數學科

本研究將從圓內接多邊形出發，分成四部分研究，第一部分試探討圓上任一點至最近兩點和最遠一點的關係，第二部分試探討圖上任一點至圓內接正多邊形每一點的關係，第三部分試探討圓上任一點至頂點切線、對角線的垂線的關係，第四部分試探討圓上任一點在頂點切線、邊長的投影長度的關係。經研究後發現，第一部分的圓上任一點至鄰近兩點距離之和與至最遠點的距離成比例，第二部分的圓上任一點至正多邊形每一頂點依照順時針編號時奇數點的距離和與偶數點的距離和有一定的關係，第三部分的圓上任一點至頂點切線的垂線乘積與圓上任一點至對角線的垂線乘積有次方的關係，第四部分的圓上任一點在頂點切線的投影長度乘積等於圓上任一點在邊長的投影長度。

此研究之目的為探討二階不定方程式解之關係與 PyThon 程式解方程式。我們從找出部分初始值開始，再找出遞迴關係及一般式。並提出假說，找出除了遞迴式與一般式以外的其他關係。內容包括： 一、 a2 - 5 = b·k) b2 - 5 = a · k {2 的正整數起始解，及一組解中每個值的相互關係。 二、找出關於多組解的關係。 研究過程中發現許多國中課本沒提到的著名的數學特有名詞與本研究相關，如: 費馬小定理、模數(mod)、丟番圖方程式、牛頓一次因式檢驗法。

角柱與角錐側面都是由長方形或三角形組合而成，這些形狀的邊都是直的，我們想把直線摺痕改成曲線摺痕，探討能摺的條件與摺出的樣貌。我們依序在平面紙上研究無摺痕、一條曲線摺痕、兩條曲線摺痕、多條直線與曲線摺痕能摺的條件，發現曲面在彎摺處若找不到直線，則此曲面無法摺出來，封閉曲線不能摺成曲面，混合直線與曲線摺痕，摺痕間形成的曲面，只能是凸曲面或凹曲面，不能凹、凸曲面並存。我們把在平面紙上能摺的基本圖形連續組合繪製在圓柱與圓錐上，找出在什麼情況下能摺，其中能摺的作品若滿足3條件，則能「定型」摺出正n邊形的圖樣。我們可依此設計製作，創作出更多不同的形體應用在生活中。

在數字2~100之間，約定取哪五個數字，每個數字有五張牌。 每次遊戲，提問者從這二十五張牌中抽五張作牌組。 答題者用乘法提問，以較少提問次數答出牌組數字者，獲勝！ (一) 解題步驟 (1) 問五張牌相乘，找出具有特殊質因數的牌； (2) 找出牌組中，會造成乘積相同的組合，問其中最大數字的倍數相乘。 如果執行步驟(1)，尚未完全解題，就執行步驟(2)； 如果執行步驟(2)，尚未完全解題，再次執行步驟(2)。 在這個規則之下，可以依序確定五張牌。 (二) 提問次數 第一題問五張牌相乘的質因數分解，出現 (1) 四種以上的質數，直接得知五張牌數字； (2) 三種質數，最多加問一題； (3) 兩種質數，最多加問兩題； (4) 一種質數，最多加問三題。 在這個提問上限之內，一定可以成功解題！

n個城市建立光纖網路，以最經濟的連接方式，需(n-1)段連線，探討共有幾種建立方法L(k,n) (但限定城市標號差不得大於k，k∈Ν)，我們依照條件逐步排出，驗證資料[2]中的發現，當k＝2時，得到規則L(2,n)=3 L(2,n-1)- L(2,n-2) ，n≥3，而前後兩項的比值正是黃金比例的平方((1+√5)/2)^2=(3+√5)/2≈2.618。接著，我們繼續探討L(3,n)各項的值，並尋找關係式，發現前後兩項的比值似乎也趨近於某個定數。另外，我們觀察到，若k=n-1，則L(n-1,n)=n^(n-2)，這就是凱萊公式[7]。因此我們繼續以『橫排推移』的方式探討並發現L(n-2,n)的公式。在L(n-3,n)在經過多方面的嘗試，我們也發現它跟n有規律性的關連，進一步地研究終於提出它是n進位的式子的猜想。另外，我們也以生成樹來探討我們的問題，並引用基爾霍夫定理矩陣[6]來計算我們的推理，證明吻合。

