數學科

本學期，我們開始學習幾何的內容，與尺規作圖的方法，經由老師的教導，我們對對稱圖形有了一定的認識。因此，我們本次研究的內容，即是在探討正多邊形的摺紙方法，運用角平分線、中垂線的原理，是否能摺出所有的正多邊形？如果能，其原理與方法為何？

過年時，大家總會賺不少紅包，我也不例外，口袋裡滿滿的不知道該怎麼花，所以過年時就有很多平時看不到的「娛樂」。今年我到北港大伯家去玩，在廟的旁邊看見很多人圍在一起「娛樂」，我也湊過去。心想：六個格子中三個，應該不會輸，就跟著大人押。我只覺得錢一直出來，而老闆的錢卻越來越多，實在很奇怪。算算，我輸了三百多元，趕快腳底抹油。開學了，一直都還很迷惑，明明六個中三個，機會一半一半嘛！怎麼我就特別倒霉，決定好好探討這個怪東西。

由生活中常見的飲料包裝方式，探討在展開圖「相同的表面積」條件下，比較三角立體包裝與傳統鋁箔包裝的「體積比較」。求得三角立體包裝(錐體)的最大體積之一般式，探討傳統包裝展開圖之「長寬比」與之最大體積之關係；澄清視覺與實際之誤差，成為數學在生活中運用的有趣探討。

反演變換，又名圓對稱，在幾何變換的領域佔有重要的地位。為許多難解的問題提供了新的解法與看法。在一次偶然的機會，我看到八十四年一位學長的作品「圓－也有春天－圓對稱的應用與推廣」中，有關圓對稱的各種應用，以及他自己定義的一種變換－「圓平均變換」，可以用來作三等分角等的應用。讓我深深體會到幾何變換的魅力所在。於是我也定義了「圓調和變換」，並用GSP模擬了許多圖，得到一些有趣的曲線，開始了對此變換的研究。 \r \r

在平面上的凸多邊形內部加入有限個點，作三角化後所得到的新圖形，稱為「三角化圖形」。為探討三角化後各點的度數，我們考慮三角化圖形的對偶圖，藉由對偶圖的各項性質找出特殊的三角化圖形：「偶三角圖」、「奇三角圖」、「三角正則圖」…等存在的充要條件。另外，在空間中，針對一個三角面體進行四面體化所形成的結構，我們也做了類似的分析。

針對三角形 ?ABC ，以其三邊為底，同時向外或向內作三個相似等腰三角形?'A BC 、 ?'AB C 、 ?'ABC ，我們發現 'AA 、 'BB 、 'CC 三線交於一點──「第六個心」。其實，第六個心並非由 ?ABC 所決定唯一的一點，乃是隨等腰三角形?'A BC 、 ?'AB C 、 ?'ABC 的變動而有所不同。隨等腰三角形 ?'A BC 、 ?'AB C 、 ?'ABC 的變動，第六個心在平面上形成的軌跡為等軸雙曲線﹝漸近線互相垂直﹞，並且通過 ?ABC 的三頂點、重心以及垂心。我們研究的範圍包括：雙曲線的無窮遠點、 'AA 、 'BB 、 'CC 交於無窮遠點的判別條件、尤拉線的推廣等。為了研究以上主題，我們引進了一些額外的數學工具，如投影平面、bary-centric coordinate。藉由這些工具的使用，我們得以發掘定理背後的數學結構，並且簡化計算過程，增加文章的可讀性。

對多邊形每一邊長作相同的分割比，連接這些分割點，或將原多邊形的頂點與分割點相連，亦可圍成一多邊形，此多邊形與原多邊形是否相似？這是值得研究的一個問題。我們發現將一多邊形作m：n之分割，除了少數情形與原多邊形相似外，大部分的情形都無法與原多邊形相似。只有正多邊形的情形一定可以得到與原多邊形相似的多邊形。除此之外，我們對正多邊形之分割點與原正多邊形頂點所圍出來的正多邊形頂點、 、C、的軌跡也將有所探討。 \r 我們把連接分割點所得的正多邊形稱為第一型態正多邊形，把原正多邊形的頂點與次一邊上的分割點相連，所圍出來的正多邊形稱為第二型態正多邊形，把正多邊形的頂點與再次一邊上的分割點相連，所為出來的正多邊形稱為第三型態正多邊形。接下來的討論分為四部份。A部分我們要討論，第一型態的正多邊形，B部分我們要討論第二型態的正多邊形，C部分我們要討論第二型態正多邊形頂點的軌跡，D部分我們要討論第三型態正多邊形的軌跡，而最後E部分我們要對此問題作一個結論及討論。 \r

走在秀朗國小（得和路、永元路）及台大（羅斯福路、新生南路）這二個丁字路口之地下人行道，發現前者略呈 L 形，而後者呈 T 形，引起我們研究的動機。

本研究在探討一種特定類別的曲線集合 : 給定平面上 n 個點 {A1,…,An}，我們想要找 n 段圓弧，使得 n 段圓弧分別以 {A1,A2 }、{A2,A3 }、…、{An-1,An }、{An,A1 } 為端點，且 n 段圓弧光滑的相連，我們將此 n 段圓弧形成的圖形稱為光滑解。主要研究發現為 : 1. n 為奇數時，這些圓弧存在的充分必要條件以及滿足條件的圓弧組數量 2. n 為偶數時，這些圓弧存在的充分必要條件以及滿足條件的圓弧組數量 3. 光滑解自交不可避免 4. 上述圓弧組不存在時，可透過增加一個新點使圓弧組存在 5. 增加新點的軌跡是圓

求出長方形切割的最少刀數判別方法：K2+1＜N≦（K+1）2+1，需要K+2刀。再從長方形推廣到平行四邊形，找出已切割線之交點數。而梯形主要為平行四邊形之應用，最後再用目前我們已經發現的方法來區分三角形的種類，找出部分三角形的切法。