數學科

近年來流行的轉珠遊戲大同小異[1]，其玩法是可以從任一顆珠子來移動，所以能自由移動的方式相當多，找出最短移動路徑也相對的複雜。起初先從數字拼圖開始[2]研究起，若起手之珠子看成是空格的話，移動珠子等同於數字拼圖的數字移動至空格處，別於數字拼圖的固定位置擺放，轉珠遊戲以這個架構延伸變化。本篇試著在3X3的盤面中，放上三種不同顏色的珠子，找出其最佳移動路徑與其規律性。

本研究主要在討論一個益智遊戲─瓶蓋問題：一開始有十瓶飲料，每兩個瓶蓋或四個瓶身換一瓶新的飲料，而求能喝到的飲料瓶數。我們將這個問題延伸擴展，觀察多個交互影響的變數的變化規律，並了解兌換過程中的特性，再進而找出計算法則來求取最多可喝到的飲料瓶數。以及考慮不同兌換策略造成結果的差異，並據此尋找其在商業上的用途。

把 個箱子依序編號後排成一排，接著把 顆球也依序編號，這樣一來每個球都有相對應的箱子可以放入。如果今天我們隨意的將球放置在箱子裡，再觀察球跟箱子的編號是否一致，我們可以發現到三種情形： 第一種：每顆球剛好都放進所對應號碼的箱子 第二種：有些球剛好放進所對應號碼的箱子，而有些沒有 第三種：每顆球皆沒有放進所對應號碼的箱子 除了第一種之外，其他兩種有很多種排列的方法數，在考量到排列總數量或是錯誤排列個數這兩個變因後，最後我們得出一個關係式為f(n,t)×Πk=n+x-t-y+1n+xk/Πk=n-t+1nk×Σk=2t+y[(-1)k×1/k!]/Σk=2t[(-1)k×1/k!]=f(n+x, t+y) ，其中n, t, x, y ϵΝ且n≧t>1、n+x≧t+y>1

延續研究從101開始到10000的數，把數據加廣，探討1到10000之間的數是否有其他變化 的可能性，或是否有其它不同的新發現。先將其每一個數平方之後，再連續做其數的「平方 的和」以及「和的平方」，經過繁複的計算過程後可推論出每個數的「平方的和」以及「和 的平方」，計算結果都會歸到某一個數值；有些數值彼此之間也具有某些規律性。

本研究針對「九、十九、廿九」這一個撲克牌心算遊戲，做進一步的深入探討。首先先進行數字組成和花色組成分析，接著利用電腦程式去模擬出不同尾數間的成功牌組和數字組成情況，進而去分析數據之間的關係。研究結果如下：一、3~30數字組成共220種，加入花色考慮，就有9880種；二、不同尾數成功牌組的數字組成皆是1108組，不同尾數之間的存在對應關係；三、不同尾數數字組成皆22種，出現次數和皆為14404次；四、將遊戲加入JQK後，利用方程式破解會剩下來的牌，且聯立討論出成功牌組；五、透過研究結果，將單人遊戲變化出多人的玩法。

本研究為探討奇數n分為(a,b)整數對後，不斷取偶數除以2加於奇數上的交換過程。 我們從交換過程推導出交換元素 (H×2k，(n- H×2k))，並找到交換奇數集合H，透過交換奇數列表能更快找出數字n中有幾個循環，另外也發現nx=2(x+1)k+2x×k+2(x-1)k+....23k+22k+2k+1時不可交換的數字規律。 交換奇數列表在階段k時，可知[n-(3×2k+1)]÷2k+1=sk...qk，若qk2k，則階段k最小的數字= qk-2k。 依照發現，可列出數字n的所有交換奇數列。 之後，發現交換奇數的排列呈現迴圈規律，並進一步找到形成循環的條件與糖果數目左右交換的關鍵點。 此外還找到了位置移動數列：y×(2k)0,y×(2k)1,y×(2k)2, y×(2k)3……y×(2k) (x-1) 以及位置移動級數s(k,y,x)= y×[1-(-2k)x)]/(2k+1) 透過位置移動數列可更快速的列出迴圈，達到快速降階，更迅速找出循環的目標。

研究科學玩具「nanodots」與數學曲線「懸鍊線」(Catenary)的關係，並更進一步思考nanodots的多寡與最終形成曲線的逼近程度是否有正向的關聯。

堆磚塊問題的最長延伸值在150年來普遍的被探討，甚至也出現在我國的物理課本當中。然而在我們的特殊堆疊之下，發現最大延伸值或許可以延長。在過去等寬等質量磚塊的堆疊中，所有磚塊皆遵循上面n塊的總質心位在第n+1塊的右邊緣正上方。但是，我們可以跳脫原本「只能向右延伸」的框架，有計畫地其中某幾塊向左排列。這些延長值的範圍可以透過函數的歛散來解釋。 我們也探討如何堆疊不同長度及質量的磚塊而得最長延伸值。我們以不同順序堆疊磚塊，並且同樣透過典型方法及特殊方法來討論，並且由上到下以數列來描述不同長度木塊的擺設順序，由此討論可能的最大延伸值，並寫成數學式，用於計算每層磚的不同長度的最大懸伸。

由田忌賽馬的典故當例子，我們想從中研究出如何運用最佳的策略，使往後的策略存活機率最大，可應用於在參加各種比賽時的順序安排，增加其獲勝機率。 我們依照田忌賽馬設計了三種模型分別去討論： 1. 仿照田忌賽馬的故事，討論典故中採用策略與其成功的原因 2. 在田忌賽馬的架構下，給予比賽其中一匹馬增強的可能性後再進行競爭，在作品中我們稱為一次演化多次競爭的方式，進而討論使用何種增強數值的策略能夠獲得較大的得勝機率 3. 帶入生物演化的概念，使增強演化與競爭持續進行，在作品中我們稱為多次演化多次競爭的方式，討論持續的演化與競爭下，找出當中最適合的競爭策略

透過「七個正方形之謎」的深入探討，我們除了破解其謎題外，更進一步去探討「點」和「正方形」的關係，最後透過歸納和整理，找到了正方形數量的公式。 ∑k=1n(n-k+1)2×k=(n×(n+1)2 ×(n+2))/12 利用這個研究結果，我們更進一步去設計有趣的「287幻方謎題」以及「兒童四角棋」，希望能做為未來學習平面幾何正方形的補充教材！