數學科

課外活動時，老師要我們每個人完成一項“自我挑戰”的任務，翻箱倒櫃又上網路，尋找許多題材，最後被我們看上而雀屏中選的是 Brian Bolt借，王榮輝譯的“舉一反三”一書中的“郵票設計”問題，它符台實用性、生活化，又兼具趣味性，更重要的是真的很能「自我挑戰」。 基本上，這個遊戲要注意到，不同型式的郵票祖設計有不同的撕法，以及該設計總範圍內的每一個連續整數由 1 到總票值都能被單張或相連的若干張配對出來，不容易。

除了平常的數學課之外，老師也鼓勵我們多方閱讀一些不同的書籍。我們幾位同學在『數學世界中的萬花筒』一書中發現一題很有趣的問題：「用小正方體拼構成n行n列n層的大正方體，然後在對角線上去掉2個小正方體。要把這樣得到的形體，全部切成2個小正方體相連在一起的長方體可不可能？可能的話，請找出切割的方法；如果不可能，請加以證明。」引起我們對它探討的興趣。 在不斷討論的過程中，我們利用電腦計算出一些數據，發現去掉3個小正方體後的形體所得到的數據，似乎更有規律性，於是便朝著〝去掉3個小正方體〞這個方向努力去研究。 \r 研究的主題定為“巧解切割問題”─「用小正方體拼構成n行n列n層的大正方體，然後去掉3個小正方體，分別是位於對角線的2個小正方體及其相鄰的1個小正方體。要把這樣得到的形體，全部切成2個小正方體相連在一起的長方體可不可能？可能的話，請找出切割的方法；如果不可能，請加以證明。」 \r

在研究過程中，我們找出了一種方法去解決尚待解決形如ax4 -by2 =k 的求解法，並且令人驚訝的，我們可以利用這個結果去處理尚未有初等證明的watson 猜想，利用這種方法可以圓滿的解決watson 猜想的一些棘手的問題，對於ax4 -by2 =k 我們先討論最簡單的形式：x2 -2y4 =-1 我們先將y 前的係數消去，在將另一邊的的變數配成畢氏數，利用連續兩次的畢氏數本原解，我們可以找到限制的條件，再利用佩爾方程找出變數間的關係，再使用同餘去分割方程去求解，即可找出解，將watson 猜想化成形如ax4 -by2 =1 再利用上面所言同樣的手法，去處理即可求出watson 猜想(求12 +22 +32 ＋... + N2 = K2的所有正整數的解)，而且我也利用同餘的方式去處理watson 猜想3 次方的推廣(求13 + 23 +L + N3 = K3的所有正整數的解)，並且也證明出解只有1。

這是一個強調「做中學」、「做數學」及「察覺規律」的研究課題。本研究首先是由生活中獲得研究動機，然後藉以設計出的兩個操作實驗，希望知道在不同條件下，從硬幣堆中最快找出劣幣的方法與公式。 我們用最笨的方法：兩個實驗都要從硬幣個數 n＝1開始進行，再逐次加1，並操作各種可能的狀況。過程中，我們透過討論，逐漸修改操作的技巧，知道如何分堆較省時；如何記錄較便捷。在累積一定的經驗後，我們獲得了一些關鍵的數據與規律，如：等比數列、臨界點、「最少次數」以及「快速獲得臨界點的方法」...等等。最後藉由這些關鍵的數據與規律，歸納出公式，再透過「數學歸納法」加以證明成功。 獲得及證明的公式如下： 1. n枚硬幣中有一枚劣幣，已知劣幣較輕。當 n＝ 3k 時，利用天平，最少須量測k次，才可以找出劣品。 2. n枚硬幣中有一枚劣幣，另提供足夠數量的完好備品。利用天平量測，當 n＝ (3k - 1)/2 時，最少須量測k次可找出劣幣，並知其輕重。

研究起源於平分圓的問題：平面上2n+1 個點(n?□ ) ，其中任三點不共線，任四點不共圓，\r 任取三點可決定唯一的圓，若2n+1 個點，三個點在圓上，圓內、外都各為n -1個點，則此\r 圓為平分圓，在Federico Ardila 教授的論文中[4]，得平分圓個數為n2 個。我們將圓改成拋物\r 線，則平分拋物線的個數是幾個？(平面上2n+1 個在一般位置上的點，其中任三點不共線，\r 任四點不共拋物線，將對稱軸方向固定後，任兩點連線不與對稱軸平行，則任取三點可決定\r 唯一的拋物線，若2n +1 個點，三個點在拋物線上，拋物線內、外都各為n -1個點，則此拋\r 物線為平分拋物線)\r 研究結果與平分圓相同：平面上2n +1 個在一般位置上的點，平分拋物線個數為n2 個，接\r 著推廣至(a v b) 拋物線(若2n +1 個點，三個點在拋物線上，拋物線內、外分別為a 個點和b 個\r 點或b 個點和a 個點，其中a + b = 2n- 2 ，且a ≠b ，則此拋物線為(a v b) 拋物線)， (av b) 拋\r 物線個數為2(ab + a+ b +1) 個。\r 研究是建立在平分圓的論文上，但在將圓改成拋物線的過程中，架構便於計算平分拋物線\r 個數的排法時，平分圓的排法不適用，因此需採取較複雜的排法加以討論。

