數學科

將原本只適用於平面的 Pick 定理： A=N + 2/L - 1 ，透過幾何圖形（包括平面、立體）的觀察及架構、座標系的輔助及代數運算的應用，一步步推廣到立體空間：先建構長方體，記錄數據後再觀察其規律，歸納出一個小公式；接著討論柱體，最後再研究錐體，嘗試找出能夠適用於任一格子點多面體的通式。

本研究從許多幾何研究中讀到「頂外三角形」的研究,我們延伸的「頂內三角形」、「頂垂三角形」以及尤拉線,這四個主題出發,展開研究,試圖串連這四個主題,讓「頂外三角形」不再孤單。 除了探討頂內三角形之外心、頂外三角形之垂心、頂垂三角形之內心與原三角形之內心、外心、垂心共點問題外,更進一步研究頂內三角形之尤拉線、頂外三角形之尤拉線、頂垂三角形之尤拉線與原三角心尤拉線彼此間的關係。 我們更研究出驚人的發現:頂垂三角形之三頂點與原三角形之三頂點六點共圓,並且頂內三角形、頂外三角形、頂垂三角形之尤拉線必與原三角形之尤拉線交於原三角形之外心。 發現令人興奮,應用產生價值,我們努力利用研究的發現,研發其在工程、產業、通訊、交通上的應用。

運用四心及平行、圓等幾何性質探討任意四邊形生成之四心(內心、外心、重心、垂心)四邊形的性質，發現任意四邊形所生成之外心四邊形、重心四邊形、垂心四邊形均為相似的平行四邊形。更進一步利用平行線性質及AA相似性質等說明迭代生成之重心四邊形、外心四邊形、垂心四邊形其四邊形An Bn Cn Dn與四邊形An+2 Bn+2 Cn+2 Dn+2相似，而內心四邊形An Bn Cn Dn會收斂漸成正方形。同時證明出任意四邊形A1 B1 C1 D1重心G與對角線交點E的中點正好是重心四邊形收斂點，圓內接四邊形A1 B1 C1 D1其外接圓圓心O與對角線交點E的中點正好是其外心四邊形收斂點，而內心四邊形與垂心四邊形沒有類似的結果。

在研究過程中，我們找出了一種方法去解決尚待解決形如ax4 -by2 =k 的求解法，並且令人驚訝的，我們可以利用這個結果去處理尚未有初等證明的watson 猜想，利用這種方法可以圓滿的解決watson 猜想的一些棘手的問題，對於ax4 -by2 =k 我們先討論最簡單的形式：x2 -2y4 =-1 我們先將y 前的係數消去，在將另一邊的的變數配成畢氏數，利用連續兩次的畢氏數本原解，我們可以找到限制的條件，再利用佩爾方程找出變數間的關係，再使用同餘去分割方程去求解，即可找出解，將watson 猜想化成形如ax4 -by2 =1 再利用上面所言同樣的手法，去處理即可求出watson 猜想(求12 +22 +32 ＋... + N2 = K2的所有正整數的解)，而且我也利用同餘的方式去處理watson 猜想3 次方的推廣(求13 + 23 +L + N3 = K3的所有正整數的解)，並且也證明出解只有1。

兩條不平行的相交直線L1、L2，交角θ度。今有一不在L1、L2 的點P0，作關於L1的對稱點P1。P1又作關於L2的對稱點P2，P2又作關於L1的對稱點P3??如此反覆對L1、L2 做對稱點，當Pn 的n＝ 2π/g.c.d(π,Θ)，則Pn 會重合P0。另外對L1、L2 形成的所有對稱點會位在同一個圓上

