數學科

本研究主要探討光線由正六邊形一邊中點出發，經反射回到出發點形成循環反射的規律。其中發展了展開圖，藉由圖形不斷向外翻轉鏡射，以光射線出發後打到的邊為對稱軸，將多邊形及反射線段作線對稱操作，使入射路徑和反射路徑成一直線，所有線對稱後所得之多邊形會接續著將此一直線路徑覆蓋。運用標定座標的方式以記錄展開圖中光線射向，並探索展開圖中完成循環反射時的終點座標。運用將反射邊依序編號，方便記錄並計算反射的規律，以首段末位邊編號及累進段數的推算出完成循環反射所需的分段反射次數之通式，並藉以研究分段跨邊數、總反射次數及總跨邊數。並紀錄分段跨距串列，跨距規律及了解完成循環反射的通過點座標之規律。

本研究分兩部分:一、探討多個正立方體在改變鄰邊的連接方式所產生的立體圖形，並經由翻轉後所產生的變形效果，由2連變形方塊，只有1種連接方式及2種立體圖形，到3連變形方塊，發現總共有5種連接方式，9種立體圖形；最後發現4連變形方塊，利用GeoGebra軟體嘗試了所有可能情形，經由篩選後找出共50種連接方式，可產生共92種立體圖形。二、透過研究立體圖形性質:表面積、最大及最小接地面積、接面數、所占空間圍成立方體後的體積…等討論，啟發設計遊戲的創意，進而設計出「T-C(Transformation Cube)方塊遊戲」。此遊戲的規則類似「3D Bricks Puzzle Series」，最大的不同在於變形方塊的可翻動性及互動性。最後列出遊戲中各種變形方塊的使用時機及遊戲的致勝策略，提供玩家參考。

從廣告影片中也能發掘有趣的數學題目。 本作品主要研究從廣告「交換名片」發想的數學問題：試求全體人員完成一對一交換名片所需最少輪數，我們得到最佳解；由於交換名片屬於交換訊息的一種，所以我們探討更一般化的情況，設計兩種交換訊息的方式：「攜帶」與「分送」，找出這兩種所需的最少輪數。前者的最少輪數和「2的n次方」有關；後者的最少輪數則利用「費氏n-步數列」解決。最後我們比較了三種方式的最少輪數。

本研究探討可以使用哪些正多邊形拼排出有規律的圖形？由可用「1~3種正多邊形」共3~6個拼成交接面360°的圖形，推導出等式： (k-2)/2=1/x +⋯+ 1/y +⋯+ 1/z，k∈{3、4、5、6}, x、y、z ∈{N∣N≧3}╰ 共k項，x、y、z可相等 ╯ 利用枚舉法及十字交乘法，求等式的整數解。再實際製作正多邊形拼排，發現：有10組正多邊形可連續拼排出交接面360°都相同的規律圖形；有1組可連續規律拼排，但並非交接面360°都相同；而有6組圖形無法繼續規律拼排。最後分析能否連續規律拼排的原因，找出檢驗方法，並運用軟體illustrator繪出有規律的圖形。 研究發現，雖然我們只能使用正三邊形、正四邊形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形作為拼排規律圖形的元素，但卻能選取多組圖形，發揮創造力，設計出更多有規律的圖案。

討論凸四邊形被奇數等分點及偶數等分點縱切與橫切後面積與總面積的關係。

快樂數一詞是一個近十幾年來所產生的話題，對於快樂數如何定義，及為什麼數也會有快樂與不快樂之分非常好奇，所以想藉由此次的研究及探討，我想找出有關快樂數的奧秘及特性，希望藉由此次的探討，讓我們對快樂數能夠有更深一層的認識。

從圖形分層遞降觀點找硬幣排列與方塊堆疊的遞迴關係式，可用流程圖找方法數。 一、將n個硬幣排成k列排法Bk(n) 種，共A(n)種 (一) 找出B1(n)=1, B2(n)=[n-1/2], B3(n) 。 (二) 從圖形解釋Bk(n)=Bk(n-k)+Bk-1(n-k) ： (三) Bk(n)拆為k-1列的關係式： Bk(n)=Bk-1(n-k)+Bk-1(n-2k)+…+Bk-1(n-tk) 二、將n個硬幣遞減排成k列排法Qk(n)種，共P(n)種 (一) 找出 Q1(n)=1, Q2(n)=[n/2], Q3(n)。 (二) 從圖形解釋Qk(n)=Qk(n-k)+Qk-1(n-1) ： (三) Qk(n)拆為k-1列關係式：Qk(n)=Qk-1(n-1)+Qk-1(n-1-k)+...+Qk-1(n-1-(t-1)k) 三、將n個方塊堆成k柱排法Tk(n)種，共S(n)種 (一) T1(n)=1, T2(n)=[n-1/2] 。 (二) 從圖形解釋Tk(n)=Tk(n-k)+Tk-1(n-k)+Tk-2(n-k)+...+Tk-t+1(n-k)，每柱取走1個： 最低柱為大於1層時，剩n-k個堆成k柱，排法Tk(n-k)種 最低柱為1層且有t-1柱，剩n-k個堆成k-t+1柱，排法Tk-t+1(n-k) (三) Tk(n)降為少於k柱關係式 Tk(n)=[Tk-1(n-k)+Tk-2(n-k)+...+Tk-t+1(n-k)]+[Tk-1(n-2k)+Tk-2(n-2k)+...+Tk-t+1(n-2k)]+...+[Tk-1(n-rk)+Tk-2(n-rk)+...+Tk-t+1(n-rk)] (四) 新發現S(n)數列。

探討三角形、扇形、梯形面積n等分的方法，以及給定任一三角形、扇形、梯形的圖形，不需任何數據，就可以用尺規作圖的方式來解決面積任意等分的問題。

音樂在人們生活中扮演著重要的角色，幾個簡單的音符就可以交織出動人、朗朗上口的旋律。透過這次資料分析，我們能夠知道受歡迎的歌曲或許是有一定規律的。 音頻，是聲音震動的頻率。當兩個音之間有著一定比例的音頻比時，就會產生和諧音， 這就是我們研究的目標。我們發現兩個半音之間音頻比值為 ，例如C－#C、#C－D間的頻率比；由音頻比的特性，我們研究了過百首的歌曲後，發現歌曲中音頻比為0.89、1和1.12所出現的比例占整首歌的40%~70%，眾數是以0.89、1、1.12為主；中位數幾乎都是1。我們歸納出一首好聽好記的旋律，其音符間大多都是上下一個全音，配合歌曲意境再添加一些急升或急降的音階。同時我們發現這107首歌的頻率比平均值十分趨近常態分配 X~N( 1.021，0.007952 )。

我們在高一時學到如何在銳角三角形三邊上任取一點形成周長最小的三角形。而我們現在將原有三角形的三邊轉化成圓或點，來探討三個元件上各取一點滿足最小周長的條件。 當我們以幾何的證明方法找尋三角形周長發生最小值的條件時，可由前幾個例子發現三角形周長發生最小值時皆具有角平分的特性，之後我們便朝此方向證明所有情況。接著，我們再以物理最小能量原理重新解釋每一種情況發生最小周長時的條件。 目前我們仍無法克服的為兩圓一點或三圓的情況，雖然已知滿足最小周長時會具備角平分的特性，但在明確找出點的確切位置時，我們目前只能經由圖形的觀測，發現一些有趣的特點，這之間還存在許多有趣的秘密等待我們去探索。