數學科

將快樂數的計算方式略微改變，改成將一個數的每個位數的數字做1、2、3……n次方後，由數字大依序減去數字較小的，再取絕對值。隨後便和快樂數一樣，將新出現的數字重複作同樣的計算動作，觀察出現的數字是否和快樂數有類似的性質。

本作品研究了遊戲Cube中正四面體的滾動特性、色漆位置及最少步數解，並將三角網格轉換為方形網格，同時推廣至整個平面且為方形網格定義坐標。由於遊戲中考慮「回黏」時將較複雜，故作品前半部分先在不回黏的情況下做討論，並為了計算解題之「最短路徑長」，先求出任兩方格間「距離」，再將各方格間距離整理為表格，藉表格中行、列位置關係得出計算最短路徑長之公式。 而作品書後半段說明當考慮回黏時的情況，並因過程中需要求出任兩方格間滾動路徑上會經過A,B,C,D之個數，最後分析正四面體身上帶有色漆時對移動步數之影響。由於上述所有公式統整後非常繁複，故我們另借助Python將之統整並計算出回黏之最短路徑長。

多重角數之間的關係，在眾多文獻中已然有了答案，但尋求答案的過程多半利用繁雜的遞迴關係式或者利用「佩爾方程式」。然而無論任何一種，皆非高中課程所能涉及，如何突破此一關卡，利用高中所學觀察多角數之間的關係，是本研究的主要目的。 意外的是，我們發現利用矩陣解決多角數關係的不定方程，除了可以擺脫文獻中使用佩爾方程式通解的方法，而且我們所需的條件更簡便容易，不需要利用多個初始條件，僅高中所學的矩陣知識，我們可以順利的利用多重角數的一組顯然解(s,t)=(1,1)，以及基本矩陣，找到一條簡便、且令人容易理解與計算的道路。

本研究推廣古老的數學問題「Quadrisection Problem」，2018 年 Carl Eberhart 曾針對此問題進行探討，給出兩條垂直線將任意 △ABC 的面積四等分的解。 我們沒有設定兩相異直線必須垂直。由於兩相異直線至少將任意三角形分割成三塊區域，至多分割成四塊區域，所以我們先探討兩直線三等分三角形，再繼續研究四等分三角形，最後給出完整分割的圖樣與方法，並且給出四等分面積的充要條件。第二，我們繼續推廣到任意凸四邊形與凹四邊形，證明了對於所有凸四邊形與凹四邊形必存在四等分面積的分割方法，這是本研究的亮點之處。本研究雖僅使用了初等幾何工具，但是簡潔地找出豐富的性質並且完整解決了兩相異直線均分任意三角形以及四等分任意凸四邊形與凹四邊形的面積之問題。

一、本研究探討在一個基圓註一的圓周上任取一點當作圓心，以不同半徑畫出旋轉圓註二，旋轉不同角度，旋轉角度θ註三＝360°÷n，nϵN，且n≧3，探討旋轉圓之間的交點數、交點連線所產生的圖形及規律。 二、我們發現旋轉圓產生的交點數、交點連線所產生正多邊形數與旋轉圓的半徑R有關，詳見本作品說明書第23頁之研究結果一。 三、將和基圓圓心等距的交點連接起來會產生正多邊形，正多邊形的外接圓半徑公式有著對稱的關係。 四、利用簡單的道具可分別以平面和立體呈現圓與圓之間交點的情形，如下圖：

莫比烏斯環是一種只有一個面和一條邊的曲面，可透過紙條自轉半圈製作出來，本研究的出發點為探討紙環在不同的旋轉圈數下，紙條邊緣的結構，並將其延伸到葉結。因紙條會限制自轉的圈數，因此我們利用水管模擬紙條的邊緣，得出自轉圈數×股數=葉數，又因水管有固定長度，導致在不同的股數與自轉圈數下，圖形不一致，因此我們推廣至討論繩子在圓上等分點的繞法，將經過的等分點記錄成迴圈數列，並改寫成同餘數列以利探討同餘之等價關係。本研究旨在證明可以形成k股n葉結時，k與n必須互質，反之亦成立，又對於所有大於等於3的整數n，必有n-1股n葉結，故n葉結一定存在。最後進一步探討葉結立體結構的幾何性質以及在三維空間中的參數式。

一群人依序入座在r列c行的座位中，每個人都盡可能地不坐在其他人的旁邊。我們定義在某一入座順序中，入座時的座位，相鄰座位都還沒有人入座，此時我們稱這個座位為滿意座位，否則就稱非滿意座位。明顯地，滿意座位不能與其他的滿意座位相鄰。而滿意座位分布狀況就是圖論中的極大獨立點集問題。 我們先以Excel VBA程式進行模擬，對座位排列進行確認及優化，再利用程式模擬的結果及根據極大獨立集定義，探討極大獨立集的基數狀況。當矩形的列數和極大獨立集基數固定時，我們運用極大獨立集零件拼接的變化求出極大獨立集的排列數。此外，當極大獨立集基數固定時，極大獨立集圖形藉由獨立點移動而擴大的規則，我們意外發現其狀況與費氏數列有關。

我們從課堂中挑戰題出發，從高中數學的「餘式定理」、「數學歸納法」與「遞迴關係式」來對「費氏數列」進行討論。在簡單的多項式除法問題中，找到關於費氏數列的規律，並延伸找到與之密切相關的「盧卡斯數列」。此外，我們將研究中的費氏數列推廣至廣義費氏數列，以及遞迴關係更一般的廣義二階遞迴數列。我們將觀察得到對於二階遞迴數列的結果，用「數學歸納法」的方式證明。更將二次方的研究，延伸至三階遞迴、四階遞迴等高階遞迴的規律。並且找到當高次方時，符合前述關係的係數為對應階數特定矩陣特徵方程式的性質。我們也找出高次方中，特徵方程式各項係數的遞迴規律與巴斯卡三角形的特定關係。

將兩組{ 1，2，…，n }任意排成環狀，若對所有數m ∈ { 1，2，…，n }，m與m之間繞順時針的間隔數為m或繞逆時針的間隔數為m成立，則稱此環狀排列為「挑剔環」。

本研究探討「a平方－h是b的倍數，b平方－h是a的倍數」→「a平方＋h是b的倍數，b平方＋h是a的倍數」，發現若將前者的首項設為h－1，第二項為首項的平方－h，則其正整數解(a，b)會構成一數列且滿足遞迴式「第n＋2項=(h－2)*第n＋1項－第n項 」；若將後者的首項設為1，第二項為h＋1，則其正整數解(a，b)會構成一數列且滿足遞迴式「第n＋2項=(h＋2)*第n＋1項－第n項」。在探討「a平方±nh是b的倍數，b平方±nh是a的倍數」時，發現其解數列也滿足遞迴式「第n＋2項=(h±2)*第n＋1項－第n項」，其中新第n項=(n的正平方根)*原第n項。