二年級下學期教到『生活中的平面圖形』這個單元時，老師在習作2-1 中補\r 充『希臘十字切割』以及『對稱法』的圖形。下課後，阿霈在觀察面積切割方式，\r 發現：1、2、4、5 均可切割平鋪為正方形，為何獨獨沒有3？於是阿霈去找數學老\r 師討論，老師回答：「這是個很有趣的問題，上學期我們學過的『商高定理』，也涉\r 獵了面積切割的問題，你不妨找幾個同學一起去深入探討一番。」隔天阿霈和幾個\r 朋友閒聊時，談到這個問題，小文：「是不是每個數目均可切割成正方形？方法都\r 一樣嗎？」婕瑋觀察完說道：「我覺得這些圖形各有獨特的拼切方式，會不會拼切\r 的方法都不一樣？」，小慧頓時靈光一現：「我們何不實作來探討這個問題？」

將原本只適用於平面的 Pick 定理： A=N + 2/L - 1 ，透過幾何圖形（包括平面、立體）的觀察及架構、座標系的輔助及代數運算的應用，一步步推廣到立體空間：先建構長方體，記錄數據後再觀察其規律，歸納出一個小公式；接著討論柱體，最後再研究錐體，嘗試找出能夠適用於任一格子點多面體的通式。

此主題從日常生活遭遇疑難尋求解答開始，在研究如何將看似繁瑣的中國著名童玩—九連環，透過解開單環、二連環、三連環、四連環等較簡易的情形，推導出各情形的解開方法，進而建立解開各情形步驟數的數列，並從這些簡易的情形推出解K連環的過程規律， 並得到各項數列的變化規則為 ak=2ak - 2+ak - 1+2， 再從數列的前幾項分布觀察出另一個其隔項階差形成等比數列的規律， 並進而推導出其隔項階差公比為4 也就是ak + 2 -ak =4（ ak-ak- 2）這個關係式，透過分離奇數項數列和偶數項數列形成的第一階差再配合等比級數的求和方法就可得到解K 連環時的步驟數的一般公式， 也就是為當K 為奇數時需1/3(2k+ 2-2)步，而當K 為偶數時則為ak=1/3(2k + 2-4)步。

在 1940 年代，Bouwkamp 提出一系列有關如何將矩形切割成若干個正方形的研究報告，但是如何找出正方形個數最少的方法仍是長久以來懸而未決的問題。在本研究報告中，首先引進「四角切割」的方法，並結合輾轉相除法的概念，來研究矩形的切割問題。我們的方法能大幅度降低正方形的個數，也適合做為此問題的上界函數。有關如何在長方體中切割出正立方體的組合，我們也將輾轉相除法的概念延伸到三維空間，進而建立所切割出最少個正立體數的一個上界模式。此外，藉由四角切割概念的延伸，我們也發現這個上界亦可再予修正。 In 1940’s, Bouwkamp proposed the study of dissecting squares from rectangles. Among the study, the problem of the least number of dissected squares has been open for decades. In this project, we first propose a corner dissection method, associated with the famous Euclidean algorithm. By reducing nearly three fourths of the number dissected by the primitive Euclidian algorithm, our method indeed establish a suitable upper bound of the minimal number of dissected squares from the given rectangles Meanwhile, the Euclidean algorithm has also been considered to dissect the cubes from cuboids. We analyze the fundamental properties of the method and establish a prototype of upper bound function for the minimal number of dissected cubes. Moreover, the method of corner dissection has also been implemented for some cuboids, which also exhibits the acceptable improvement being a suitable upper bound.

運用四心及平行、圓等幾何性質探討任意四邊形生成之四心(內心、外心、重心、垂心)四邊形的性質，發現任意四邊形所生成之外心四邊形、重心四邊形、垂心四邊形均為相似的平行四邊形。更進一步利用平行線性質及AA相似性質等說明迭代生成之重心四邊形、外心四邊形、垂心四邊形其四邊形An Bn Cn Dn與四邊形An+2 Bn+2 Cn+2 Dn+2相似，而內心四邊形An Bn Cn Dn會收斂漸成正方形。同時證明出任意四邊形A1 B1 C1 D1重心G與對角線交點E的中點正好是重心四邊形收斂點，圓內接四邊形A1 B1 C1 D1其外接圓圓心O與對角線交點E的中點正好是其外心四邊形收斂點，而內心四邊形與垂心四邊形沒有類似的結果。