本篇主要在探討三角形內多圓連續相切的幾何問題，並將狀況依序分為二、三、四圓，其中完整分析出正三角形及等腰三角形的分割線段長比，而任意三角形則於坐標化後才討論。過程中為更進一步探討任意數量分割圓的性質，我們將三角形其中一頂點置於原點上觀察，以此發現並證明了所有圓心會共同一條拋物線、雙曲線之漸近線通過分割點且垂直底邊、存在公切圓且此圓會過三角形頂點等幾何性質。 此外為求分割點坐標，我們利用內切圓的相關性質得出兩迭代公式，以此解決了原題的一般化情形，而在延伸討論中，我們探討了分別與雙邊及單邊相切的圓，前者為文獻中的「馬爾法蒂問題」，後者我們則是分析「分割中心」的存在性及其所在位置。

在「陶哲軒教你聰明解數學」這本書以及第52屆全國中小學科學展覽會國中組數學科「游泳池追逐戰」中，曾討論了師生在泳池中及池邊的追逐，但只有假設學生沿幾種固定路線前進，未討論為什麼選擇這些路線，也未提到師生之間的策略動態變化。本研究以師生兩人都能知道對方想法為基礎，一層一層發展出新的師生策略，並引入賽局論的觀點，最後找到本問題的師生最終路徑，以及勝負決定速率n。除此之外，我們將泳池從正方形推廣到任意正多邊形，找出可能的最佳路徑。

本文在探討如何利用尺規作圖作出三角形內部三個(含)以上的切線圓及相切圓，以及用三角形三邊長表示圓半徑，並嘗試討論某條件下的圓面積和大小。分析為下列三種條件。 條件一 三角形內部若有三圓，則任一圓皆需與「一個相異圓及三角形兩邊相切」。 條件二 三角形內部若有三圓，則任一圓皆需與「兩個相異圓及三角形其中一邊相切」。 條件三 三角形內部若有四圓以上(含)，且其中三圓為條件一或條件二，則其它圓必須與任意三圓相切。 利用尺規完成上述三種條件的作圖，接著討論條件一及條件二的作圖步驟合理性及半徑關係。並發現其中包含索迪公式第四圓退化成一直線和馬爾法蒂圓。接著利用尺規作出條件三的圖形，最後嘗試找出在直角三角形中的圓面積和大小關係。

本研究延續國中獨立研究，結合高中機率課程，建構二維與三維之集團免疫機率模型，特殊n之研究結果如下，其他情形請參閱內文： 一、 （一）二維：n=2k時，具有抗體之總人數與無抗體之總人數的比例，必須維持奇數對奇數，模型才會有免疫效果。 n=2k+1時，模型具不具備免疫效果，僅跟第一位與第 位有關。 （二）三維：n=2k+1時，模型具不具備免疫效果，僅跟對應於正三角形三頂點位置的3人有關。 二、 （一）二維：n=2k時，具有免疫效果之機率為 1/2+(2pq-1/2) (q-p)n-2。 n=2k+1時，具有免疫效果之機率為 2pq。 （二）三維：n=2k+1時，具有免疫效果之機率為 1/2+(2pq-1/2)(q-p)。 三、 （一）二維：免疫效果的期望人數為 1+p/q+q/p，特別是等機率時，期望人數為3人。 （二）三維：免疫效果的期望人數請參閱內文，特別是等機率時，期望人數為6人。

此研究主要探討一個任意的矩形將其挖去設定的缺格形狀，接著將矩形分割成數個區塊，以因式分解法、逆推法、階梯狀切割技術、座標位置移動法等研究方法，透過平移、旋轉、翻轉，重組成另一個較小的矩形，探討能否有最少片解，並尋找其中與矩形長寬的關係。研究發現，十種缺格類型能運用特定分割策略，可有最少片數二片或三片解完成重組，進而將圖形逐步擴大尋找出一般化規律。此外將缺格為方型、P字型的矩形，探討階梯狀切割技術進階探究以最少切割片數，嘗試分析多種滿足a2+b2=c2的畢氏三元數組及滿足a2+b2+c2=d2的四元數組，歸納出能以不同的切割策略，用分割移動圖解方式得重組成正方形，並探討其一般化規律。

