本研究透過實測，找出實心圓穿越空心圓張開的最大值，並歸納出比值，再利用畢氏定理將此通則發展成公式。藉由空心圓直徑與空心圓張開最大值的比值所發展出的公式，預測實心圓可以穿越的最小空心圓直徑，並將本研究發現的公式應用在日常生活中，例如：撲滿、收納袋、收納箱等。

延續研究從101開始到10000的數，把數據加廣，探討1到10000之間的數是否有其他變化 的可能性，或是否有其它不同的新發現。先將其每一個數平方之後，再連續做其數的「平方 的和」以及「和的平方」，經過繁複的計算過程後可推論出每個數的「平方的和」以及「和 的平方」，計算結果都會歸到某一個數值；有些數值彼此之間也具有某些規律性。

網路上提及旋輪線的性質許多都與物理相關，較少有數學方面的深入探討。我們先利用繪圖軟體試著繪製出旋輪線，然後以旋輪線的基本性質為出發點，進一步拓展到外旋輪線及內旋輪線，探討它們之間的相互關係，並試著找出各種不同變形間的規律與性質。

設n是整數, 且滿足n≥2, 一個排列σ : {1,2,...,n} → {1,2,...,n}可以表示成包含坐標平面上n個點的集合Pσ = {(k ,σ(k )):1≤k ≤n}, 在一個以(1,1),(1,n),(n,1),(n,n)四個頂點所圍成的正方形, 其四邊皆與座標軸平行, 這個集合Pσ有最少2個點, 最多4個點在正方形的邊界上, 我們求出恰有m個點落在正方形的邊上的種類與方法數如下 當m=2時, 方法數為2(n-2)! 且n≧2 當m=3時, 方法數為 (n-3)!*4(n-2)2=4(n-2)(n-2)! 且n≧3 當m=4時, 方法數 (n-2)(n-3)(n-2)! 且n≧4 之後再推廣至三維空間: 設n是整數, 且滿足n≥2, 一個排列σ : {1,2,...,n} → {1,2,...,n}, 另一個排列τ: {1,2,...,n} → {1,2,...,n}, 可以表示成包含三維坐標平面上n個點的集合 Pτ= {(k ,σ(k ), τ(k ) ):1≤k ≤n}, 在一個由邊長為(n-1)所構成的正方體, 其十二個邊皆與座標軸平行, 我們求出恰有m個點在他們正方體邊界上的種類與方法數如下 m=0時{a6=6, a7=30, a3=90 an+1=an+n2-9n2+26n-24, n≧6 m=1時{a4=4, a5=30, a6=96 an+1=an+9n2-41n+46, n≧4 m=2時{a2=1, a3=7, a4=28 an+1=an+15n-24, n≧2 m=3時{a3=2, a4=4, a5=6 an+1=an+2, n≧3

此作品研究「在n堆彈珠數目的分堆問題，當每堆個數不同並進行分配，每次都從最多個數那堆拿最少個數那堆的數目給最少個數的那堆，直到收斂或出現迴圈時，則停止分配彈珠。」首先，探究分配過程中，奇偶數變化與總和(∑)的關聯性，進而觀察出可達成穩定狀態(收斂)之條件的規律；而當無法達成穩定狀態時，起始彈珠數之總和固定，在甚麼條件下會形成最大迴圈或最小迴圈，其迴圈數是多少，而迴圈的個數又會是多少；並探討起始值在甚麼條件下，其分配過程中，每個組合都能經過且不重複；最後，將分配過程所找出的規律，運用數學邏輯並加入條件因素，寫成演算法，利用程式GDScript動態語言執行，並呈現其分配過程及驗證我們的方法。

為了從遊戲中獲得勝利，進行研究的過程中，我們發現：挑戰者的贏牌策略為每張數字牌都比莊家大，除了一定得不到的質數牌外，設法拿到最多張數的數字牌。挑戰者的估計最大張數為（總牌數-位於數字範圍內一半以上的質數牌張數+1）÷2。但實際最大張數為估計最大張數-（拿「雙因牌」次數+「合數牌」張數）×0.5。挑戰者抽牌時應先抽最大質數牌，再抽最大質數平方牌，依序抽因數牌張數較少且與前一張有公因數的牌，以此類推，若最後有剩餘牌，觀察其中是否有合數牌再做試驗。 挑戰者的理想最高分為（最大牌分+1）×總張數÷2－〔（1+實際張數）×實際張數÷2+剩餘牌分+牌分差〕。

本研究探討可以使用哪些正多邊形拼排出有規律的圖形？由可用「1~3種正多邊形」共3~6個拼成交接面360°的圖形，推導出等式： (k-2)/2=1/x +⋯+ 1/y +⋯+ 1/z，k∈{3、4、5、6}, x、y、z ∈{N∣N≧3}╰ 共k項，x、y、z可相等 ╯ 利用枚舉法及十字交乘法，求等式的整數解。再實際製作正多邊形拼排，發現：有10組正多邊形可連續拼排出交接面360°都相同的規律圖形；有1組可連續規律拼排，但並非交接面360°都相同；而有6組圖形無法繼續規律拼排。最後分析能否連續規律拼排的原因，找出檢驗方法，並運用軟體illustrator繪出有規律的圖形。 研究發現，雖然我們只能使用正三邊形、正四邊形、正六邊形、正八邊形、正十二邊形作為拼排規律圖形的元素，但卻能選取多組圖形，發揮創造力，設計出更多有規律的圖案。

研究科學玩具「nanodots」與數學曲線「懸鍊線」(Catenary)的關係，並更進一步思考nanodots的多寡與最終形成曲線的逼近程度是否有正向的關聯。

由田忌賽馬的典故當例子，我們想從中研究出如何運用最佳的策略，使往後的策略存活機率最大，可應用於在參加各種比賽時的順序安排，增加其獲勝機率。 我們依照田忌賽馬設計了三種模型分別去討論： 1. 仿照田忌賽馬的故事，討論典故中採用策略與其成功的原因 2. 在田忌賽馬的架構下，給予比賽其中一匹馬增強的可能性後再進行競爭，在作品中我們稱為一次演化多次競爭的方式，進而討論使用何種增強數值的策略能夠獲得較大的得勝機率 3. 帶入生物演化的概念，使增強演化與競爭持續進行，在作品中我們稱為多次演化多次競爭的方式，討論持續的演化與競爭下，找出當中最適合的競爭策略

快樂數一詞是一個近十幾年來所產生的話題，對於快樂數如何定義，及為什麼數也會有快樂與不快樂之分非常好奇，所以想藉由此次的研究及探討，我想找出有關快樂數的奧秘及特性，希望藉由此次的探討，讓我們對快樂數能夠有更深一層的認識。