研究目的有四：（一）連續正整數列中，求出最長非等差數列解題策略及一般項公式（二）公差d之等差數列中，最長非等差數列一般項公式（三）從一組等差數列中，求出最長非等差數列總項數（四）求出等差數列中，任意項ai之三等分位置表記法。結果如下： （一）定義非等差數列第k項與原正整數列第k項間的差距為「異」並令為Tk-1=Σ[(k-1)/2i]ŸŸŸ·3i-1， （二）定義非等差數列第k項與原數列第k項間的差距為「異」並令為Tk-1=Σd·[(k-1)/2i]·3i-1， 三）從m項等差數列中找出最長非等差數列： 1. 若m=2·3n+R1，0≦R1>3n，項數2n+1， 2. 若m=Σ3n+2·3n+Rt，其中n1>n2>…>nt，0≦Rt>3n，項數Σ2n+2n+1， 3. 若m=Σ3n+Rs，其中n1>n2>…>ns，Rsϵ{0,1,2}，項數Σ2n+Rs， （四）求等差數列中ak位置，取3n≦k>3n+1，nϵℕ，如下： 1. k不為3的倍數，則ak表示為(z1+1)-(z2+1)-(z3+1)-…-(zn+1)-Cn ， 2. k為3的倍數，則ak表示為(z1+1)-(z2+1)-(z3+1)-…-zi+1-(3-3-3-…-3){n-1個}。 以此證明最長非等差數列。

此研究討論將多邊形各邊依等比例分割，與特定頂點相連圍成較小的多邊形與數個小三角形，運用電腦程式Geogebra，算出多邊形依等比例分割後，其各層三角形面積比和周長比，進而推導出其公式。

我們延伸黃莉芸、邱文均所提供的兩堆洗牌的數學模式，將其擴展到三堆以上的情形，並討論特殊情況下的洗牌次數（如同堆牌顏色相同或每堆牌數量相等）。探討過程中，我們發現前人所提及的數學模式相當有效，但三堆以上的情形更加複雜，我們修正數學模式以適用於多堆洗牌的情形。

養貓養狗當成寵物人人愛，政府也不斷宣傳要幫寵物結紮以免數量太多造成家庭與社會的負擔，五下自然課也有上到動物的繁殖，為了能更清楚明瞭動物的繁殖力，本研究以貓為對象，費氏數列為基礎，研究影響貓族群數量的「成長期」、「懷孕期」與「子代對數」三個基本變因對數列的影響，找出數學式與推算出貓對(如公母各1隻稱為貓對數量為1)繁殖的模型，以預測貓族群的數量，了解替寵物結紮的重要性。

本研究以平面為基礎，往內做N層切割，往外再向立方體推展，探討四邊形、體進行連線切割後，所剩餘四邊形為何種形式四邊形，且剩餘四邊形、體的面積、體積與原四邊形、體的比值來進行研究。結果發現正方形切割後，所剩餘四邊形仍為正方形；平行四邊形切割後所剩餘四邊形為平行四邊形，且剩餘四邊形面積為原四邊形的(n-m)2/n2+m2，長方形、菱形與平行四邊形結果一樣，並發現以此切割法也可以用來反證勾股定律。往內做N層切割所得內外面積比為[(n-m)2/(n2+m2)]N，往外向立方體推展求得體積比為1-(n+k)/2n+2k3/3n(n+k)2。

本文從一個現象開始:一群陌生人在坐一排座位時常不與他人鄰座，對此現象建立了一對數學模型探討。我們主要研究一維的情況下，能坐下的人數、以及若第一個人策略性的選擇，其至多能坐下的人數及策略、和隨著椅子數的增加至多能坐下的人數之變化。進一步地，我們將其中一個模型推廣到二維的情況，推導出在正方形的格子點中能坐下的人數。過程中我們先做一些預處理得到遞迴函式，然而常會遇到帶有高斯符號或是分段的遞迴函式，因此我們主要採取的手法是先猜出遞迴式的通式再歸納，或是利用調整法。最後雖然礙於二維以上的一般情況會因沒有規律而導不出完整的結論，但本文中我們做出了一些部分結果，未來也會試圖往更廣的情況突破。

「SET ! 你收集到幾組SET？」 本研究透過桌遊SET牌的研究，利用數學窮舉法和數學計算，探討SET牌桌遊遊戲中的奧祕。研究結果如下：一、SET牌由81張不同的牌所組成；二、至少發21張牌，一定會出現SET；三、利用我們找出的「關鍵密碼」，可以輕易將81張SET牌，拆解成27組SET；四、一副81張的SET牌，可以湊出1080組不同的SET。根據SET牌的四個屬性（顏色、數量、填充、形狀），每個屬性代表一個空間，我們將其想像成散布的四度空間的81個點，這81個點，每三個點連成一線，即是一組SET。81個SET點交織出1080條美麗的線段，即是屬於SET牌的數學美麗形體

為了可以設計能打掃樓梯的掃地機，我們需探討正ｎ邊形在階梯上的翻轉，因此我們從試作小正三角形在大正四邊形外圍的翻轉，畫出質心之翻轉軌跡並算出弧長與面積；接著我們擴展到小正n邊形在大正k邊形的翻轉，在千變萬化的軌跡中，找到弧長、面積的通式。同時，我們也探討：當由大正k邊形翻轉小正ｎ邊形的弧長軌跡，並計算出回到原出發點的最小圈數，並發現其規律。最後在應用方面，我們依此發展到小正n邊形及圓形在階梯上的翻轉，並改變階梯之夾角推導出其通式，可應用在機器人掃地機打掃樓梯。

單人棋戲，看似簡單，卻包含先人古老的智慧，蘊含無窮變化，雖然沒有對手和您同時競賽，但盤中乾坤卻是充滿想像空間，會讓人一上手就欲罷不能。 自製E型棋的玩法是：在E型棋盤中，每個橫排放入數量相等的棋子，每次只能移動1顆棋子，移動至指定空格即算一步，最後棋子要上下交換排列，並找到最少步數。 本次研究想透過數學中的歸納與分析，其中「棋子的步數」是否有特定的規律性，以及「棋子的走法」是否也隱藏著有趣的數學道理，我們不斷嘗試各種走法，雖然過程複雜繁瑣，但最後都得到排列的規律性，也有了肯定的結論。

本研究討論「過一定點P，對一凸N邊形的各邊做垂線，可得N個垂足。利用P點、N個垂足點及N邊形的N個頂點所形成的2N個直角三角形，對應2N個內切圓及半徑，此時若依序每次間隔一個三角形取其內切圓半徑(參考下圖)，共可將2N個內切圓分為兩組內切圓半徑和」，經過研究討論發現以下結果： （一） 定義適當區域為：由垂直此凸多邊形各邊的垂線所共同圍出的封閉區域，當圖形為正三角形時，適當區域為正六邊形，較原圖形大，其餘的圖形所形成的適當區域必在原圖形內部。 （二） 兩組相間隔的直角三角形之內切圓半徑之和相等的限制條件 圖形類型 限制條件 正2N邊形 P點在任意位置 正2N+1邊形 P點落在適當區域內 等角且非正N邊形 P點落在適當區域內