數學科

此研究主要在探討多邊形依序以各頂點為縮放中心，將各邊以相同或不同倍率縮放後連接各端點，形成新圖形，探討新圖形與原圖形間形狀、面積及縮放倍率等關係。從基本的正多邊形做起，到一般多邊形及N角星形，並將推得的結果應用在較複雜或變化的圖形中。

此研究探討螞蟻在各正多面體按特定行進規則進行表面行走之最短路徑，以及按照特定的截面規則將正多面體(柏拉圖立體)一刀斬後分割成二部份，觀察其所形成的可能截面變化，並利用Geogebra等電腦軟體模擬繪製，藉此協助我們計算正多面體分割成的截面周長與面積，進而推導出其公式及觀察截面大小之變化關係。

一、新瀉八幡宮算額問題 1.從由內往外作圖法知，三角形可用三個切線段表示其他線段、三角形與截線多邊形 內切圓半徑。並證明：截線多邊形內切圓的半徑和為全圓半徑的2倍。 2.由外往內作圖法是用三截線等長且位置唯一決定，三截角皆等腰三角形原理作圖。 3. 元貞利三角形的垂心為亨圓圓心，外心為全圓圓心。 4. 當正三角形時，截線多邊形內切圓面積和有最小值為全圓面積的28/25倍。 5.三角形之截線多邊形內切圓周長和為全圓周長的2倍。 二、正n邊形算額問題 設亨圓、元圓、全圓半徑為a,b,R,θ=180°/n 則a:b:R=cos2θ:sin2θ:(sin2θ+cosθ) (a+nb)/R=(n．sin2θ+cos2θ)/(sin2θ+cosθ) 每邊所截線段比(cosθ-cos2):(1+cos2θ):(cosθ-cos2θ) 三、四邊形算額問題 1. 從由內往外作圖法知，四邊形算額問題無定值。 2. 箏形用二個切線段表示截線多邊形內切圓半徑與全圓半徑間關係。 而等腰梯形則需三個切線段。

為了在放石頭的限制之下，找出(n×m)大小的方格圖，可以放幾顆石頭，並找出通式，本研究由1×1的方格圖開始慢慢擴展，求出數據，然後利用數據找出規律並利用階差數列、牛頓插值定理找出R(n×1)、R(n×2)、R(n×3)、R(n×4)的通式，並預測R(n×m)會是n的m次方。再藉由費氏數列、二階非齊次遞迴式的解法等方法找出R(1×m)、R(2×m)、R(3×m)的通式及R(4×m)的遞迴式 。透過整合利用階梯式累加法用excel表格整理區塊和區塊間的方法數差，始能快速找出第n列的通式，而求出R(n×5)、R(n×6)的通式。希望利用這些通式，透過整合推出方格圖大小(n×m)的通式。

圖的著色問題為現代數學的一門學問，而列表著色為一般著色問題的推廣，許多研究皆致力在探討各式的充分條件，使得圖可以完成列表著色。在數學歸納法的證明過程中，經常需要利用『可約構形』的概念來化簡圖形，進而確保能完成圖的列表著色。若圖在邊上具有方向性，則稱此圖為有向圖。我們的研究是利用圖在邊上的定向關係，創造一個多變數的多項式，在代數式上運用鴿籠原理，藉著尋求多項式函數值為非零值的可能，證明列表著色方法的存在性，並能有程序性的設計一系列在列表著色中的可約構形與演算法。

本研究主要在探討正多邊形翻摺時，其摺邊與邊所圍成三角形周長的規律。原題目如下：「給一正方形ABCD、將A摺至(CD) ̅上任一點E，翻摺過去的(AB) ̅與原(BC) ̅交於F。試證△CEF的周長為正方形邊長的兩倍。」 本研究先以軟體觀察數值，發現其規律在奇數邊形與偶數邊形時不同。正奇數邊形折點左右兩三角形相加值與多邊形邊長的比值為定值，其值與多邊形內角三角函數值有關；正偶數邊形折點右邊的三角形周長為邊長2倍，且摺點、原多邊形頂點與線邊交點的角度也與偶數的邊數有關。除此之外，也找到了正多邊形翻摺後所形成之各三角形周長在適當配組後，其和有定值的不變性規律，及推廣摺到任意邊上，其三角形周長和或差為定值的規律。

一、每一個圓外切四邊形的對邊和都相等，每一個對邊和相等的四邊形也都有內切圓。在各邊長度、順序、對邊和都相等的相異四邊形，隨著內角的不同而有不同大小的內切圓。 二、本研究從圓外切四邊形出發，試圖找到一套方法在僅知各邊邊長條件(長度、順序)下，判斷多邊形是否可能有內切圓。 三、多邊形如何在僅知邊長條件下，判斷是否有內切圓存在?以及如何進一步找出內切圓半徑長度與相對應多邊形的內角關係為本研究重心所在。

本研究探討螞蟻在一個無向簡單圖上，由原點出發沿著邊移動。當抵達某一點時，螞蟻會選擇和此點相鄰的某一點前進，作為下一步移動，但不能往回走，若螞蟻回到原點便不再移動。已知圖上各點的度皆大於等於 2，試問螞蟻在數次移動後回到原點時，移動次數的期望值為多少？ 我們最初是藉由觀察螞蟻經移動後回到原點的機率，推測每次回到原點時的機率之規律，但此方法難以在較為複雜的圖形上得到結果。接著使用了矩陣來研究，以矩陣乘法表示一次移動。有了矩陣，我們便能透過矩陣運算得到螞蟻在數次移動後抵達各點的機率，也能更方便的求出期望值。

我們由市售的角落生物椅凳，產生好奇心。原本想知道：若將正三角形內部沿著邊長有n個半徑為r的等圓與邊長相切時，邊長與面積與r的關係。後來進而探討正m多邊形每邊內側與n個半徑為r的等圓相切時，此時正多邊形周長S(m,n)及面積A(m,n)的通式。 接著我們將正m邊形的角落削切成為圓弧，形成圓角多邊形，其周長S’(m,n)與面積A’(m,n)的之通式。以數學歸納法證明以上通式，也推導證明S與S’的關係，A與A’的關係。 我們發現相對於變數n而言，S(m,n)與S’(m,n)為兩平行直線；A(m,n)與A’(m,n)為兩拋物線。 藉由給定m及n進行數值分析，針對以正三角形或正四邊形來製作不同半徑之圓角三角形，圓角四角形時，角落削切損失的面積為定值2.05r2與0.86r2等。對於圓角多邊形的削切給予建議。

此研究討論三角形 ABC 的外心、重心、垂心、內心到三邊之距離，並依銳角、直角及鈍角三角形，去比較各距離總和之大小關係及相互之間的關聯性。其主要結果為： 1. 用外接圓半徑 R 及∠A,∠B,∠C 表示各心到三邊之距離。 2. 設外心、重心、垂心、內心到三邊之距離總和依序為d1,d2,d3,d4，其大小關係為： (1)在銳角∆中，d1≥d2≥d4≥d3，僅當正∆時，等號成立。 (2)在直角∆中，d1>d2>d4>d3。 (3)在鈍角∆中，d1>d2>d4恆成立。d3與d1、d2、d4比較，並無絕對關係，但在等腰鈍角∆，我們給出其大小順序的臨界值。 3. 在銳角∆及直角∆中，等式d2=2/3 d1+1/3 d3 和d2+1/3 d1-1/3 d3-1/3 d4=R 恆成立。