n個城市建立光纖網路，以最經濟的連接方式，需(n-1)段連線，探討共有幾種建立方法L(k,n) (但限定城市標號差不得大於k，k∈Ν)，我們依照條件逐步排出，驗證資料[2]中的發現，當k＝2時，得到規則L(2,n)=3 L(2,n-1)- L(2,n-2) ，n≥3，而前後兩項的比值正是黃金比例的平方((1+√5)/2)^2=(3+√5)/2≈2.618。接著，我們繼續探討L(3,n)各項的值，並尋找關係式，發現前後兩項的比值似乎也趨近於某個定數。另外，我們觀察到，若k=n-1，則L(n-1,n)=n^(n-2)，這就是凱萊公式[7]。因此我們繼續以『橫排推移』的方式探討並發現L(n-2,n)的公式。在L(n-3,n)在經過多方面的嘗試，我們也發現它跟n有規律性的關連，進一步地研究終於提出它是n進位的式子的猜想。另外，我們也以生成樹來探討我們的問題，並引用基爾霍夫定理矩陣[6]來計算我們的推理，證明吻合。

從科學研習月刊中「森棚教官的數學題」的一道數論問題： 「你可以找到多少組正整數對(a,b)，讓 的平方減5是b的倍數，b的平方減5是a的倍數？」 觀察到盧卡斯數列相鄰奇數項滿足原問題的解，也發現某數列與原問題的解間滿足充分條件，於是延伸問題改為數列恆等式，推廣更一般情形，即 階整係數齊次線性遞迴數列，簡稱 階線性遞迴數列。本作品建構兩種k階線性遞迴數列來探討，其兩數列分別是由盧卡斯數列及費氏數列類推而得。 第一種數列是利用特徵複數根性質來探討，而第二種數列是配合k階Cassini恆等式來求其解。最後利用兩個恆等式或不等式來描述上述兩種數列，是由Vandermonde行列式來論證。

本文主要在探討平面幾何學中的兩個重要結果—三角形中的『Menelaus定理』與『Ceva定理』推廣到任意的『球面n邊形』的相對應結果，對於任意的球面n邊形，我們分別找到了『球面n邊形的Menelaus共線定理』與『球面n邊形的Ceva共點定理』的一般化結果。

圖的著色問題為現代數學的一門學問，而列表著色為一般著色問題的推廣，許多研究皆致力在探討各式的充分條件，使得圖可以完成列表著色。在數學歸納法的證明過程中，經常需要利用『可約構形』的概念來化簡圖形，進而確保能完成圖的列表著色。若圖在邊上具有方向性，則稱此圖為有向圖。我們的研究是利用圖在邊上的定向關係，創造一個多變數的多項式，在代數式上運用鴿籠原理，藉著尋求多項式函數值為非零值的可能，證明列表著色方法的存在性，並能有程序性的設計一系列在列表著色中的可約構形與演算法。

「Siebeck-Marden」定理是複數平面中一個關於三角形之內切橢圓的定理。本研究主要是利用歐氏平面幾何性質應用在複數平面上推廣到複數平面中任意一個存在內切橢圓的凸四邊形上，我們和Siebeck-Marden定理「獨立地」找到了一個相對應的二次複數方程式進而可以利用配方法解出凸四邊形之內切橢圓兩個焦點的一個全新的定理。 另外，主要結果的應用的部分，歐氏平面幾何中另一個著名的「Newton橢圓問題」，藉由我們的主要定理的結果，可以直接推得關於「Newton橢圓問題」之「加強」的結果，並且提供「Newton橢圓問題」一個全新的幾何證明。

此研究探討螞蟻在各正多面體按特定行進規則進行表面行走之最短路徑，以及按照特定的截面規則將正多面體(柏拉圖立體)一刀斬後分割成二部份，觀察其所形成的可能截面變化，並利用Geogebra等電腦軟體模擬繪製，藉此協助我們計算正多面體分割成的截面周長與面積，進而推導出其公式及觀察截面大小之變化關係。

