數學科

運用方格的格子點試著連出正方形和長方形，我們發現這些連接方法的類型和規律，並歸納出正方形和長方形數量的通式。(1)正方形︰奇數邊長總數＝(N2＋4N－1)/4；偶數邊長總數＝(N2＋4N)/4。(2)長方形分三種結果︰(a)正長方形總數︰(N2－N)/2、(b)斜長方形45度角總數︰奇數邊長(N2－1)2/4、偶數邊長(N2－2N)/4。(c)斜長方形非45度角總數有規律，但無通式。

本研究的目的在探討以90°直角展開直立的立體聖誕卡片中，做為聖誕樹的等腰三角形，底部的中點在凸出時傾斜的原理。我們發現立體聖誕樹底部的中點傾斜的程度和等腰三角形的高度與寬度比例有極大的關聯性。我們發現當等腰三角形的寬度固定時，若它的高度愈低，則在立體卡片以90°直角展開站立時，底部中點凸出時會愈傾斜；相反的，若等腰三角形的高度愈高，則底部中點凸出的角度會愈接近水平。我們推導出如何利用等腰三角形的高度與寬度計算出底部中點凸出時上升高度的公式，以及如何裁切等腰三角形，進而做出底部呈現水平的立體聖誕樹。

本研究題目源自科學研習月刊 ，原題討論將N節黑白毛毛蟲依顏色分成P段的種類數，可視為兩相異物的直線分段排列。 我們的研究由直觀而規律整合進而推出通論，第一個突破點為以長條格的切割找到將n節分p段的方法數。並將這個方法數以二維的思考解決N節黑白毛毛蟲分成P段的種類數。 並延伸研究為兩相異物環狀分段排列，而有以下發現： (一) 環狀分段排列受珠數與段數最大公因數f影響，而有非循環直線排列與循環直線排列不同的環狀轉換模式。 (二) 非循環直線排列需扣除循環的直線排列再轉換為環狀排列。 (三) 循環直線排列需扣除子循環的直線排列再轉換為環狀排列。 (四) 若f質因數的個數大於 ，則子循環直線排列數可用文氏圖幫忙分析。

本次研究的目的，是將傳統的井字遊戲做延伸，將之轉成立體空間的OX遊戲，討論3x3x3井字遊戲的先手必勝方式；之後將立體井字遊戲再延伸，把維度提高至4以上，給定維度在4以上的遊戲規則，同時找出在維度n、長度3的情況下，先手必勝的方式；再來計算出在維度n、長度k的情況下，可連線之方式有∑_(i=1)^n▒C_i^n ×2^(i-1)×k^(n-i)種，也給出在維度n、長度k的條件下，任意給出一點，此點可連線出去的條件與算法，最後得到結論，點越置中越好。

從一個網路小遊戲出發，應用我們學習過的四則運算將題目加以改編。依據其課稅方式，找出不同大小的矩形城鎮、不同的進入與離開地點，稅額最大值之最佳解。首先，我們觀察並歸納行走路徑與稅額關係，提出九大性質並加以說明理由。接著，依據路徑與稅額關係之性質找出最大稅額走法之最佳解。我們將路徑分為三階段，分段求取特定位置稅額之規律，有效降低尋求規律的複雜度。我們也比較了正方形、長方形城鎮、順向、逆向行走之稅額規律差異並分析其原因。最後針對該研究提出未來發展的方向與建議。

在給定方格範圍內，尋找不同四邊形數量的一般式，研究包括： 1、給定範圍內之正方形數量： N(N+1)(N+1)(N+2)/(1×2)(2×3) (範圍是邊長N的正方形時)、 [(M(M+1)(M+2))/3!]×[((N-M)+(N+1))/2] (範圍是邊長M×N的長方形時) 2、給定範圍內之長方形數量： ∑_1^M▒n×∑_1^N▒n(含正方形)、∑_(L=1)^M▒[(M+1-L)×∑_(n=1)^(N-L)▒n] ，n≥M(不含正方形) 3、給定範圍內之菱形數量： 廣義菱形個數一般式=狹義菱形個數一般式+正方形個數一般式。 4、給定範圍內之平行四邊形數量： 上下二條直線(斜錯)平行四邊形數量 =(N-1)(N)(N+1) 左右二條直線(斜錯)平行四邊形數量 =∑_(n=1)^(M-1)▒n×∑_(n=1)^N▒n 5、給定範圍為2×N長方形時之等腰梯形數量： 4(N-1)+(1+2)×∆T_奇或偶×2(上下翻轉) 而各一般式彼此間可以組合成新的公式。 例如：平行四邊形一般式=長方形公式 + 斜錯平行四邊形公式。

