數學科

本研究的結果如下：一、對於1xn方格表，快速排法為每格填0其可填1的個數最大值=0。對於mx1方格表，快速排法為每格填0其可填1的個數最大值=0 。 二、當m>1，n>1時，2xn方格表快速排法為一半方格填1，一半方格填2，如圖5-2-5在2xn方格表可填1的個數最大值=n，對於mx2方格表，快速排法可以將表格旋轉90度，再用2xn方格表的快速排法 即可達成，則mx2方格表可填1的個數最大值=m 。三、在探究原始問題4x5方格表填入最多1的方格數量方法上，推得最佳策略行數=(4n-2m)除以3此最佳策略行數可應用於：mxn方格表，m=3k+1，n=3t+2且3k+1<3t+2<2(3k+1) 。四、對於mxn(m不小於3且n不小於3)的方格表，分成六種類型，推導出可填入最多1的方格數量之快速排法與計數公式的六個定理。

如果正整數 存在環狀排列，使得相鄰的數字和皆為質數，則將其定義為質數環。 本文主要用不同方法探討質數環的存在性。在本文與文獻中，都沒有解出質數環通式的方法，因此我藉由孿生質數、類孿生質數、一般質數（相差不固定的質數組）等方法，證明對於特定值的質數環存在性，並使用程式驗證各定理在有限範圍能構造出質數環的整數個數、比例。 本文的貢獻之一在於發展出類孿生質數構造質數環的方法，我突破質數對相差變大會比較難找出數字間的關係的框架，延伸孿生質數的方法至類孿生質數，還結合一對孿生質數與一對相差四的質數以構造質數環。 更進一步地，本文提出不需要使用孿生質數的方法，擺脫孿生質數猜想，使這個問題更一般化。

本研究源於競賽之幾何問題，將其動態化與一般化得到三角形各邊同向生成正多邊形頂點與頂點連線特定的圖形不變性。本研究證明出： 一、兩外延正n邊形與框架正n邊形同相對位置的頂點(分別為Bi、Ci、Ai)，與三角形可動頂點K 恆形成平行四邊形BiAiCiK，此為形成不變性之關鍵。 二、當三角形可動頂點之角度為定值θ，則框架角分別為180+180/n-θ及180-180/n-θ度。 三、三角形可動頂點K移動過程中，兩外延正多邊形中以K為起點分別依順時鐘與逆時鐘依序對應之頂點會形成(n-1)組的以底邊中垂線為對稱軸之軌跡，並與K點軌跡形狀相同、大小分別為框架正n邊形第i-3或i-4對角線長度倍數的圖形(若i-3、i-4≦0，則為1倍)。

本研究由一題三角形內心與其旁心三角形頂點連線交外接圓所構成三角形面積問題出發，藉由相似形的觀察發現可透過連接頂點與內心作中垂線作圖而成，以此為靈感開始定義點心中垂三角形，創新探究其他形心所構造的點心中垂三角形性質以及與原三角形的面積比，過程中發現三角形五心之間心與心互換的關係，讓我們聯想到如果繼續疊作中垂線，三角形有外、內、垂心共點與共線性質，接著我們延伸至四邊形與多邊形，發現層層之間的圖形有彼此相似與對應邊 平行…等共點、共線性質存在。

我們擴充”Presidential”遊戲，創發出5×5範圍內的13連方棋盤，走出最大佔地範圍，並以圖論方法分析圖特徵，得到歐拉行跡與合成結果的最長路徑。環圖最大佔地結果18≤𝐴𝑚𝑎𝑥≤22，樹圖𝐴𝑚𝑎𝑥=23。歐拉行跡遇到分叉點會增加選擇，重複踩點；遇到圈則會減少重複踩點的次數；遇到有分支的環則必先走完環才走分支。依據環特徵及分岔點數量，本研究得到圖的最長路徑4≤𝐿𝑚𝑎𝑥≤8。