在平面上，我們都知道相異五點可決定一圓錐曲線。若給定任意四邊形，是由四邊形的四個頂點及異於此四頂點的第五點來決定圓錐曲線，則稱此四邊形為圓錐曲線内接四邊形。 本研究將四邊形分成平行四邊形、梯形及兩雙對邊皆不平行的四邊形等三種來討論，並同時考慮其為圓内接與非圓内接之兩種情形的四邊形，探討圓錐曲線内接四邊形的作圖及其幾何性質。研究中藉由六個輔助定理(包含圓錐曲線的直徑與定值性質及推廣圓内兩交弦定理)論證出二種拋物線及其内接四邊形的作圖及其判定條件，再進一步推導出圓錐曲線内接四邊形的作圖及其判定條件。也發現圓錐曲線內接四邊形的兩對角線斜率性質，並證明有趣的錐線中心軌跡圖形。

1.根據數學傳播期刊第43卷第2期中胡穎老師發表「圓外切四邊形涉及旁切圓的一個性質」[1]的關係式，把它從原先應用在圓外切四邊形，推廣至圓外切n邊形中，發現涉及圓外切n邊形的旁切圓不只在其周圍的第一層，而是到了第二層的旁切圓，也依然產生規律的關係一般式。 2.承1，所有第一、二層旁切圓半徑、面積和周長間，存在特定的規律性。 3.承1，所有第一、二層旁切圓的切點三角形，最外側邊上的高之間，有特定規律的等量關係式。 4.承1，與第一、二層旁切圓有關的「心頂點三角形」和旁切圓內切點三角形面積的比值有漂亮的乘積關係一般式。 5.延伸原本只討論第一、二層旁切圓，並推廣到第k層旁切圓，同時提出k、n的數學關係一般式。

因應疫情，為了知道社交距離在矩形裡可以怎麼排最多人，我們先從面積小的矩形範圍去排，試過正方形排列、三角形排列等方法，試著從中找出最密排列的規律，接著再慢慢的把矩形加長加寬，使面積加大，試著用不同的排列方式去堆疊，最後可以依照條件去計算任意矩形，使用推移法、補隙法等，得到優化緊密度的方法。

n個人圍成一圈，面向圓心，且逆時針編號1,2,……,n。一開始每人手中有一個糖果，由1號開始，逆時針分別給右邊的人一個、兩個、一個、兩個……糖果，手上沒有糖果的人必須退出。我們將此傳遞規則定義為T1,2 ，同理T1,2,...,p 。這個傳遞遊戲，最終會有兩種情形，第一種是由一人獨得所有糖果(成功狀態)，第二種是數人間傳遞糖果且形成循環(循環狀態)。 研究後得知，在傳遞規則T1,2,...,p(p≧2)下，若p=p1α1p2α2... piαi....pjαj(p1,p2,...,pj為p的相異質因數)，任意的n值(n≧p+1)均可唯一表示成n=((p)tx(p1s1p2s2...pisi·m)+q(t,mϵN, p ∤ p1s1p2s2...pisi, (m,p)=1, q=1,2,...,p)，令S=pt(p-q)+(pq-1)/p-1 +R·pt，則當m=1時，最終為成功狀態，且獨得糖果者的初始編號為S；當m≧2時，最終為循環狀態，且由m人循環傳遞糖果，而此m人的初始編號是S, S+ptp1s1p2s2...pisi,...,..., S+(m-1)· ptp1s1p2s2...pisi。上述公式中的R值，可透過我們研究出來的「R值迭代法」求得。

本文主要探討的問題為：當三角形以其外心旋轉180°時 (我們稱之為對徑三角形)，將此外接圓上一動點P對兩對徑三角形分別做西姆松線，當P點在外接圓上轉動時，兩西姆松線的交點軌跡為何。我們將西姆松線放在複數平面上來分析，推得這兩條西姆松線會互相垂直，並且它們的交點軌跡為一橢圓，此橢圓會相切於兩對徑三角形的六條邊，因此我們將此橢圓稱作這兩對徑三角形的「六點橢圓」，並探討這個橢圓的性質。 此外，我們也解出了斜西姆松線的方程式，並討論當改變對徑條件和旋轉對象時，兩西姆松線的交點軌跡方程式與圖形。我們發現了這些交點軌跡圖形都能對應到圓次擺線。