本研究主要探討四位數經 f(X)函數運算後的結果。研究後得知經 f(X)函數運算後輸出值的標準形態 (x,x-1,k-x-1,k-x)，只需要用一個變數即可控制所輸出的四位數之值。從而導出若進位制為 3 的倍數則有固定點，其通式解為 ( k/3 ,k/3-1 ,2k/3-1 ,2k/3 )。後來更進一步將進位制限制在 3×2n ，則只有固定點而沒有自戀環，而進入固定點的兩種路線型態之步數為 n-t+1 和 2n-t+1 。而在自戀環方面，我們將週期解寫成r1Tk/r的型態，並得知其週期解的個數公式 ∏i=1n=(ni+1)-1，和週期解內元素個數公式(k/r-1)/2-∑i=1^( ∏i=1n(ni+1)-2) Tli=φ(k/r)/2，以及週期解內元素為何。另外，藉由歐拉公式推導出不在週期解內且滿足標準形態的四位數，經f(X)函數運算後進入週期解 rTk/r內個數的公式，且依照週期解條件不同，其計算公式分為下列兩種 ∑x=0p-1φ(k/2x)+φ( k/2p)/2+∑y=0p-1φ(k/(m⋅2y))以及 ∑x=0p-1φ(k/(2x r))+φ(k/r)/2。

本文是籍由一套數學遊戲來找出它的必勝方法，並且依其設定的遊戲規則來找出它背後的數學原理，作為我們在本文的主要目標。 遊戲名稱：永不妥協（因為此遊戲永遠沒有和棋的結果） 玩法：兩位玩家利用兩種顏色的棋子，在三角形棋盤上下棋，只要能先在棋盤上產生一條同色棋子的連通線，且該連通線可同時連接上三角形最外的3個周界（紅色部分）者，即獲勝。 道具： 黑白棋子○，●若干 下圖的棋盤一紙。 在本文中我們利用了德國數學家E.Sperner提出的理論方法，及高一所學的歸納法、反證法… 等數學證明方法，解決潘建強、邵慰慈兩位教授留下來沒有證完的遊戲結果[1]，並將此遊戲依它的特性命名為『永不妥協』。

當在圓上找到一個固定點P，做兩條相互垂直的弦PQ、PR ，則直線QR恆過一定點(圓心)如圖一，那麼這個定點該如何用座標表示呢？如果這兩條直線不是垂直的話，在何種情況下也會產生同樣的結果呢？所有的圓錐曲線是否也具有這樣的特性呢？若皆具有這樣的特性，那麼這些點究竟含有什麼意義呢？讓我們一起來討論這個問題吧！

除了平常的數學課之外，老師也鼓勵我們多方閱讀一些不同的書籍。我們幾位同學在『數學世界中的萬花筒』一書中發現一題很有趣的問題：「用小正方體拼構成n行n列n層的大正方體，然後在對角線上去掉2個小正方體。要把這樣得到的形體，全部切成2個小正方體相連在一起的長方體可不可能？可能的話，請找出切割的方法；如果不可能，請加以證明。」引起我們對它探討的興趣。 在不斷討論的過程中，我們利用電腦計算出一些數據，發現去掉3個小正方體後的形體所得到的數據，似乎更有規律性，於是便朝著〝去掉3個小正方體〞這個方向努力去研究。 \r 研究的主題定為“巧解切割問題”─「用小正方體拼構成n行n列n層的大正方體，然後去掉3個小正方體，分別是位於對角線的2個小正方體及其相鄰的1個小正方體。要把這樣得到的形體，全部切成2個小正方體相連在一起的長方體可不可能？可能的話，請找出切割的方法；如果不可能，請加以證明。」 \r

2001 年 Larry Hoehn 提出了 △ABC 的三個旁接三角形的西瓦線之共點性質，近年的相關研究都是探討邊上作正方形或矩形而構造三個旁接三角形。本研究不限於直角，創新探討角度一般化情形。考慮以 △ABC 頂點為旋轉中心，將三邊分別旋轉實數 φ 後，構造出可變動的三個旁接三角形。我們發現可變動的三條外中線交於一點、三條外高交於一點、三條外中垂線交於一點。我們先探討前述三個動點的軌跡，發現著名的 Kiepert 雙曲線，本研究為 Kiepert 雙曲線的新構造法。接續研究任選兩點所構成的直線性質，有趣的是，外高交點與外中垂線交點連線恆通過重心；外高交點與外中線交點連線恆通過九點圓圓心，我們給出共線三點的有向距離比例常數。最後，再探討三個動點共線的充要條件。