從正n邊形的頂點、各邊中點的選取定義出「正n邊形上不連續頂點所構成內接k多邊形」。 一、k的範圍限制 [(n+1)/2]≤k≤n 二、數量遞迴關係式 T_n (k)=T_(n-2) (k-1)+T_(n-1) (k-1) 三、數量總和 T_n=∑_[(n+1)/2]^n▒〖n⋅k!/((n-k)!(2k-n)!)⋅1/k〗且T_n=((1+√5)/2)^n+((1-√5)/2)^n,n≥5 四、種類 R_n (n)=1_ ,R_n (n-1)=1_ ,R_n (n-2)=[(n-2)/2]_ , R_n (n-3)=[(n-4)/2]+[(n-7)/2]+[(n-10)/2]+⋅⋅⋅+[(n-3m-1)/2] 五、種類公式：取(n-k,2k-n)=d且d的因數為d_1,d_2,⋅⋅⋅,d_w， φ(d_i)表示不大於d_i且與d_i互質的正整數個數 (1) k為奇數 R_n (k)= 1/2k ( ∑_(i=1)^w▒〖φ(d_i)〗 (k/d_i )!/((n-k)/d_i )!((2k-n)/d_i )!+k∙((k-1)/2)!/[(n-k)/2]![(2k-n)/2]!) (2) k為偶數，n-k,2k-n為奇數 R_n (k)= 1/2k ( ∑_(i=1)^w▒〖φ(d_i)〗 (k/d_i )!/((n-k)/d_i )!((2k-n)/d_i )!+k∙((k-2)/2)!/((n-k-1)/2)!((2k-n-1)/2)!) (3) k為偶數，n-k,2k-n為偶數： R_n (k)=1/2k (∑_(i=1)^w▒〖φ(d_i)〗 (k/d_i )!/((n-k)/d_i )!((2k-n)/d_i )!+k/2 (((k-2)/2)!/((n-k-2)/2)!((2k-n)/2)!+((k-2)/2)!/((n-k)/2)!((2k-n-2)/2)!+(k/2)!/((n-k)/2)!((2k-n)/2)!)) 六、T_n、R_n可能是新發現的數列。 七、正n邊形上m等分點不連續頂點所構成內接 邊形 遞迴關係式 T_((n-2,m)) (k-1)+m⋅T_((n-1,m)) (k-1)=T_((n,m)) (k) 數量總和 T_((n,m))=∑_[(n+1)/2]^n▒〖n⋅k!/((n-k)!(2k-n)!)⋅1/k〗⋅m^(2k-n) 八、正n邊形上m等分點不連續頂點所構成內接多邊形，皆可由aa拼板、ab拼板、bb拼板組合而成，並找到各拼板的種類個數。

因應疫情，為了知道社交距離在矩形裡可以怎麼排最多人，我們先從面積小的矩形範圍去排，試過正方形排列、三角形排列等方法，試著從中找出最密排列的規律，接著再慢慢的把矩形加長加寬，使面積加大，試著用不同的排列方式去堆疊，最後可以依照條件去計算任意矩形，使用推移法、補隙法等，得到優化緊密度的方法。

在第59屆科展作品（中華民國第 屆中小學科學展覽會換心手術）有給定了一個新的名詞(頂心三角形)：平面上給定△ABC及一點D，分別以A、B、C三頂點為圓心，¯DA、¯DB、¯DC為半徑畫圓，三圓交於三點E、F、G，再以三交點E、F、G為頂點作△EFG，則新△EFG稱為△ABC在D點的頂心三角形，本篇作品主要探討原三角形與其頂心三角形邊長與面積比例關係及頂心線相關性質。

本篇作品旨在探討已知平面上 個點，分別落在正 邊形的各邊上，能否藉由這 個點找出正 邊形？而找出的正 邊形是否唯一呢？我們利用數學繪圖軟體Geogebra結合國中所學的幾何尺規作圖觀念作圖，從正三角形開始探討，進而延伸到正方形、正五邊形、…、正八邊形，最後探討至正 邊形。 作圖探討後我們發現當邊數較小的時候，可以透過平行或是邊長相等的概念畫出正多邊形；但邊數較大的時候，就需要透過圓內接多邊形的性質才能畫出正多邊形。我們透過圖形也發現平面上只要給定 個點，即可畫出正 邊形，且除了正三角形畫出來的不只一個，其餘的正多邊形都只能畫出唯一一個，最後我們利用三角形的全等及圓內接多邊形的性質證明之。