作品中，首先證明了下列命題：「一橢圓中心為O ，在橢圓上取多點 P1,P2,...,Pn (n≧3)，使得 將圓周角n 等分，則。」又利用極座標上圓錐曲線的標準型：

2001 年 Larry Hoehn 提出了 △ABC 的三個旁接三角形的西瓦線之共點性質，近年的相關研究都是探討邊上作正方形或矩形而構造三個旁接三角形。本研究不限於直角，創新探討角度一般化情形。考慮以 △ABC 頂點為旋轉中心，將三邊分別旋轉實數 φ 後，構造出可變動的三個旁接三角形。我們發現可變動的三條外中線交於一點、三條外高交於一點、三條外中垂線交於一點。我們先探討前述三個動點的軌跡，發現著名的 Kiepert 雙曲線，本研究為 Kiepert 雙曲線的新構造法。接續研究任選兩點所構成的直線性質，有趣的是，外高交點與外中垂線交點連線恆通過重心；外高交點與外中線交點連線恆通過九點圓圓心，我們給出共線三點的有向距離比例常數。最後，再探討三個動點共線的充要條件。

當在圓上找到一個固定點P，做兩條相互垂直的弦PQ、PR ，則直線QR恆過一定點(圓心)如圖一，那麼這個定點該如何用座標表示呢？如果這兩條直線不是垂直的話，在何種情況下也會產生同樣的結果呢？所有的圓錐曲線是否也具有這樣的特性呢？若皆具有這樣的特性，那麼這些點究竟含有什麼意義呢？讓我們一起來討論這個問題吧！

二年級下學期教到『生活中的平面圖形』這個單元時，老師在習作2-1 中補\r 充『希臘十字切割』以及『對稱法』的圖形。下課後，阿霈在觀察面積切割方式，\r 發現：1、2、4、5 均可切割平鋪為正方形，為何獨獨沒有3？於是阿霈去找數學老\r 師討論，老師回答：「這是個很有趣的問題，上學期我們學過的『商高定理』，也涉\r 獵了面積切割的問題，你不妨找幾個同學一起去深入探討一番。」隔天阿霈和幾個\r 朋友閒聊時，談到這個問題，小文：「是不是每個數目均可切割成正方形？方法都\r 一樣嗎？」婕瑋觀察完說道：「我覺得這些圖形各有獨特的拼切方式，會不會拼切\r 的方法都不一樣？」，小慧頓時靈光一現：「我們何不實作來探討這個問題？」

一個有 3 個旋鈕，每個位置的號碼數分別是 a、b、c 的密碼鎖，如果有兩個位置的數字正確就能打開，最少需要猜多少次才能保證打開這個鎖。我們的研究，依照鎖三個位置的號碼數分成：a＝b＝c＝n、a＝b＜c，a＝b＞c 和 a＞b＞c 四個部份。前兩部份的研究已經找到最少次數開鎖的方法 ，後兩部份則是給了一個演算法可求出開鎖次數的上界。

圓在一般日常生活中扮演著十分重要的角色，最常見的如硬幣、球、輪胎、……等，\r 都是由圓所產。在國小的時候，就已開始接觸圓這種圖形，當時認為圓是一種看似容易\r 的圖，但國小所了解的卻十分粗淺，並不了解圓的真實面貌。在國中時學到了一些圓內\r 弧度，與圓心角的課程，並且學了三角形的定理與規則，而在國中老師的課外補充中，\r 粗略的知道三角函數的公式與方法，更讓我們對圓內的圖形產生了興趣。\r 上了高中後，隨著課程的擴大與加深，高一下時學了三角函數的公式，發現與之前\r 國中所的有些不同，不僅公式多出許多，推導的方式也不盡相同，在幾何學的領域中隱\r 藏的奧妙，更是耐人尋味。\r 高二上時所教圓方程式，不論是圓的標準式、坐標法、參數式、圓與直線的關係……，\r 顛覆了之前對圓的看法，並產生許多疑問，在老師的引導下，我們開始嘗試相交圓內，\r 所圍成的圖形面積，但如果在交圓內畫正方形或長方形等圖形太過於簡單，為了配合高\r 中所學，老師提議在兩圓之交集內畫出最大三角形面積，因此找了幾位同學一同討論，\r 有了一些新奇的想法與成果，老師便鼓勵我們參加科展，學以致用

本研究欲以一般性的推導手法，導出可廣用的弧邊面積求值公式。

本研究在探討A. Einstein所提出的三角形鋪砌凸多邊形問題：＂分別用1,2,3,...,N個從1開始的整數邊正三角形鋪砌一凸多邊形。問：怎樣鋪砌所構成的凸多邊形面積為最大？＂我們藉由觀察鋪砌正三角形的點、線、面關係發現以下幾點：一、鋪砌出的凸多邊形之頂點數(V)、邊數(E)、面數(F)具有V-E+F=1的性質，而當所鋪砌的圖形為一凹多邊形時，則其性質變成V-E+F=2。二、當N≥4時，最大面積凸多邊形必為五邊形。三、所鋪砌出的最大面積凸多邊形，其正三角形的邊長具有類似費氏數列的規律。 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,... 四、由黃金比例的探討發現，邊長數列雖也可繪製出類似鸚鵡螺曲線，但其曲線的半徑比卻無黃金比例的性質。五、後項與前項的比值趨近1.333，若用隔一項的比則會趨近於1.75。用最大正三角形的邊長與高的比則趨近1.539。

兩條不平行的相交直線L1、L2，交角θ度。今有一不在L1、L2 的點P0，作關於L1的對稱點P1。P1又作關於L2的對稱點P2，P2又作關於L1的對稱點P3??如此反覆對L1、L2 做對稱點，當Pn 的n＝ 2π/g.c.d(π,Θ)，則Pn 會重合P0。另外對L1、L2 形成的所有對稱點會位在同一個圓上