兩種遊戲：遊戲1：紅、藍棋只能上下左右移動、遊戲2：紅、藍棋除了可上下左右移動外，增加可向斜的移動方式；若紅棋每一次走 步、藍棋每一次走 步，且雙方的起點分別在任意位置的方格中，分別去推導雙方剛好走完或少走k步就分出勝負的最短步數、最短路徑數、雙方分出勝負時的所有位置個數、所有位置(坐標)以及分出勝負的判斷準則，最後由上述遊戲1及遊戲2推導出來的公式，透過演算法並利用程式軟體-R語言寫成程式碼作驗證。