數學科

夜市裡丟乒乓球的遊戲是一個廣受大家喜愛的遊戲，我們喜歡玩這個遊戲，玩了很多次，卻都得不到好的成績，為了想提升命中率，所以有了本研究的初步想法。起初，由於丟乒乓球有很多不確定的因素，不知該從哪裡下手研究，正巧，最近數學課上到了「機率」的單元，便突發奇想，利用機率的概念來做實驗。本實驗主要在探討：一、乒乓球的投擲角度和投中機率的關係。二、投擲力量和投中機率的關係。三、杯口大小和投中機率的關係。四、投擲路線和投中機率的關係。五、杯子和杯子之間的距離和投中機率的關係。接下來，我們仿照實驗想出一個用手投擲的方式，希望提高整體投中的機率，並找了許多同學來試驗，試驗結果令人滿意。我們還提出一個可供參考的彈跳高度範圍，方便在不同場地利用。最後藉著機率來分析各項因素與投中機率的關係，更加深了對機率的了解。

於四十三期牛頓雜誌上的一篇[碎形幾何學之美]，引起我們極大的興趣，尤其在於牛頓法與方程式之複數根以及夢幻般美妙圖形之關係。以下便是我們的探討。

本研究從圓內接正多邊形開始，延伸多面體之規律探討，分為三部分： 一、探索：名詞解釋。 二、分析與統整： (一)圓內接正多邊形有無限多個。 (二)正多邊形組成立體角的個數為3、4、5個正三角形、3個正方形、3個正五邊形。 (三)截面後之多面體稜線、點、面有其相關規律可推導。 三、延伸 (一)依1:1邊長比例截面，5種柏拉圖立體可截出半正多面體；在3等分截面時，正四面體、正八面體、正二十面體可依1:1:1邊長比例截面，截出半正多面體，正六面體須以1:√2:1邊長比例、正十二面體須以1:1.6:1邊長比例，才能截出半正多面體。 (二)共找出7個阿基米德立體、4個類似阿基米德立體及12個均勻多面體、3組對偶多面體。

我們在網路上看到一些用GSP所繪出的內外擺現圖形，因此引發我們對這些圖形的好奇心。我們試著用GSP一些性質，例如外擺線外切多邊形面積不變、切線及法線共點等等。

本研究以多面體的「邊」為思考主軸，探討各種多邊形如何利用最短的銅線長度才能串成立體模型及是否可能一筆畫描繪完成，並實際製作多邊形模型浸入泡泡水來討泡膜形狀，研究結果發現只有六面體和正八面體可以一筆畫描繪完成，而串成各多邊形立體模型最短的銅線長度只有角錐和角柱二種立體模型具有規律性並與最少邊重複次數的路徑有關係，而且由邊長推導出N角柱(或角錐)的最短步行長度等於以奇頂點數推導出N角柱(或角錐)的最短步行長度，我們也利用歐拉定理來證明我們的最短步行長度是正確的。

某一日的國語日報上，有一道這樣的題目： 小華過生日，邀了三位好友一同慶祝。他準備了一塊正方彩的蛋糕要和好友共享，而為了滿足每個人，他決定依各人的食量，將蛋糕切為四塊 l : 2 : 3 : 4 的小蛋糕。如果小華只能切二刀，他應該如何切呢？ 由於報上只印了如下的二種圖形以示解答： 使我們不禁懷疑，如上的二解是如何求出的呢？除了這二解之外還有其他的解嗎？若要得到其他的比例，又該如何切呢？ 我們想追根究抵的將所有解答找出，而就此開始了我們的研究。

在這篇報告中我們跳脫了傳統三根柱子的窠臼，而改採四根以上的柱子來進行搬運，在這之前，繁複的步驟常令我們在操作上耗費許多時間，但是在我們增加柱子數後發現不只是搬運次數驟減，而且我們還發現了許多有趣的規律，以下是我們所得到的重點：1. 在四根以上的柱子，我們搬運過程分成三段，並可證明下列的式子F k ( n ) = 2 F k ( m ) + F k ? 1 ( n ? m ) 成立。2. 在四根以上的柱子，最佳圓片數m 值，通常有很多解，但是在某些特定的圓片數中，m 值卻只有唯一一解，而其搬運過程中，搬運的圓片編號也只有唯一的對應組合，這結論令我們非常訝異。

因要轉達消息至全班同學，而開始探討如何有效的將訊息傳達至每一位同學手中，利用圖論中樹的分析架構，轉化為實際的樹狀結構，並訂出最快的處理策略：整合+互補+傳達，找出在m個人中各自擁有一項不同的訊息，每一次對談人數為n個人，則最快讓此m個人擁有所有的訊息的次數為[m-n/n-1]+n+[m-n2/n-1]，其中m≥n2 ，並以此思維架構化簡更為精簡圖形架構模型。

數學課時，老師出了一道有趣的問題，他在黑板上寫了一串數字「 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 」，要我們將這六個數字分別安排在一個三角形的三個頂點及三邊上，使待一邊（包含二頂點）的三個數字的和相等。於是全斑同學都在努力的拼湊，一旦發現答案，就公佈在黑板上，最後經過整理和剔除重複部分，我們得到了下面四種答案：這個問題給我們帶來了一股研究的興趣；在研究的過程中，發現了幾個問題”於是，在老師的指導下，我們對這些問題再做深入的探討，並找出答案。

根據密克定理的陳述，於一個三角形的三邊上各任取一點，則三個外接圓會交於一點，且逆定理也存在。我在確認完定理和逆定理的正確性之後，以原本定理的敘述為基礎，推廣並探討了根據該定理所能做出的相似形和圓心的軌跡，並將軌跡視為三角形的基本性質，棄續探討軌跡的交點的軌跡，最後再將密克定理和密克逆定理推廣到多邊形。