數學科

每次做異分母分數的比較大小，為了求各分母的最小公倍數，又是乘，又是除，忙得不可開交，當時心裡就一直在嘀咕著：「如果有方法，只做簡單的計算，或者是一眼就能看出各個分數的大小，那該多棒呀！」 於是，就把這個心裡的想法，提出來請教老師，老師笑說：「你提出的問題很新鮮，也很有創意，照道理說，應該有比較方便的方法可以做分數的比較大小，不過也要看看使用的時機啊！問題既然提出了，那麼我們就用它來當做研究的主題吧！」於是……

在解決基本三階魔方陣的過程中，得到解題的要訣在於訂立中心位置為5，可以得到八組解。然後嘗試改變傳統格式，將行與列的和訂為相同的等差數列，發現解答的組數會以中間位置為5 呈兩側對稱關係；而每個位置出現同一個數字的次數也有線對稱關係。因為只有中間位置能夠填入每一個不同的數字，所以解題時應先決定中間位置的數字，再探討其它位置的數字排列。當填入的九個數字呈等差數列時，發現解答的組數會以中間位置為此數列的中數呈兩側對稱關係。只要三階魔方陣的行與列呈現對稱排列，魔方陣的「四個角落數字和」必等於「填入數字的總和扣除兩倍第二行列數字和，再加上中間位置的數字」。

在所有的益智遊戲裡，有許多都隱含著一些數學上的關係，只要加以推導，便可找到一套必勝的方法，使我們在每次遊戲中，都能百戰百勝，我們也想以一種「拈」遊戲，作為探討的對象。

夜市裡丟乒乓球的遊戲是一個廣受大家喜愛的遊戲，我們喜歡玩這個遊戲，玩了很多次，卻都得不到好的成績，為了想提升命中率，所以有了本研究的初步想法。起初，由於丟乒乓球有很多不確定的因素，不知該從哪裡下手研究，正巧，最近數學課上到了「機率」的單元，便突發奇想，利用機率的概念來做實驗。本實驗主要在探討：一、乒乓球的投擲角度和投中機率的關係。二、投擲力量和投中機率的關係。三、杯口大小和投中機率的關係。四、投擲路線和投中機率的關係。五、杯子和杯子之間的距離和投中機率的關係。接下來，我們仿照實驗想出一個用手投擲的方式，希望提高整體投中的機率，並找了許多同學來試驗，試驗結果令人滿意。我們還提出一個可供參考的彈跳高度範圍，方便在不同場地利用。最後藉著機率來分析各項因素與投中機率的關係，更加深了對機率的了解。

在選修數學上冊習作 2 - 2 中，有一題目： “ O 是正 △ ABC 的外心，試證∠AOB ＝∠BOC =∠ COA = 120°”引起我們的疑惑是否在任意三角形中，也可以找到一個點，使其與三頂點連接線段之夾角皆為 120°，又該如何找到此點 ─ 與同學相互討論後，我們去請教老師，老師鼓勵我們“很好的題材！研究看看！”。在我們著手研究，且分頭找資料時，卻發現在第 26 屆全國中小學科展作品中已有類似作品，不過老師告訴我們可以改良其證明過程，並朝不同方向，作更進一步的探討，常可獲得更大的成果，因而展開了我們的研究之旅。

作品中，首先證明了下列命題：「一橢圓中心為O ，在橢圓上取多點 P1,P2,...,Pn (n≧3)，使得 將圓周角n 等分，則。」又利用極座標上圓錐曲線的標準型：

本作品為兩人輪流取數的對局遊戲,且當有一方動彈不得或故意累加的數字超過所給定的正整數N 者算輸。設前一手拿取的數為Xk ,下一手拿取的數為Xk+1 且取數範圍為m~n,即 m≦Xk.Xk+1≦n (Xk.Xk+1.m.n 為正整數)。本作品所研究的問題為： 一 若Xk≠Xk+1 且m=1,即取數範圍為1~n 時,探討後手有必勝策略的N 值。 二 若Xk≠Xk+1 且m>1,即取數範圍為m~n(1 三 若Xk≠Xk+1,Xk+Xk+1≠m+n 且m=1,即取數範圍為1~n 時,探討後手有必勝策略的N 值。 四 若Xk≠Xk+1,Xk+Xk+1≠m+n 且m>1,即取數範圍為m~n(1

一、數學四組的作品與歷年相較，有很高的水率。 二、參與科展的學生都很投入，相對的評審都很認真，而且評審的意見相當一效，可惜初小和高中都有遺珠之憾。 三、國中、高中組都有從國際科展轉來的作品，表示國際科展已得到師生充分的注意，但是在高中組合作的研究品質，平均而言，還是比單打獨門者為高。 四、連續兩年以上參加全國科展者，本年見國小一位、國中一位、相當難得。在科展發源地美國，其全國展就叫國際科展非常強調這種科展明星。在我國，有人提議不把外國隊列入比賽，我們是以增加科展名額來因應，因為每年的研究作品還是不同，鼓勵參展就是鼓勵研究，未得獎的師生應抱著參展就是成就的心情來參加。 五、國中、高中學生明顯地都是自己進行研究。高小組明顯地分成兩類，一種是以學生研究為主，指導教師只是從旁協助，一種則是教師教導為主，學生參與活動學習，初小組因年紀甚小，有的是天才早熱、有的作品則較接近教室活動的紀錄，有些則成人灌輸的成份太多。一個比較具有指標性的作品是四年前賴緯綸小朋友的四數兩兩取差遞這過程的研究。至於把數學當成自然問題來考察比較少了。我們要強調數學思考與自然科學思考的差異性。

本研究從圓內接正多邊形開始，延伸多面體之規律探討，分為三部分： 一、探索：名詞解釋。 二、分析與統整： (一)圓內接正多邊形有無限多個。 (二)正多邊形組成立體角的個數為3、4、5個正三角形、3個正方形、3個正五邊形。 (三)截面後之多面體稜線、點、面有其相關規律可推導。 三、延伸 (一)依1:1邊長比例截面，5種柏拉圖立體可截出半正多面體；在3等分截面時，正四面體、正八面體、正二十面體可依1:1:1邊長比例截面，截出半正多面體，正六面體須以1:√2:1邊長比例、正十二面體須以1:1.6:1邊長比例，才能截出半正多面體。 (二)共找出7個阿基米德立體、4個類似阿基米德立體及12個均勻多面體、3組對偶多面體。

正多面體有五種，而阿基米德多面體有 21 種之多，其中有些阿基米德多面體可以由正多面體切除「角」而產生；亦即把正多面體的每稜邊取中點後連線，然後去除各頂點的角。 以正四面體開始，截角可以得到正八面體，再截角可得 3,3,4,4 多面體。如果繼續截角，當步驟趨近於無限大時，會得到何種立體圖形？是球嗎？ 本研究先觀察此系列多面體的特性，以計算體積法、導出頂點之坐標來求得其極限值，但因體積變化無規律、頂點坐標有多餘解而無法直接求得結果。進而將此系列多面體投影於xy平面上，發現其具有4×2 k 邊形的投影形狀，並且上下左右對稱。故將此投影形狀坐標化後，可求出各點之坐標，代入二次曲線一般式中，得拋物線，即極限之形狀並不是球。