Sperner 引理常用於遊戲必勝法以及一些塗色的相關問題，本篇研究將先針對 Sperner 引理的內容進行探討，並且進行相關內容的證明，而後將Sperner 引理中的規則進行延伸：原先此引理在三角形內進行討論，本篇研究嘗試將問題假設為在任意正多邊形下其中頂點的標號為1、2、3且相鄰頂點需為不同標號下進行探討，而後在多邊形內部放入點後進行三角化，在三角化的過程中若其中三角形分別為1、2、3，則命名為公正三角形，對此成功探討出在不同正多邊形下公正三角形個數的狀況，並且將三角化後每個三角形皆為公正三角形的狀況定義為完美G(m,n)圖，在研究最後針對在三角形下的公正三角形個數進行一些特例整理。

本次的科展研究，分別探討等腰及任意的銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，其三邊長經過指數轉換： 及線性轉換：√T, T-1, Tn及線性轉換：sT+r後，新三角形存在性的探討，是必然存在亦或是條件式存在，並且利用餘弦定理檢視新三角形的最大內角，進一步判斷為何種三角形。另外，我們讓變數 或 或 分別遞增，發現新三角形的變化會有一定的趨勢。

在組裝碳球模型的過程中，我們好奇碳球模型之五邊形、六邊形、七邊形的數量是否有其特殊關係，才會組成多面體，希望經由研究後，可以發現令平面形成多面體的原因，且應證碳球模型中，五邊形、六邊形、七邊形之特殊關係恆成立，並進一步延伸至其他多面體。 由文獻探討中，得知多面體缺角和為720°、尤拉定理的:點+面=邊+2、及巴克球與碳球模型之性質，進而進行相關之研究。 由研究中，我們得到的結論為: 一、五邊形數量減七邊形數量等於12 二、n顆碳原子模型(n為偶數且≥20)組成之碳球模型，有[0.25n-5]+1個組合方式。 三、對於符合每個點連接3條邊的多面體，∑k=1面(6-Nk)=12關係式恆成立。 四、對於符合2*邊-3*點= α的多面體，∑k=1面(6-Nk)=12+2α關係式恆成立。

本研究從圖論的角度探討桌遊「Micro Robots」所引出的相關問題。 第一部分，提出並證明同心圓法、鄰接矩陣元素的加法、鄰接矩陣的乘法，可以計算遊戲地圖中任兩點的最短距離、最短路徑與最短路徑數，分別將三個演算法撰寫Python程式，並比較其功能與時間複雜度。 第二部分，探討遊戲地圖上的參數：兩點平均距離的極值，並引出遊戲地圖設計的問題。 第三部分，探討鄰接矩陣、卡牌矩陣、位置矩陣與地圖的關係，進而提出一套演算法，以處理滿足給定條件地圖之存在性與設計方法，並將演算法撰寫Python程式。

N(N≥3)多邊形滿足「N多邊形A1 A2 A3⋯AN-1 AN中，K為不在多邊形上的一點， 將K點分別連接N個頂點，得到N塊三角形，設G1、G2、⋯GN-1、GN依序為其重心， 則 SG1G2⋯GN-1GN/SA1A2⋯AN-1AN =2/9+1/9(SA1 A3⋯/SA1A2⋯AN-1AN )」。 無獨有偶，N(N≥4)多邊形滿足「依序找N邊形A1 A2⋯AN中連續三點，得到N塊 三角形，設H1、H2、⋯HN-1、HN依序為其重心，則 SH1H2⋯HN-1HN/SA1A2⋯AN-1AN=2/9+2/9(SA1A3⋯/SA1A2⋯AN-1AN )+1/9(SA1 A4⋯/SA1A2⋯AN-1AN ))」。

本研究探討Chomp遊戲中，先手與後手是否存在必勝策略和先手是否能必勝，並探索n×n與n×m矩形中，先手必勝策略局面的種類，推論該局是否為必勝局面。研究結果顯示此遊戲存在必勝策略，若先手知道必勝策略，那麼先手最終必然獲勝。在n×n矩形中，先手的必勝策略是第一步要放最接近左上角方格的對角線位置上，接著使用對稱的策略放置，持續到最後亦能夠獲得勝利。再者探究n×m矩形的必勝策略，得到一般化公式的結果。最後，利用Grundy數來推論每個局面是否為必勝局面，結果顯示Grundy數為零，則為必勝局面。若Grundy數為其他數值，並且對手知道每一步的必勝策略，則為必敗局面；反之則需搶先一步拿到Grundy數為零的局面，接著每一步都使用必勝策略，最後才能獲勝。

本研究主要針對大正m邊形內嵌小正n邊形的內部圖形做探討，初步想法：因為對稱，所以中間交集的圖形大概也是正m邊形，或沒有交集！但事實似乎不是我們所想的那麼簡單。首先在Geogebra繪製了許多圖形後，發現n的奇偶性會使圖形內部的重疊區塊有不同的特徵及規律，並進一步依照m＞2n、m＝2n、m＜2n分細項探討。接著，本研究使用數學法則證明了此規律的一般性質。特別值得一提的圖形有二： (1) m, n皆為奇數且m＜2n的圖形會交集出邊長相等的非正2m邊形，此2m邊形既非正多邊形，頂點亦不共圓！ (2) m為奇數且n為偶數且m＜2n的的圖形會交集出正m邊形，唯獨(m, n)＝(7, 4)是例外的，它會出現沒有交集的結果。 最後，我們以鋪磁磚問題落實面積通式之應用。

本篇作品之主旨為研究在任一個n×m棋盤中(n≤m)，任意擺放數顆棋子，使棋盤中任四顆棋子之排列均不構成正直四邊形之最多與最少棋子數(最佳擺棋策略)。我們利用發現的四種方法: 控制n×n棋盤的第一列與第一行的棋子顆數、行與行或列與列之間的互換、增加一行一列多擺三顆和排一直行的特殊排法，得到n×n棋盤最少與最多棋子數，並延伸至n×m棋盤做探討。

三角形內心中，我們發現新理論將內心沿角平分線至頂點放大"特定倍率"產生新三角形其重心與原三角形內心共點。內心沿角平分線點放大另一"倍率"產生另一三角形又和原三角形內心共點，並稱為頂內與邊內三角形，兩三角形不僅全等且圖形疊代形成完美心對稱圖形。再利用向量理論創出新三角形通式使原三角形垂心或外心變換成新三角形重心。內心能變重心，重心也能變內心嗎?我們再找出並與原三角形合稱三共軛三角形，討論三者關係。最後在角平分線上找出和原三角形共圓的三角形，發現原三角形內心和新三角形垂心共點且兩三角形外心亦共點的特殊現象，進行重複疊作三角形最終將收斂為正三角形，並修正第52屆科展高中組心心相印類似研究的錯誤。

生活中，常常因為一個不小心，一段美麗的意外就此展開。 我們從三角形中的三角形個數計數開始。 計數三角形個數的過程中因為力道太大導致其中的一個小三角形意外地被搓破一個洞。並且發現計數時偶爾會有三角形是包含此被戳破的三角形。直覺告訴我們當任意戳破一個三角形時，剩餘的三角形數會有一個規律存在。經過一連串的抽絲剝繭與討論，我們終於找出這規律。研究過程之中，我們發現會有一些同樣的思維模式來解決問題。不得不說，數學的世界真的太豐富且無奇不有了。