數學科

本作品主要研究點對三角形各邊鏡射，再將鏡射點連接形成鏡射圖形，並探討鏡射圖形和點的變化。發現有些點有不變性，並且可以將原本向外發散的鏡射圖形收斂使其互相重疊並全等，我們稱其為全等點。我們從正三角形開始研究，發現正三角形有六個全等點，因對稱性將其分為兩組。接著延伸至等腰三角形，觀察固定底為2，改變高之等腰三角形全等點軌跡，發現許多特殊現象，接著再將其轉為函數圖形進行討論，進一步利用代數式結合鏡射性質，計算出全等點的座標，並證明觀察時發現的現象以及發生的時機。另外，我們觀察並證明各個鏡射圖形的頂點和全等點會形成五大類共圓之現象，我們也嘗試進行正多邊形全等點之觀察，希望有機會推廣到一般化。

本研究旨透過「三視圖」的認識與研究，利用「貼盒法」進行其反向思考，找到多生三視圖的種類與樣式、規律性及積木塊的極值，並推廣到4×4×4的方塊，甚至n×n×n。最後由顏色、數字的介入，使三視圖產生獨一性，並加以延伸其概念，發展出「數獨積木」的玩法。 在研究「三視圖」的過程發現到前視圖與右視圖的視角交會處的個數≤(前視圖視角個數∩右視圖視角個數)就會產生多生三視圖，極值也會隨著三同圖或二同圖等，規律有所變化。過程中不僅助於培養學生觀察能力、空間想像能力、形象思維能力和幾何直觀能力，對於發展空間概念，更是有一定增強作用，希冀透過我們發明的「數獨積木」可以讓這些概念更能夠被大家廣泛接受。

從研習問題出發，數學模型化使用積木方塊組成嵌合面，聚焦在每個嵌合面與面間「咬合」關係。先探討存在性，發現基本嵌合面受限於單位結構，僅正六面體滿足嵌合正多面體條件。接續，透過「數值」搭配「圖形」分析，找到「n×n×n嵌合立方體建構方法」，稜值奇偶性+8 個角量判別式寫入 EXCEL，代入即可確定是否滿足「嵌合面角量之要求」及「每個嵌合面對應嵌合稜的方位」；再配合稜值—同構稜值、嵌配稜和判斷值可確認 n×n×n嵌合立方體 6 個不同嵌合面組成的正確性。 最後，透過「旋轉運算」得到「3+1 連基本結構」，可在 3D嵌合立方體與 2D嵌合矩形快速組裝轉換；解構 n×n×n 嵌合立方體有6n2−12n+8個方塊，重組成2D嵌合矩形面積最小值公式為n4−3n3−2n2+7n+3，其中 n≧4。

本研究源於 2016 年數學雜誌 Crux Mathematicorum 的一個三角形定性問題[1]，我們將這個問題進行推廣且創新探討其定量與定性性質。我們先討論任意三角形與任意凸四邊形、凹四邊形，分別針對不同連線情形下的兩個衍伸圖形的有向面積之和與有向面積之差進行完整討論，再巧妙利用平移不變性處理行列式級數和，最後給出一般化的不變量關係式與刻劃其幾何意義。此外，我們也特殊化探討其衍伸圖形恆為正三角形、正方形等有趣優美的定性性質。最後，系統性推廣到平面上任意封閉的凸四邊形、凹多邊形，先給出不同連線方式之間的重要輪換對稱性質，再分為奇多邊形與偶多邊形進行討論而得出任意連線構造的衍伸圖形之有向面積不變量的一般式。

將凡•奧貝爾定理的四邊形依對角線等長、垂直、平分分類，外接正方形推廣為正多邊形，則原四邊形對角線與相對中心連線有等長和垂直對偶、平分不變的現象。考慮相鄰頂點之中點時，則對點連線與相對中心連線也有相同結論；當原四邊形等垂對時，作出相鄰頂點之等比例內分點或外接相似三角形，則對點連線會等垂對。 當原四邊形外接平行四邊形時，則相對中心連線與相鄰頂點的中點之對點連線也會等長和垂直對偶。若原四邊形改成八邊形且外接正方形時，則相對中心連線的中點(或相鄰頂點之中點的相對中點)之對點連線會垂直且等長；外接對邊相似的平行四邊形時，則相對中心連線的中點之對點連線與相鄰頂點之中點的相對中點之對點連線也會等長和垂直對偶。