我們從數學遊戲書裡發現西洋棋名家辛克曼發展予以解析並得到擴充結果如下： 一、使用P3V型、P4Z型、P5P型、P6R型與P3I型，以K移動位置作為橋接點VBr，我們找到k值作為多階段移動結果組合數可得到最少移動總次數。 二、複合路徑圖以重圖為主，是EQ和El兩種路徑複合圖。 三、4點配置BR，當弧形邊數EQ≥2，弧形邊可以視為B-K型組路徑，階段中直線數El≥2則可以視為R-K路徑。度序列衍生路徑組合若EQ≥2優先配置B，El≥2優先配置K。 四、P6複合路徑圖的正例所有點都符合DS≥2，反例特徵係每張圖至少有1點DS=1，可2B2R、3B1R、1B3R、4R，3B1R配置條件EQ≥3，2B2R配置條件EQ≥2，1B3R配置條件EQ≥1；但若圖中有2點DS=1且EQ=1，僅能配置4R。

一個連通圖其結構中若沒有包含任何的圈，則將此圖稱為樹狀圖（tree）。若樹狀圖T的頂點v滿足d(v)=1，則 即為 的『葉子點（leaf）』。將一個樹狀圖中以一筆不間斷經過最多頂點的路徑，稱為『主幹』，若此樹狀圖滿足所有的leaf皆與主幹上的點相連，則特別將此樹狀圖稱為『毛毛蟲圖（caterpillar）』。本文的研究是對於有n個頂點，k個leaf的毛毛蟲圖，在不同構的情況下，探討各類毛毛蟲圖的結構變化、對偶關係，在數量上建立遞迴關係、探討組合意義以及相關的應用。

本文主要在探討如何將二維Lill Path的性質推廣至三維。首先，我們證明有一自原點出發的射線在多項式函數f(x)的三維Lill Path進行反射，且此射線通過其終點的充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )。除此之外，我們還證明了射線通過三維ϕ-Lill Path終點的充要條件為f(x)=0有一實根((-sin⁡θ)/sin⁡〖(ϕ-θ)〗 )。接著，我們證明了三維Lill Path圖形封閉時之充要條件為此多項式有一因式為(x^3+1)；同時，我們也證明了三維ϕ-Lill Path圖形為封閉時之充要條件為多項式有一因式為[x^3-(cos⁡ϕ ) x^2-(cos⁡ϕ )x+1]。最後，我們將三維Lill Path繼續推廣至n維Lill Path。我們證明了射線通過圖形終點的充要條件為f(x)=0有一實根(-tan⁡θ )，以及圖形是封閉時的充要條件為f(x)有一因式(x^n+1)。

本研究探討在直線上等距離n個信號發射臺，任兩個發射臺所發出的信號不被其他發射臺擋住的規則。 以mi表示相鄰兩個發射臺的斜率，若任兩個發射臺所發出的信號不被其他發射臺擋住，則必符合mi≤mi+1且 =0，其中i∈N，mi∈Z。 當發射臺的個數n=2k時，mk可分為-1、0、1三種；當發射臺的個數n=2k+1時，mk與mk+1的和分為-2、-1、0、1、2五種，可利用整數分割的遞迴關係推算出發射臺信號不被其他發射臺擋住情形的個數，其中k∈N，k≥2。 依照發射臺共線的情形，推論出直線信號數量的公式，並利用整數分割計算出不同發射臺個數的共線類型。