數學科

對多邊形每一邊長作相同的分割比，連接這些分割點，或將原多邊形的頂點與分割點相連，亦可圍成一多邊形，此多邊形與原多邊形是否相似？這是值得研究的一個問題。我們發現將一多邊形作m：n之分割，除了少數情形與原多邊形相似外，大部分的情形都無法與原多邊形相似。只有正多邊形的情形一定可以得到與原多邊形相似的多邊形。除此之外，我們對正多邊形之分割點與原正多邊形頂點所圍出來的正多邊形頂點、 、C、的軌跡也將有所探討。 \r 我們把連接分割點所得的正多邊形稱為第一型態正多邊形，把原正多邊形的頂點與次一邊上的分割點相連，所圍出來的正多邊形稱為第二型態正多邊形，把正多邊形的頂點與再次一邊上的分割點相連，所為出來的正多邊形稱為第三型態正多邊形。接下來的討論分為四部份。A部分我們要討論，第一型態的正多邊形，B部分我們要討論第二型態的正多邊形，C部分我們要討論第二型態正多邊形頂點的軌跡，D部分我們要討論第三型態正多邊形的軌跡，而最後E部分我們要對此問題作一個結論及討論。 \r

本研究在探討A. Einstein所提出的三角形鋪砌凸多邊形問題：＂分別用1,2,3,...,N個從1開始的整數邊正三角形鋪砌一凸多邊形。問：怎樣鋪砌所構成的凸多邊形面積為最大？＂我們藉由觀察鋪砌正三角形的點、線、面關係發現以下幾點：一、鋪砌出的凸多邊形之頂點數(V)、邊數(E)、面數(F)具有V-E+F=1的性質，而當所鋪砌的圖形為一凹多邊形時，則其性質變成V-E+F=2。二、當N≥4時，最大面積凸多邊形必為五邊形。三、所鋪砌出的最大面積凸多邊形，其正三角形的邊長具有類似費氏數列的規律。 1,1,1,2,2,3,4,5,7,9,12,16,21,28,37,... 四、由黃金比例的探討發現，邊長數列雖也可繪製出類似鸚鵡螺曲線，但其曲線的半徑比卻無黃金比例的性質。五、後項與前項的比值趨近1.333，若用隔一項的比則會趨近於1.75。用最大正三角形的邊長與高的比則趨近1.539。

等冪和數組是數學問題中極具魅力的一環。一、二次等冪和數組各數字之和與平方和相等，這之中有更讓人驚喜的數組！無論將各數字拆開或作有規律的刪減，這奧妙的數組恍如金蟬脫殼般以溫和蘊藉的方式，展現它完美的等冪和性質。這正是這次我們深究的對象。為何它有著金剛不壞之身？數組的結構與構成方法為何？這耐人尋味的問題正牽引著大家去細細品味它的美……

走在秀朗國小（得和路、永元路）及台大（羅斯福路、新生南路）這二個丁字路口之地下人行道，發現前者略呈 L 形，而後者呈 T 形，引起我們研究的動機。

根據密克定理的陳述，於一個三角形的三邊上各任取一點，則三個外接圓會交於一點，且逆定理也存在。我在確認完定理和逆定理的正確性之後，以原本定理的敘述為基礎，推廣並探討了根據該定理所能做出的相似形和圓心的軌跡，並將軌跡視為三角形的基本性質，棄續探討軌跡的交點的軌跡，最後再將密克定理和密克逆定理推廣到多邊形。

過年時，大家總會賺不少紅包，我也不例外，口袋裡滿滿的不知道該怎麼花，所以過年時就有很多平時看不到的「娛樂」。今年我到北港大伯家去玩，在廟的旁邊看見很多人圍在一起「娛樂」，我也湊過去。心想：六個格子中三個，應該不會輸，就跟著大人押。我只覺得錢一直出來，而老闆的錢卻越來越多，實在很奇怪。算算，我輸了三百多元，趕快腳底抹油。開學了，一直都還很迷惑，明明六個中三個，機會一半一半嘛！怎麼我就特別倒霉，決定好好探討這個怪東西。

在平面上的凸多邊形內部加入有限個點，作三角化後所得到的新圖形，稱為「三角化圖形」。為探討三角化後各點的度數，我們考慮三角化圖形的對偶圖，藉由對偶圖的各項性質找出特殊的三角化圖形：「偶三角圖」、「奇三角圖」、「三角正則圖」…等存在的充要條件。另外，在空間中，針對一個三角面體進行四面體化所形成的結構，我們也做了類似的分析。

本研究在探討一種特定類別的曲線集合 : 給定平面上 n 個點 {A1,…,An}，我們想要找 n 段圓弧，使得 n 段圓弧分別以 {A1,A2 }、{A2,A3 }、…、{An-1,An }、{An,A1 } 為端點，且 n 段圓弧光滑的相連，我們將此 n 段圓弧形成的圖形稱為光滑解。主要研究發現為 : 1. n 為奇數時，這些圓弧存在的充分必要條件以及滿足條件的圓弧組數量 2. n 為偶數時，這些圓弧存在的充分必要條件以及滿足條件的圓弧組數量 3. 光滑解自交不可避免 4. 上述圓弧組不存在時，可透過增加一個新點使圓弧組存在 5. 增加新點的軌跡是圓

科學教育月刊第77 期所刊載的第十七屆亞太數學競試試題中有一個有趣的問題：「在一個n×n 正方形棋盤中，某點起火而擴散，欲撲滅著火點且一次只能撲滅一點，最有效防止火勢擴散方法為何？」本研究即是由此延伸，著重在擴散之後所產生起火點總數，以及撲滅的可行性、順序與如何獲得最大安全區域等問題，並嘗試改變棋盤形狀與擴散條件。

針對三角形 ?ABC ，以其三邊為底，同時向外或向內作三個相似等腰三角形?'A BC 、 ?'AB C 、 ?'ABC ，我們發現 'AA 、 'BB 、 'CC 三線交於一點──「第六個心」。其實，第六個心並非由 ?ABC 所決定唯一的一點，乃是隨等腰三角形?'A BC 、 ?'AB C 、 ?'ABC 的變動而有所不同。隨等腰三角形 ?'A BC 、 ?'AB C 、 ?'ABC 的變動，第六個心在平面上形成的軌跡為等軸雙曲線﹝漸近線互相垂直﹞，並且通過 ?ABC 的三頂點、重心以及垂心。我們研究的範圍包括：雙曲線的無窮遠點、 'AA 、 'BB 、 'CC 交於無窮遠點的判別條件、尤拉線的推廣等。為了研究以上主題，我們引進了一些額外的數學工具，如投影平面、bary-centric coordinate。藉由這些工具的使用，我們得以發掘定理背後的數學結構，並且簡化計算過程，增加文章的可讀性。