數學科

此研究利用複數、向量及三角形的重心公式，去找出多邊形的重心性質與計算公式，並探討以任意三角形三邊作出之各種相似多邊形，連接對應頂點或重心後，所構成之三角形的重心與原三角形重心的關係；再討論以此任意三角形三邊作出之正 邊形，連接相近的頂點（異於原三角形）與兩正 邊形的邊構成之三角形，其邊上依固定比例作出的點相連後的三角形之重心以及其重心相連三角形之重心，兩者與原三角形重心的關係；最後再用不同的切三塊方式，處理連接各區塊重心所得的三角形，其重心相連三角形之重心與原三角形重心的關係。

在圖論中，以G=(V,E)表示一個圖，其中G的頂點集合記作V(G)、邊集合記作E(G)。令k是一個正整數，若能在G的每個邊上各給一個非零整數{±1,±2,±3,...,±(k−1)}的標號，且每個頂點所連出的邊標號總和為0，則稱圖G有零和k流，當k有最小值時，稱k為圖G的零和基數，記作F(G)。 零和流（zero-sum flow）是由無零流（nowhere-zero flow）演化而來的問題，亦是一種邊上加權的問題。在2009年S. Akbari等人提出零和流猜想，猜測所有滿足零和的圖其零和基數皆不大於6。 在本作品，我們設計雙色標籤與圖形變換的方法，成功刻劃出尤拉圖（每個頂點都連出偶數個邊的連通圖）零和基數為3的充要條件，並將其變換的技巧與結果，應用於判斷其它圖形的零和基數。

本研究探討在直角三角形勾股中容一個正方形，即為「勾股容方」，其正方形邊長、周長與面積會有什麼關係？若不斷重覆延伸此圖形，觀察這樣的圖形模式，最後又會有什麼結果？發現同一層內正方形周長的總和，其值會相等，也觀察到勾股容方與黃金比例的關聯性。 另外，如果將正方形邊長擺放在直角三角形的斜邊上，我們稱為「斜邊容方」，同樣逐步討論其正方形邊長、周長與面積的關係。當不斷重覆延伸此圖形時，發現在勾股容方或斜邊容方中，將所有正方形的面積加總後，其面積和皆會等於原直角三角形的面積，以及勾股容方的邊長會大於斜邊容方的邊長。

本研究探討平面中三圓的關係，其中圓O固定不動，圓O1以逆時針方向滾動且繞行圓O；而圓O2同時也以逆時針方向滾動且繞行動圓圓O1。其中圓O1與圓O2上各有一動點P、Q。三圓一開始為圓O2分別與圓O和圓O1外切，且O 、Q、P三點成一直線，Q點介於O 、P兩點之間。當 ̅OO1與x軸夾角為θ時，先以繪圖軟體了解動點的軌跡；其次以三角比的概念求得P、Q兩點的坐標；最後再以電腦繪圖軟體，製作當三點共線時之θ值，並藉由函數圖形了解三點之中何者介於其他兩點之間。本研究由原本的三圓外切的情形，邁向討論三圓外離的情況，猶如恆星、行星、衛星三者的運行，進而以各圓半徑、兩圓連心距、繞行角度為變數，歸納合理的數學式，以利日後進行更廣泛的研究。

多數人購房會要求生活空間的最大利用，其中樓梯間的置物櫃設計就是其中一例，本文是由置物櫃排列所發展的數學問題。 假設在樓梯下裝設矩形櫃子，並允許每行的櫃子最多只有兩種樣式：一種是該行的每個櫃子都是單位高度，另一種是該行最多只有一個超過單位高度的櫃子；而排列方式則是最高櫃子位於最下方且最底層的高度則是逐行高於或等於前一行的櫃子，我們將這樣的問題稱為「矩形堆疊」。 透過動手實作發現「矩形堆疊」與路徑數有關，於是建立與路徑的一一對應關係，並研究路徑問題。經由Jonah’s公式發展路徑問題後，再回來解決「矩形堆疊」問題；此外也研究變化不固定的路徑問題，對於特殊結構例如拋物線下「矩形堆疊」，都有不錯的結果。

研究想法來自於三中線將三角形平分為6個面積相等的小三角形，試想如果分割線不是中線的話，分割結果會是如何？ 先研究三角形三頂點與其對邊上的三等分點連線，將三角形分成19個區域，我們運用孟氏定理計算出這些區域的面積比及一些延伸性質。 運用上述計算技巧，研究三角形三頂點與其對邊上的任意分割點連線，當三條分割線不共點 (非西瓦) 時得分割三角形，證得此分割三角形面積與原三角形面積比公式。 推廣至當分割點在邊上或其延長線上時，研究分割三角形存在條件及圖形分類。依分割點是否在邊的延長線上，分為八種類型圖形，以數學軟體模擬找出所有圖形有73種，證明這八種類型之分割三角形存在的條件及面積比，並歸納以一個公式表示面積比。

本研究旨在探討不同邊長比的方形上，改變路徑出發角度、改變路徑出發的起始點時，路徑轉彎次數、路徑長度和經過格子點次數之關係。首先在方形長：寬=m：n，路徑從方形的左下角出(入)口為起始點，以角度tanθ=1、tanθ=2和tanθ=3之方向出發，討論路徑轉彎次數、路徑長度和經過格子點的次數，進而延伸推論當以角度tanθ=y/x之方向出發時路徑轉彎次數、路徑長度和路徑經過格子點次數的數學關係式，接著在方形長：寬=m：n，從方形左下角出(入)口向右移動1格、向右移動2格為起始點，以角度tanθ=1之方向出發，討論路徑轉彎次數、路徑長度和經過格子點的次數，延伸推論從方形左下角出(入)口向右移動h格為起始點時，路徑轉彎次數、路徑長度和路徑經過格子點次數的數學關係式。

本研究旨在探討「直角三角形內部」、「等腰三角形內部」及「任意三角形角平分線上」的相切多等圓之不同排列情形，並找到多等圓的圓半徑公式。而在等腰三角形中，我們找出半徑與邊長、角度的關係後，接著探討該多等圓排列的最大半徑，進而探討內切多等圓在不同排列下產生最大圓半徑時，最適三角形的邊比為何，以及最適三角形頂角會滿足何種關係。最後將等腰三角形內的不同排列之半徑互相比較大小。

在坐標平面上， 坐標均為整數的點稱為格子點，本文的研究是探討有心錐線(含圓、橢圓、雙曲線)上的格子點問題。 首先探討科學研習月刊中的一道數論問題：「你可以找到多少組正整數對 ，讓 的平方減5是 的倍數， 的平方減5是 的倍數？」，特別感興趣於滿足上述條件的生成下一組解，此解可由盧卡斯數列的相鄰奇數項觀察出來，於是我們嘗試推廣至一般齊次線性遞迴數列的情形。進一步探討生成下一組解的遞迴關係、建構有心錐線方程式、此方程式有解的數論性質及計數格子點的個數。若由上述方式推導橢圓，在判斷數論性質上有難度，最後我們利用二次剩餘及歐拉-費馬定理來克服橢圓上的格子點問題。

「莫比烏斯環」是由德國數學家莫比烏斯和約翰．李斯丁在1858年發現的。將一般的紙環剪斷後，將其中一邊翻轉一次（翻轉180度）再黏合，會形成一種單面單邊體。本研究將從莫比烏斯環的結構及特性出發，並測試不同翻轉次數，以及不同的裁切方式所產生的影響。最後嘗試找出翻轉及裁切兩種變因不同時的規律，進一步推論在其他翻轉次數或是裁切方式所產生的結果。