數學科

本研究討論如何利用k個全等n邊形圍成密閉區塊，其中多邊形分成正多邊形與正多角星形兩種類型。除了找出可以圍成密閉區塊的最少塊數外，亦由多邊形邊數n與塊數k討論密閉區塊的存在性。若存在某種拼接方法可利用k個n邊形圍出密閉區塊，則進一步討論該拼接方法是否能夠密鋪整個二維平面。在大多數的情形下，研究成果已能判斷k個正n邊形或正n角星形能否圍出密鋪區塊，以及是否可密鋪平面，並且提出一套建構拼接方法的流程。

本研究旨在探討「直角三角形內部」、「等腰三角形內部」及「任意三角形角平分線上」的相切多等圓之不同排列情形，並找到多等圓的圓半徑公式。而在等腰三角形中，我們找出半徑與邊長、角度的關係後，接著探討該多等圓排列的最大半徑，進而探討內切多等圓在不同排列下產生最大圓半徑時，最適三角形的邊比為何，以及最適三角形頂角會滿足何種關係。最後將等腰三角形內的不同排列之半徑互相比較大小。

研究的方向是從「雙週一題」108第一學期的第三題出發：數列滿足X0=2 與│xk│=│xk-1+1│，k≧1，求│x1+x2+…+x2019│的最小值。題目只做2019項的相加，我們想延伸到 項相加，若從「雙週一題」公布的解析思考，每換一個 值都要一個推導過程，才能得到答案，不那麼直接，少了｢公式｣精簡過程的精神。故我們要找一個代入 值就能得到答案的通式。 將分支做了定義，框出各層得到最小值的所有路徑，找出層間共通路徑，並由此推出最小值的通式。之後嘗試用程式－貪婪法與窮舉法、雙週一題概念、數學理論等方法驗證最小值通式、路徑的正確性。

本作品源自澳洲 AMC 2017 考題，原題要求在8X8方格中塗黑色或白色，但在任一2X2的方格中都需符合2黑2白的要求有幾種排法。 我們用黑、白棋排列方法與前一行相關的特性，找出對偶型連接與自身連接策略，求出原始問題的一般化公式。並延伸至立體方塊時在各方向剖面中皆滿足任意2X2X1的方塊皆有2黑2白的排列數公式。 最後討論以正三角形組成的平行四邊形中，任意4個小正三角形組成的「成雙三角形」中也需符合2黑2白的要求。雖然三角形的組成模式與方格不同，但仍然有排列方法與前一行相關的特性，最終將由三角形組成的2列1行與3列1行的平行四邊形分成數個類型，並求出各類型的相互連接關係，進而找出在2列與3列三角形成雙成對排列數的遞迴關係式。

此研究利用複數、向量及三角形的重心公式，去找出多邊形的重心性質與計算公式，並探討以任意三角形三邊作出之各種相似多邊形，連接對應頂點或重心後，所構成之三角形的重心與原三角形重心的關係；再討論以此任意三角形三邊作出之正 邊形，連接相近的頂點（異於原三角形）與兩正 邊形的邊構成之三角形，其邊上依固定比例作出的點相連後的三角形之重心以及其重心相連三角形之重心，兩者與原三角形重心的關係；最後再用不同的切三塊方式，處理連接各區塊重心所得的三角形，其重心相連三角形之重心與原三角形重心的關係。

本作品探討和為1的埃及分數最優解問題，限制分母小於100，項數固定，找出最大分母的最小值。 在研究的過程中，我們發現並没有一個簡潔的公式，可以立即迅速地找出最優解，而是經由不斷地嘗試與比較後，方能得到答案。本研究最後將推導過程歸納為流程圖，試圖建立未來可能演算法的基礎。 本研究主要使用的工具為拆分法，這個方法簡單可行，但容易陷入混亂的情境，有時必須加上巧思，才能獲得進展。在拆分法的基礎上，進一步發展出併合與置換等技巧。策略採取逐項推進，在確定n項的最優解後，再利用拆分或併合或置換，得到n+1項的最優解。 最終，在經由不斷地失敗與再次努力後，完成了項數不超過42的所有解。

在圖論中，以G=(V,E)表示一個圖，其中G的頂點集合記作V(G)、邊集合記作E(G)。令k是一個正整數，若能在G的每個邊上各給一個非零整數{±1,±2,±3,...,±(k−1)}的標號，且每個頂點所連出的邊標號總和為0，則稱圖G有零和k流，當k有最小值時，稱k為圖G的零和基數，記作F(G)。 零和流（zero-sum flow）是由無零流（nowhere-zero flow）演化而來的問題，亦是一種邊上加權的問題。在2009年S. Akbari等人提出零和流猜想，猜測所有滿足零和的圖其零和基數皆不大於6。 在本作品，我們設計雙色標籤與圖形變換的方法，成功刻劃出尤拉圖（每個頂點都連出偶數個邊的連通圖）零和基數為3的充要條件，並將其變換的技巧與結果，應用於判斷其它圖形的零和基數。

本文旨在探討不同轉彎下，其路徑方法數的問題。在方格紙及長方體中，移動路徑方法數的一般式及期望值。從二維的路徑方法數一般式研究，延伸到三維的路徑方法數一般式，再分別探討二維、三維下路徑方法數的期望值及其關聯性，接著跳脫維度的概念，探討期望值間的關聯性。最後研究同字不相鄰的一般式。

本研究主題是在n×n陣列中，甲乙雙方輪流填入三種海蟲的遊戲探討。我們得到下列結果： 一、探究海蟲形狀與數量，我們利用「頭部的連接方向」和「頭尾的連接方式」，找出所有的海蟲圖形，並利用六連塊檢驗，確認所有的海蟲個數共是71種。 二、將陣列邊長點數n分成6k-3、6k-2、6k-1、6k、6k+1、6k+2等6個類型討論，找出n×n陣列可擺放海蟲個數的最大值。 三、探討只使用一種海蟲排入陣列的遊戲玩法，得到結果如下: 1. 6×6陣列遊戲結果必是甲乙兩方都放3隻海蟲，雙方平手。 2. 7×7陣列遊戲最佳結果必是先手甲方4隻、乙方3隻，由甲方勝1隻。

「莫比烏斯環」是由德國數學家莫比烏斯和約翰•李斯丁在1858年發現的。將一般的紙環剪斷後，將其中一邊翻轉一次(翻轉180度)再黏合，會形成一種單面單邊體。本研究將從莫比烏斯環的結構及特性出發，並測試不同翻轉次數，以及不同的裁切方式所產生的影響。最後嘗試找出翻轉及裁切兩種變因不同時的規律，進一步推論出在其他翻轉次數或是裁切方式所產生的結果。