洪新富老師有張隨著開合旋轉的紙雕名片，我們好奇： A、如何製作會旋轉的紙雕？ B、其旋轉角度有無規律？ 在分析探討後發現： 一、在菱形結構中，當摺線呈階梯狀，就能旋轉； 二、在鳶形結構中，要旋轉還須：「中線至較大剪角頂點距離」 ≥「中線至較小剪角頂點距離」－「第一層和第三層剪線在對摺線上的間距」。 三、菱形和鳶形結構，不管每層剪角是否相同，相鄰兩層的旋轉角度皆會相差 「180度－第n層起始處與第 層起始處的夾角」， 其中每層剪角相同的結構，相鄰兩層起始處夾角為一個摺角。 四、在圓形結構中，當摺線呈階梯狀，且摺角不等於180度即可旋轉，其中 若摺角皆＜180度，則逆時針旋轉，若摺角皆＞180度，則順時針旋轉， 且旋轉角度都隨層數遞增。

「少數決勝淘汰遊戲」就是每位玩家開始時付出1單位的代價，並針對N個玩家（劇中為22個）連續對一些二選一的選項投票，由少數一方獲勝，獲勝者始得進入下一輪的投票，直到剩下一位或兩位玩家為止，若只剩下一位，則由該玩家獲得最後的N單位獎金，若剩兩位，則由兩位玩家平分最後的N單位獎金，但所有人需償還原來遊戲開始時所付出1單位的代價。而日劇「詐欺遊戲」的主角提出「遊戲中結盟共M個玩家（劇中為8個）即能保證必勝」的方法。本研究打算藉由歸納法來探討在N個玩家下保證我方至少一人獲得最後勝利的結盟人數M並平分獲利，同時研究遊戲中的最高獲利、最低獲利與可以得到獲利的期望值為何？最後我巧妙的利用二進位來解決問題。

在制定的變換規則下，找出六種變換性質，探討n種變色龍中只有兩種變色龍的數量發生改變，稱為基本變換。我們以n=4為例，列出變換次數與基本變換數碼之方程式，令第一種變色龍的變換次數為零，以最簡單整數比求出所有變色龍的變換次數與基本變換數碼。接著以相同的方法完成n=5、n=6，並將結果寫成方陣。 觀察方陣，發現其中有基本變換式的存在，即形成差成等比的基本變換數列，經由算式推導後可得基本變換數碼的三個疊代關係式，及基本變換數碼的一般式，另外我們也發現基本變換方陣具有對稱性，並以數學歸納法證明之。在我們了解基本變換的特性後，便可以另一種方式完成方陣，讓填寫方陣能更快速。

本研究主要在探討拿破崙初始n邊形與拿破崙正n邊形以及正n角柱的關係。研究中得知只需知道拿破崙初始n邊形的相鄰兩邊與其夾角，即可推得完整拿破崙初始n邊形，進而求得拿破崙正n邊形的邊長與面積，且證明初始 n邊形的頂點共橢圓。 此外，觀察正三角柱與一平面截出三角形，利用畢氏定理，可從三角形邊長推出正三角柱底面邊長，並將其推至拿破崙初始n邊形與正n角柱；發現當正n角柱底面和截面夾角固定時，截出的初始n邊形所作的拿破崙正n邊形皆全等；最後，我們利用解析幾何，證明任意三角形皆為一正三角柱與一平面的截痕，並透過投影面積與底面積，得知截面與正n角柱底面的夾角，企圖從幾何面確切應證如何截出該三角形。

運用方格的格子點試著連出正方形和長方形，我們發現這些連接方法的類型和規律，並歸納出正方形和長方形數量的通式。(1)正方形︰奇數邊長總數＝(N2＋4N－1)/4；偶數邊長總數＝(N2＋4N)/4。(2)長方形分三種結果︰(a)正長方形總數︰(N2－N)/2、(b)斜長方形45度角總數︰奇數邊長(N2－1)2/4、偶數邊長(N2－2N)/4。(c)斜長方形非45度角總數有規律，但無通式。