本研究旨透過「三視圖」的認識與研究，利用「貼盒法」進行其反向思考，找到多生三視圖的種類與樣式、規律性及積木塊的極值，並推廣到4×4×4的方塊，甚至n×n×n。最後由顏色、數字的介入，使三視圖產生獨一性，並加以延伸其概念，發展出「數獨積木」的玩法。 在研究「三視圖」的過程發現到前視圖與右視圖的視角交會處的個數≤(前視圖視角個數∩右視圖視角個數)就會產生多生三視圖，極值也會隨著三同圖或二同圖等，規律有所變化。過程中不僅助於培養學生觀察能力、空間想像能力、形象思維能力和幾何直觀能力，對於發展空間概念，更是有一定增強作用，希冀透過我們發明的「數獨積木」可以讓這些概念更能夠被大家廣泛接受。

「少數決勝淘汰遊戲」就是每位玩家開始時付出1單位的代價，並針對N個玩家（劇中為22個）連續對一些二選一的選項投票，由少數一方獲勝，獲勝者始得進入下一輪的投票，直到剩下一位或兩位玩家為止，若只剩下一位，則由該玩家獲得最後的N單位獎金，若剩兩位，則由兩位玩家平分最後的N單位獎金，但所有人需償還原來遊戲開始時所付出1單位的代價。而日劇「詐欺遊戲」的主角提出「遊戲中結盟共M個玩家（劇中為8個）即能保證必勝」的方法。本研究打算藉由歸納法來探討在N個玩家下保證我方至少一人獲得最後勝利的結盟人數M並平分獲利，同時研究遊戲中的最高獲利、最低獲利與可以得到獲利的期望值為何？最後我巧妙的利用二進位來解決問題。

本研究主要推廣拿破崙定理，原本想探討以其他多邊形的邊長為基底，向內、外作正三角形，再分別將其內、外所有正三角形中心連線後，所形成的n邊形與原n邊形之間，是否如拿破崙定理般有「任意三角形的外拿破崙三角形與內拿破崙三角形的面積之差等於原三角形的面積」之結論？透過作圖觀察發現，外仿拿破崙n邊形及内仿拿破崙n邊形與原n邊形之面積關係，會因錯位、角度的不同而有兩種不同的結果。因此我們將錯位分為五種情況探討，再分別將此不同情形實際運用於三、四、五、六邊形，只需得知原n邊形中的一夾角和内仿拿破崙n邊形中任一點對應此角是否有錯位，便可推論出整個圖形的外仿拿破崙n邊形、内仿拿破崙n邊形及原n邊形之間的面積關係。

本研究針對2022IMO的第一題進行探討，即將兩種相同數量，不同材質的球排成一列，選中其中一個位置的球並將該球與其旁邊相同材質的球移至最左，找到特定的球數與選球方式，使得無論如何排列，皆能在移動後使最左的n顆球皆為相同材質。我們發現只要數列在進行操作時格數持續減少，即可達成條件。因此，我們先找到無法在進行操作時使格數持續減少的情況後，再證明其他情況皆可使格數持續減少，就可以求得解。在發現此規律後，我們針對原題進行推廣，例如將球的種類數推廣至m種、各類球的數量不同、多排數列並列……等情況。

本研究主要探討「一筆畫迴圈圖形」的種類數。圓上n個點平均分布，任選一點為起始點，經過圓上每一點恰一次，最後回到起始點，所構成的一筆畫圖形稱作迴圈圖形。我們的研究目的是若給定任意正整數 n≥3，算出這些點共能作出多少種不同構的一筆畫迴圈圖形數 g(n)。 我們將迴圈圖形分成了對稱和不對稱兩種，對稱圖形又根據n為奇數或偶數分別進行研究。首先，我們計算了圓上點的排列組合數和不同構的對稱迴圈圖形數，依此可以得到不同構的不對稱迴圈圖形數。將兩者相加後即可得到 g(n)。詳細探究過程將呈現在本研究中。