數學科

透視法在建築圖學上是常被使用的方法，例如一點透視、兩點透視、三點透視等。透視法在文藝復興時期對繪畫也產生重要的影響，例如馬薩喬的「聖三位一體」。 我試著不使用幾點透視的看法，而是對透視法建立一個模型，再根據這個模型中得到的性質，去進行一般化情形的尺規作圖，並對透視法中常用的理論進行驗證。 作品說明書中所有的幾何圖形，都是利用Geogebra自行繪製而成。

密碼學分為密碼術與破密學，而本次的研究重點在密碼術的部分。密碼術的研究在於加密的複雜性與解密的可逆性，而一個加密系統的好壞取決於它的安全性。本次研究運用了國中的幾何概念與高中的矩陣發展出新的加密方式。並透過合成函數的概念結合五重不同的加密方式，增加其加密的安全性，分別為改良式改撒密碼、不完全加密法(一維度不完全鏡射法、二維度分別不完全鏡射法、二維度不完全鏡射法、二維度不完全點射法、二維度改良式不完全映射法，高維度不完全加密法)、煙霧彈加密法(改良式維吉尼亞密碼、干擾加密法)、連分數加密法與RSA公鑰演算法，以各自加密法的優點截長補短，使這五重加密方式能相互配合，奏出和諧優美的「加密五重奏」。

網路上提及旋輪線的性質許多都與物理相關，較少有數學方面的深入探討。我們先利用繪圖軟體試著繪製出旋輪線，然後以旋輪線的基本性質為出發點，進一步拓展到外旋輪線及內旋輪線，探討它們之間的相互關係，並試著找出各種不同變形間的規律與性質。

以2×1的方塊進行排列，探討排列成 m×n (其中m為2、3、4，n為所有自然數)的長方形時，所有的排列方法數；分別以An、Bn、Dn分別表示2×n、3×2n、4×n的所有情況，並比較之間的關聯性。因為2×1方塊無法完整排成3×n的圖形 (其中n為奇數) ，故不討論。研究最後結果，我們得出An、Bn、Dn的遞迴關係式與An的通式解。 另外，還嘗試用3×1方塊，探討3×n的結果，並與An比較，發現之間的關係頗為類似；也因此能類推至利用m×1的方塊，排成m×n的長方形之情況。

本文從一個現象開始:一群陌生人在坐一排座位時常不與他人鄰座，對此現象建立了一對數學模型探討。我們主要研究一維的情況下，能坐下的人數、以及若第一個人策略性的選擇，其至多能坐下的人數及策略、和隨著椅子數的增加至多能坐下的人數之變化。進一步地，我們將其中一個模型推廣到二維的情況，推導出在正方形的格子點中能坐下的人數。過程中我們先做一些預處理得到遞迴函式，然而常會遇到帶有高斯符號或是分段的遞迴函式，因此我們主要採取的手法是先猜出遞迴式的通式再歸納，或是利用調整法。最後雖然礙於二維以上的一般情況會因沒有規律而導不出完整的結論，但本文中我們做出了一些部分結果，未來也會試圖往更廣的情況突破。

本文過由問題「過平面上任意給定n點作n邊形，使其每條邊分別包含這n個點的其中一點」出發，將條件放寬使給定點可在「各邊直線上」，並定義「狹義解」與「廣義解」，研究其存在性以及邊長的極值問題。另外，我們也意外發現了相似n邊形定理，並給出了嚴謹的證明。

在找尋正方體和長方體的展開圖過程中，我們就像展開了潘朵拉的盒子一般，瞬間爭議聲四起，大家你一言我一語，爭相說出同學上衛發現的展開圖，在一片混亂中，我們研究發現了尋找正方體展開圖的規律，並利用這個規律進一步找出長方體的所有展開圖。

本研究是探討一般位置的n條直線(無三線共點且無平行線組)，皆會產生圓共點和圓心共圓的現象。在一般位置的四條直線中，四個三角形的外接圓會共點，稱此點為密克點。 同時其圓心也會共圓，稱此圓為心圓。若再添加一條直線，則可以任意的取出四條直線，分別找出它的心圓，而這五個心圓仍然會共點，同時其圓心又會共圓。為了證明此種情況會不斷地延續下去，我們利用數學歸納法以及四點共圓的性質證出一般位置的n(n≥4)線形都會有密克點和心圓。此外，如果考慮退化的情形(共點或平行)，也會同時有密克點和心圓。我們還進一步發現四面體也有相對應的密克點和心球，但五面體以上就沒有。

養貓養狗當成寵物人人愛，政府也不斷宣傳要幫寵物結紮以免數量太多造成家庭與社會的負擔，五下自然課也有上到動物的繁殖，為了能更清楚明瞭動物的繁殖力，本研究以貓為對象，費氏數列為基礎，研究影響貓族群數量的「成長期」、「懷孕期」與「子代對數」三個基本變因對數列的影響，找出數學式與推算出貓對(如公母各1隻稱為貓對數量為1)繁殖的模型，以預測貓族群的數量，了解替寵物結紮的重要性。

此作品研究是「將問題先轉換成二元一次方程式的解(其中二元一次式為3x+4y)，再者，透過推導過程研發找到『間隔標記點數模式』方法，能快速且無遺漏的畫出，判斷能否將圖形覆蓋填滿；更進一步延伸到N×N方陣或M'×N'矩形，只有總格數為3的倍數，可完全被L型填滿，若一定都要用到I型或田型，則分別最少需3塊；當總格數為非3的倍數，則I型或田型分別最少為1塊或2塊，需視總格數推知。對I型與田型拼片數同但結構不同，部分巧拼是無法填滿，經總格數切割成小方陣或小矩形的組合，推導找出符合可將方陣圖形及矩形圖形覆蓋填滿之劃分方式的一般式，同時以『數學歸納法』證明之。最後，以程式C#寫出執行操作的友善介面，進行驗證其規律與異同點。