臺灣

看到大學入學考試中心九十九學年度學科能力測驗試題G中有關2倍角三角形，就產生討論其三邊整數生成器的發想，便由此出發，證明該三邊整數生成器為全起源整數三邊生成器，並討論其整數邊三邊的數論性質與相關性質，再延伸至3倍角整數邊三角形、4倍角整數邊三角形乃至於n倍角整數邊三角形，得到其三邊全起源生成器與推廣至MN倍角整數邊三角形三邊整數生成器、討論相關特性並推廣至n倍角整數Heronian三角形。

本研究探討在正n邊形及圓內接多邊形構形中，若已知外圍三角形面積，是否可反推原構形的邊長與面積。研究建立一套幾何與代數互相轉換的流程，透過面積比例推導遞迴數列，進而構建高次方程，並提出新符號 𝑇𝑃𝑄 及 𝑈𝑛𝑞𝑝 表示不相鄰乘積和，以簡化代數結構。進一步運用數學歸納 法 與極值邏輯，成功證明：當高次方程 式 具有正實根時，其最大正實根必定對應唯一的 多邊形 限定構形；反之，若多邊形限定構形存在，也可唯一對應於高次方程式之最大正實根。此研究不僅提供幾何反推的系統化解法，也為代數方程的幾何詮釋建立明確模型，具備理論價值與推廣潛力。

本研究是將三角形的西姆松線推廣至圓內接N邊形的西姆松線，已知三角形的西姆松線有孟氏定理，利用數學歸納法可證得圓內接N邊形的西姆松線也有孟氏定理；若只考慮外接圓上的一點P對圓內接N邊形各邊所在直線作垂足，則各邊截線段比值的連乘積也會等於1；已知三角形外接圓上兩點𝐏、𝐏′的西姆松線之夾角，會等於𝐏、𝐏′兩點所對的圓周角。利用四點共圓、兩層西姆松線的關係可證得：圓內接N邊形圓上兩點𝐏、𝐏′的西姆松線之夾角，會等於𝐏、𝐏′兩點所對的圓周角的(N-2)倍；已知若兩個三角形的外接圓相同，則外接圓上一點𝐏對應兩者的西姆松線之夾角為定值，跟𝐏的位置無關。利用四點共圓、兩層西姆松線的關係可證得：兩個N邊形的外接圓相同時也成立。

本研究以推導Sm(n)=(n∑k=1)km 一般自然數m次方總和的遞迴關係為起點，並進一步將其轉化為巴斯卡三角矩陣中的線性方程組。透過使用消去演算法，發現Sm(n)的多項式係數不論m皆由白努利數列控制。接著證明白努利數bk的重要規律，推廣次方總和公式在非正整數的意義。再用次方總和公式來加總任何解析函數(平行加總泰勒級數)，整理得Euler-Maclaurin 求和公式，然而此無窮級數通常會發散，透過數種技巧估計餘式項上界獲得最佳近似部分和，用以求巴爾賽問題(Basel Problem)的近似解至小數點後18位。

本研究的原題目是在網路上看到證明兩正六邊形頂點連線所形成的長度平方和相等的關係，這份研究將此題推廣到了所有正2n邊形上，而後又推廣到了面積，探討了面積多次方和的關係，最後我們又發現了這些性質在pn邊形上也都成立。 研究中利用了架設坐標系來表示圖形，再利用各種方法簡化算式。文中的證明多用到三角函數的性質以及轉化為複數的表示法以得出結論。 文中最終證明出對於兩個正pn邊形，他們的頂點連線所劃分的區域分組後可形成次方和相等，以及這些連線分組後具有偶數和相等的性質。

從國立臺灣科學教育館《科學研習期刊》的一道題目中，我們開始研究矩形方格的路徑問題，透過對路徑的分類整理，由簡入繁循序漸進，讓我們有撥雲見日之感。 我們從最少轉折數及其路徑著手，延伸到最多轉折數；從利用樹狀圖討論所有漢米爾頓路徑，到運用螺旋(轉90度)或迴轉策略(轉180度)，透過其轉彎次數與轉折數的關聯，推得各個矩形方格的最多轉折數之路徑，並找出最多轉折數的公式。接著，我們分析矩形方格中有缺一塊的最多轉折數，利用路徑趨勢的轉角處與起終點，找出缺塊位置的最多轉折數與未缺塊的差異。 最後，我們試圖解出所有轉折數及其代表路徑，並整理其路徑間的關聯性，但其繁雜度又更高了，期許未來能一一解開這些問題。

本研究探討三類幾何結構的交集特性：第一，兩個直圓柱面在特定條件下相交時，交點集合的幾何特性；第二，兩個直圓錐面相交時，交點集合的幾何特性；第三，一個直圓柱面與一個直橢柱面相交時，交點集合的幾何特性。我們透過數學建模，理解圓錐曲線在不同條件下所形成的圖形，並進一步探索其數學特性。研究過程中，我們考慮了兩個直圓柱面的相對位置、中心軸夾角的變化與比例關係，兩個直圓錐面的相對位置與中心軸夾角的變化，以及一個直圓柱面與一個直橢柱面的相對位置與比例關係，並透過數學推導與動態幾何模擬來分析這些變數對交點集合的影響。

鉛蓄電池電極板會產生不可逆的硫酸鉛使電池效率下降，因此我們利用在鉛蓄電池中加入不同鹽類與不同濃度的硫酸鹽類來解決不可逆的硫酸鉛，並模擬若降低電池充電電壓或是在車中工作溫度進行實驗。經實驗得出硫酸鉀在加入高濃度時較有效果，硫酸鎂與硫酸鋅則以低濃度時較有效果；而三者在低電壓充電時放電的效率都會比較低，且加 入硫酸鎂與硫酸鋅影響較小；三者在高溫環境時充放電的效率會比原本高，當中以硫酸鋅最為明顯。

在本研究中，我們改變沉澱反應中鹽酸與硫代硫酸鈉濃度，測量在不同溫度或有無界面活性劑條件下，硫析出所造成濁度隨時間的變化。通過多次測量濁度與時間數據，我們推導出濃度、溫度、界面活性劑，如何影響反應速率定律式。 我們將儀器測得隨時間變化的濁度，也就是硫粒子的生成轉換為速率，再依據反應速率與初始濃度間關係，得到反應速率定律式中的各項數值及阿瑞尼斯方程式中的活化能E_a與常數A。最後我們利用分光光度計得出與濁度計相同的級數，並以粒徑分析儀確認與活化能變化數值相符。

本研究以合成CCVJ-Sia 醣體螢光探針、分析它的螢光性質並用以檢測人類腎臟癌細胞為目的。透過設計一系列合成實驗，由起始物Julolidine與Sialic acid，成功合成醣體螢光探針，並藉由螢光分光光譜儀得出其螢光強度與黏度具冪次關係，符合TICT理論。同時，我們亦探討改變醣上官能基、不同反應試劑當量數與使用球磨機反應不同時長分別對於醣基化修飾產率之影響，發現當反應試劑當量數高、反應時長適中（兩小時）、官能基氫鍵效應減小時，產率較高。 此外，我們亦透過細胞實驗結果，確認探針能與特定癌細胞上Siglecs受體結合並產生螢光，由此推論此探針具有檢測腎臟癌細胞的效果。