數學科

從原始的題目「圓內接四邊形的外心會是其內、外平分圓的連心線之中點」出發，我們發現若為雙心四邊形，則其外心也是其內心和外平分圓圓心的中點，且此三點會和雙心四邊形的兩對角線交點共線，而外平分四邊形的兩對角線交點正好是雙心四邊形的內心。無獨有偶，三角形的外心也是其內心和外平分三角形外心的中點，且此三點會和外平分三角形的重心共線。 若考慮內切圓的切點多邊形，我們發現：三角形的外平分三角形和內切圓切點三角形會相似，且其面積是其外平分三角形面積與內切圓切點三角形面積的等比中項。無獨有偶，雙心四邊形外平分四邊形和內切圓切點四邊形亦會相似，且其面積也是其外平分四邊形面積與內切圓切點四邊形面積的等比中項。

本學期，我們開始學習幾何的內容，與尺規作圖的方法，經由老師的教導，我們對對稱圖形有了一定的認識。因此，我們本次研究的內容，即是在探討正多邊形的摺紙方法，運用角平分線、中垂線的原理，是否能摺出所有的正多邊形？如果能，其原理與方法為何？

正多面體有五種，而阿基米德多面體有 21 種之多，其中有些阿基米德多面體可以由正多面體切除「角」而產生；亦即把正多面體的每稜邊取中點後連線，然後去除各頂點的角。 以正四面體開始，截角可以得到正八面體，再截角可得 3,3,4,4 多面體。如果繼續截角，當步驟趨近於無限大時，會得到何種立體圖形？是球嗎？ 本研究先觀察此系列多面體的特性，以計算體積法、導出頂點之坐標來求得其極限值，但因體積變化無規律、頂點坐標有多餘解而無法直接求得結果。進而將此系列多面體投影於xy平面上，發現其具有4×2 k 邊形的投影形狀，並且上下左右對稱。故將此投影形狀坐標化後，可求出各點之坐標，代入二次曲線一般式中，得拋物線，即極限之形狀並不是球。

二十九屆科展，我們得了很好的成績後，學校送我們很多書，有幾本是數學遊戲的書，我很感興趣，也常常拿出來研究，其中「趣味數學問題集」第二八八條「如何贏」是讓我又怕又愛的題目：「在圖的八個方格中，於 4，6，8 中放入三個棋子，甲、乙兩人輪流將棋子往左移，如果需要的話可以跳過一個或兩個棋子，但不得連跳，將最後一個棋子放入1格就贏了。甲總是贏得比賽，你是否能找出如何移動？」我和許多同學下過，但一直找不到必定贏的方法，而書後又沒有解答，只好去請老師幫忙，在老師的指導和同學的共同研究下，有了下面的結果。

「史坦納樹 Steiner Trees」為尋找已知圖形最短路徑和的問題，對於路徑最短要求，即我們所要的『最佳化』。舉個例子，在城鎮規劃，無論造橋或馬路或捷運。系統能以最短距離連接各個鄉鎮，就能大量節省經費及通往的時間。另外，在一個電路板或 IC 晶片CPU 上，有許多電晶體或邏輯閘需用許多線路連接，如果將這些電晶體以一種規則排列，讓所連接的線路總和最短，這樣不僅能節省線路材料的成本，且能降低電阻所浪費的電能，也可提高電路板在執行工作的效率。本研究對史坦納樹的各種規律和性質作進一步的探討。

數學課時，老師出了一道有趣的問題，他在黑板上寫了一串數字「 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 」，要我們將這六個數字分別安排在一個三角形的三個頂點及三邊上，使待一邊（包含二頂點）的三個數字的和相等。於是全斑同學都在努力的拼湊，一旦發現答案，就公佈在黑板上，最後經過整理和剔除重複部分，我們得到了下面四種答案：這個問題給我們帶來了一股研究的興趣；在研究的過程中，發現了幾個問題”於是，在老師的指導下，我們對這些問題再做深入的探討，並找出答案。

因要轉達消息至全班同學，而開始探討如何有效的將訊息傳達至每一位同學手中，利用圖論中樹的分析架構，轉化為實際的樹狀結構，並訂出最快的處理策略：整合+互補+傳達，找出在m個人中各自擁有一項不同的訊息，每一次對談人數為n個人，則最快讓此m個人擁有所有的訊息的次數為[m-n/n-1]+n+[m-n2/n-1]，其中m≥n2 ，並以此思維架構化簡更為精簡圖形架構模型。

由生活中常見的飲料包裝方式，探討在展開圖「相同的表面積」條件下，比較三角立體包裝與傳統鋁箔包裝的「體積比較」。求得三角立體包裝(錐體)的最大體積之一般式，探討傳統包裝展開圖之「長寬比」與之最大體積之關係；澄清視覺與實際之誤差，成為數學在生活中運用的有趣探討。

我們在網路上看到一些用GSP所繪出的內外擺現圖形，因此引發我們對這些圖形的好奇心。我們試著用GSP一些性質，例如外擺線外切多邊形面積不變、切線及法線共點等等。

某一日的國語日報上，有一道這樣的題目： 小華過生日，邀了三位好友一同慶祝。他準備了一塊正方彩的蛋糕要和好友共享，而為了滿足每個人，他決定依各人的食量，將蛋糕切為四塊 l : 2 : 3 : 4 的小蛋糕。如果小華只能切二刀，他應該如何切呢？ 由於報上只印了如下的二種圖形以示解答： 使我們不禁懷疑，如上的二解是如何求出的呢？除了這二解之外還有其他的解嗎？若要得到其他的比例，又該如何切呢？ 我們想追根究抵的將所有解答找出，而就此開始了我們的研究。