這是一個歷時兩年半鑽研兩共邊三角形外接圓各種有趣關係的探究之旅，透過GeoGebra的輔助，經由(1)觀察圖形及數據形成猜想(2)幾何論證猜想為真的探究歷程。 我們首先探討兩共邊三角形外接圓的圓心位置、半徑、半徑和及連心線的關係，發現並證明出等腰三角形中圓心位置具特殊性、兩外接圓半徑和R1＋R2與連心線─O1O2的長度都跟動點D的x坐標呈現函數關係且圖形為雙曲線的一支；據此討論出兩外接圓面積和與原三角形外接圓面積關係，同時發現∆AO1O2～∆ABC且AO1OO2四點共圓。在研究連心線時也發現，當動點D移動時，─O1O2的中點形成一條直線；每條連心線皆與以頂點A為焦點，(BC) ⃡為準線的拋物線相切。最後得出若任意∆ABC的頂點A到─BC的距離相等，連心線─O1O2所包絡出的拋物線皆全等。

托勒密定理可以證明在正多邊形的外接圓上任取一點，此點到遠頂點的距離和與到最近兩頂點的距離和之比值為定值。為了方便討論，不妨設此動點固定在正多邊形之外接圓的某一弧上，則不論奇偶性，我們發現圓內接正多邊形的線段定和之特性。同時發現：奇數邊數正多邊形，當邊數2n+3以上時，會滿足此動點到奇頂點的距離2n+1次方和與到偶頂點的距離2n+1次方和相等。無獨有偶，偶數邊數正多邊形，當邊數2n+2以上時，會滿足此動點到奇頂點的距離2n次方和與到偶頂點的距離2n次方和相等。

本文觀察在任意四邊形和蝴蝶形的內、外角平分線所圍成的各種四邊形，並找出相關的性質，其中發現了許多共圓的四邊形，試著證明這些共圓四邊形之間的幾何性質，並探討 這些四邊形的面積關係。

在制定的變換規則下，找出六種變換性質，探討n種變色龍中只有兩種變色龍的數量發生改變，稱為基本變換。我們以n=4為例，列出變換次數與基本變換數碼之方程式，令第一種變色龍的變換次數為零，以最簡單整數比求出所有變色龍的變換次數與基本變換數碼。接著以相同的方法完成n=5、n=6，並將結果寫成方陣。 觀察方陣，發現其中有基本變換式的存在，即形成差成等比的基本變換數列，經由算式推導後可得基本變換數碼的三個疊代關係式，及基本變換數碼的一般式，另外我們也發現基本變換方陣具有對稱性，並以數學歸納法證明之。在我們了解基本變換的特性後，便可以另一種方式完成方陣，讓填寫方陣能更快速。

在平面上，給定任意一個多邊形以及一點 P，P 點對多邊形各邊延長線所做垂足形成的多邊形，我們稱作此多邊形的垂足多邊形。本研究將多邊形分為共點和共線的特定形式的退化多邊形來討論。探討如何對特定形式的退化多邊形作垂足多邊形；以及這些退化多邊形作的垂足多邊形之性質會不會與一般多邊形相同，有哪些相異之處。 再進一步推導出任意兩個四或五邊形都可以皆由垂足多邊形來相似，過程中利用退化多邊形來減少需要考慮的條件，更快地找到需要的點。而且所有的證明所需手法皆是國中課程內容，可以學以致用真的十分開心。

Abdilkadir Altinas 提出三角形△ABC 與其垂心三角形△DEF 的有趣問題：若角 A 為 60 度，則角 AH'H 恆為 90 度[1]。本研究推廣此問題，我把垂心換成外心、九點圓圓心、重心，發現都有垂直關係。有趣的是，一般化討論歐拉線上所有的對應點都符合這樣的垂直關係，我先採取綜合幾何方法需逐個問題考慮而沒有共通性，較難找出歐拉線上所有的對應點的垂直關係的充要條件，所以改用解析幾何而給出了一般化的理論，這是本研究的亮點。接下來創新探究由其他形心所構造的垂足三角形之性質，不設定內角為 60 度，分別討論垂足三角形為正三角形（共有兩個）和相似三角形（共有五組，每組兩個），發現原三角形與垂足三角形的重心恆三點共線，其他形心皆無此現象。

我們由市售的角落生物椅凳，產生好奇心。原本想知道：若將正三角形內部沿著邊長有n個半徑為r的等圓與邊長相切時，邊長與面積與r的關係。後來進而探討正m多邊形每邊內側與n個半徑為r的等圓相切時，此時正多邊形周長S(m,n)及面積A(m,n)的通式。 接著我們將正m邊形的角落削切成為圓弧，形成圓角多邊形，其周長S’(m,n)與面積A’(m,n)的之通式。以數學歸納法證明以上通式，也推導證明S與S’的關係，A與A’的關係。 我們發現相對於變數n而言，S(m,n)與S’(m,n)為兩平行直線；A(m,n)與A’(m,n)為兩拋物線。 藉由給定m及n進行數值分析，針對以正三角形或正四邊形來製作不同半徑之圓角三角形，圓角四角形時，角落削切損失的面積為定值2.05r2與0.86r2等。對於圓角多邊形的削切給予建議。

本文以一個跟線段比例和有關的幾何問題出發，探討該問題的推廣以及其背後的數學原理。我們接續原命題中正方形的結論，推廣到了正多邊形乃至等腰三角形。在推廣不等邊三角形時又發現問題與「交比和為定值」有關。將相同概念套用到後續的研究，最終將結論推廣到任意圓錐曲線外切多邊形。

我們發現任何進位的Kaprekar變換，都可以轉換成Kaprekar運算矩陣，而此運算矩陣會滿足引理2的條件。以此為基礎探討5進位Kaprekar變換，大致可分為三個層面：一是找出5進位Kaprekar常數的形式；二是經過數次的變換後Kaprekar會維持Type1的形式，對此形式的Kaprekar數，我們引進比值x與y，並且定義g(x,y),以表示經Kaprekar變換後的比值。在此基礎下討論5進位中Kaprekar變換的循環結構；三、5進位Kaprekar變換非常複雜，我們找到特定的x與y條件下，Kaprekar數的循環長度會是任意大，且存在需要進行任意給定長度後才開始出現循環的Kaprekar數列。 本文的主要結果分別對應於引理2、引理3和定理3、定理4以及定理5中。