我們對內切圓研究一開始是從四邊形出發再延伸到多邊形，而研究的方向有兩個，其中一個是探討圓外切多邊形與圓內接多邊形（即圓與切線交點之切點多邊形）之間的關係。首先得到凸多邊形內切圓的成立條件，依據圓外切多邊形的邊角關係、邊長關係，得到不同的結論；接下來對圓外切四邊形與切點四邊形的關係做分類，並討論這兩種四邊形的面積公式後，進而觀察這兩種四邊形的面積與周長比值的關係，最後衍伸至n邊形，因而得到凸多邊形之面積與周長比值的關係。另一個方向則是由圓外切四邊形與切點四邊形的對角線交點，以及兩四邊形之邊長延伸線的交點、內外頂點延伸線的交點，去探討其共點共線的關係。

1.根據文獻[1]、[2]，關於圓外切四邊形一組對角兩頂點和內切圓圓心形成的三角形之心頂點外接圓與該四邊形邊延長線相交產生的線段與邊長關係式，推廣到圓外切n 邊形時，得到漂亮的關係一般式；圓外切n 邊形的n 個心頂點外接圓中，相鄰兩圓間的邊延長線關係式，藉由定義兩圓交點與邊延長線相交的位置關係得到完整的表示。2.由第一代圓外切n 邊形聯想作出第二代圓外切24n − 邊形時，其心頂點外接圓與其各邊延長線交點有共點現象。 3.單一個或任相鄰兩個心頂點外接圓分別與原內切圓的面積（或周長）及特定線段之比值乘積是一個定值（或另一個定值）。 4.推廣到圓外切n 邊形的n 個旁心也得到旁心頂點外接圓相關的邊延長線關係式。

本作品主要探討在網格上進行全等切割的方法數，並分析其擁有性質，於研究過程中發現當方形網格邊長達到6時，切割路徑會產生「回繞」的複雜情形。因此本次研究由「回繞數」為0的切割路徑討論起，並給予網格分層的定義，依序探討正方形網格、長方形網格、三角形網格及六邊形網格切割成不同等分時的方法數，而後我們再進一步討論正方形網格「回繞數」為1時的全等切割，並利用遞迴式得出切割方法數。 此外在研究中，我們透過排列組合計算出長方形網格在不受回繞限制下的一般式，並嘗試討論立體網格的情形，在增加對「懸空數」的限制下，經計算得出了有趣的結果。

本研究旨在探討科學研習月刊62-2期中「鳩佔鵲巢」的問題。首先小斑鳩編號是0，喜鵲編號1、2、3、4、5，沿著圓周排列，探討餵食的順序為選第一隻編號k喜鵲餵食，下一隻被餵食的鳥是由這隻鳥開始，順時針接著沿著圓周數的第k隻鳥。接著編號r喜鵲，再由這隻鳥開始沿著圓周數的第r隻鳥，以此類推。但若餵到編號0斑鳩，會將食物吃光。探討喜鵲n隻，當食物n份、無限多份時，以及當餵食順序為順時針、逆時針交替時，所有喜鵲都吃到食物，其「位置排序」和小鳥數量之間的數學關係。並延伸討論(1)當斑鳩二隻位置相鄰時，(2)當喜鵲吃完一份食物後即飛走時。食物n份、所有喜鵲都吃到食物，其「位置排序」和小鳥數量之間的數學關係。

本研究在探討「利用數個半徑不相等的圓，去完全覆蓋三角形所需的圓面積總和之最小值」，其最小值以三角形的邊長、角度及外接圓半徑去作表示。 首先，我們討論了利用1、2、3 個圓去覆蓋的情形，並分銳角、直角、鈍角三角形去做分類，有完整的結果。並在銳角及直角三角形中，發現有相似的結論。 再者，用多個圓覆蓋時，我們以特殊樣式去作排列，歸納出最小值的規律。