在這篇報告中我們跳脫了傳統三根柱子的窠臼，而改採四根以上的柱子來進行搬運，在這之前，繁複的步驟常令我們在操作上耗費許多時間，但是在我們增加柱子數後發現不只是搬運次數驟減，而且我們還發現了許多有趣的規律，以下是我們所得到的重點：1. 在四根以上的柱子，我們搬運過程分成三段，並可證明下列的式子F k ( n ) = 2 F k ( m ) + F k ? 1 ( n ? m ) 成立。2. 在四根以上的柱子，最佳圓片數m 值，通常有很多解，但是在某些特定的圓片數中，m 值卻只有唯一一解，而其搬運過程中，搬運的圓片編號也只有唯一的對應組合，這結論令我們非常訝異。

根據密克定理的陳述，於一個三角形的三邊上各任取一點，則三個外接圓會交於一點，且逆定理也存在。我在確認完定理和逆定理的正確性之後，以原本定理的敘述為基礎，推廣並探討了根據該定理所能做出的相似形和圓心的軌跡，並將軌跡視為三角形的基本性質，棄續探討軌跡的交點的軌跡，最後再將密克定理和密克逆定理推廣到多邊形。

因要轉達消息至全班同學，而開始探討如何有效的將訊息傳達至每一位同學手中，利用圖論中樹的分析架構，轉化為實際的樹狀結構，並訂出最快的處理策略：整合+互補+傳達，找出在m個人中各自擁有一項不同的訊息，每一次對談人數為n個人，則最快讓此m個人擁有所有的訊息的次數為[m-n/n-1]+n+[m-n2/n-1]，其中m≥n2 ，並以此思維架構化簡更為精簡圖形架構模型。

1、由一點至兩圓切線長若相等，可推得此點至兩圓的圓心距離的平方差為定值，而由預備定理可知此點分佈的軌跡為過此點做連心線的垂線（稱為姻圓線）。2、討論當兩圓的位置改變時（外離、外切、相交兩點、內切、內離），此條姻圓線的相關性質，並藉之以尺規作圖分別作出姻圓線。3、推至三圓時，發現三圓心若共線時，三條姻圓線重合或平行，而當三圓心不共線時，則三條姻圓線相交於一點（稱為姻圓心）。4、探討出姻圓心分別在三圓的內部及外部時，則此姻圓心必分別為某一個被三圓皆平分及與三圓都直交的圓的圓心。5、最後更進一步發現了有關姻圓心心的另一些特性：（1）任一三角形的垂心亦為分別連接三頂點與對邊任一點的三線段為直徑的三個圓的姻圓心。（2）當三圓兩兩外切時，則姻圓心為以三圓心為頂點的三角形的內心。（3）作任一三角形的三高，而三垂足之間兩兩連接的三條直線與三邊的延長線分別交於三點，則此三點必在原三角形與以三垂足為頂點的三角形的兩外接圓的姻圓線上。

本研究從圓內接正多邊形開始，延伸多面體之規律探討，分為三部分： 一、探索：名詞解釋。 二、分析與統整： (一)圓內接正多邊形有無限多個。 (二)正多邊形組成立體角的個數為3、4、5個正三角形、3個正方形、3個正五邊形。 (三)截面後之多面體稜線、點、面有其相關規律可推導。 三、延伸 (一)依1:1邊長比例截面，5種柏拉圖立體可截出半正多面體；在3等分截面時，正四面體、正八面體、正二十面體可依1:1:1邊長比例截面，截出半正多面體，正六面體須以1:√2:1邊長比例、正十二面體須以1:1.6:1邊長比例，才能截出半正多面體。 (二)共找出7個阿基米德立體、4個類似阿基米德立體及12個均勻多面體、3組對偶多面體。

考拉茲猜想是一個橫跨近九十年的數學難題：任何一個自然數，奇數須乘以3加1，偶數須除以2，依照這個規則不斷重複運算，所有自然數終將變成1。因為經運算後，偶數將變小，奇數會變大，直觀上奇數會比偶數更不容易收斂到1。我們發現有許多連續數字會有同步現象，這表示，數對裡的奇數具有和相鄰偶數一樣的考拉茲運算次數，同時，只要我們找到一個符合考拉茲猜想的奇數，就相當於找到了無限多個同樣符合的奇數。

反演變換，又名圓對稱，在幾何變換的領域佔有重要的地位。為許多難解的問題提供了新的解法與看法。在一次偶然的機會，我看到八十四年一位學長的作品「圓－也有春天－圓對稱的應用與推廣」中，有關圓對稱的各種應用，以及他自己定義的一種變換－「圓平均變換」，可以用來作三等分角等的應用。讓我深深體會到幾何變換的魅力所在。於是我也定義了「圓調和變換」，並用GSP模擬了許多圖，得到一些有趣的曲線，開始了對此變換的研究。 \r \r

本研究主要探討四位數經 f(X)函數運算後的結果。研究後得知經 f(X)函數運算後輸出值的標準形態 (x,x-1,k-x-1,k-x)，只需要用一個變數即可控制所輸出的四位數之值。從而導出若進位制為 3 的倍數則有固定點，其通式解為 ( k/3 ,k/3-1 ,2k/3-1 ,2k/3 )。後來更進一步將進位制限制在 3×2n ，則只有固定點而沒有自戀環，而進入固定點的兩種路線型態之步數為 n-t+1 和 2n-t+1 。而在自戀環方面，我們將週期解寫成r1Tk/r的型態，並得知其週期解的個數公式 ∏i=1n=(ni+1)-1，和週期解內元素個數公式(k/r-1)/2-∑i=1^( ∏i=1n(ni+1)-2) Tli=φ(k/r)/2，以及週期解內元素為何。另外，藉由歐拉公式推導出不在週期解內且滿足標準形態的四位數，經f(X)函數運算後進入週期解 rTk/r內個數的公式，且依照週期解條件不同，其計算公式分為下列兩種 ∑x=0p-1φ(k/2x)+φ( k/2p)/2+∑y=0p-1φ(k/(m⋅2y))以及 ∑x=0p-1φ(k/(2x r))+φ(k/r)/2。

利用電腦程式做大量且密集運算的時候，會因為電腦硬體暫時性的失效而產生計算上的錯誤，為了減少重新計算所要花費的時間，並提高整體計算的穩定性與可靠度，具有錯誤偵測與錯誤修正能力的容錯計算方式是很重要的。本篇報告提出一種具有容錯能力之高斯-喬登消去法，藉由以直觀方式加入的檢查碼及修正的矩陣基本列運算，使得每個階段的運算過程中具有錯誤偵測與錯誤修正的功能，與以往的方法比較起來，多了容錯的能力，但是時間複雜度依然是相同的O(n^3 ) 。

本研究從許多幾何研究中讀到「頂外三角形」的研究,我們延伸的「頂內三角形」、「頂垂三角形」以及尤拉線,這四個主題出發,展開研究,試圖串連這四個主題,讓「頂外三角形」不再孤單。 除了探討頂內三角形之外心、頂外三角形之垂心、頂垂三角形之內心與原三角形之內心、外心、垂心共點問題外,更進一步研究頂內三角形之尤拉線、頂外三角形之尤拉線、頂垂三角形之尤拉線與原三角心尤拉線彼此間的關係。 我們更研究出驚人的發現:頂垂三角形之三頂點與原三角形之三頂點六點共圓,並且頂內三角形、頂外三角形、頂垂三角形之尤拉線必與原三角形之尤拉線交於原三角形之外心。 發現令人興奮,應用產生價值,我們努力利用研究的發現,研發其在工程、產業、通訊、交通上的應用。