蜜蜂在分泌蜂蠟築巢時，蜜蜂利用固定量的蠟，選擇了最佳的正六邊形來圍成最大的面積。本研究藉蜂巢為六邊形的圖形延伸了問題：「若有灰色及白色的六邊形多個，利用這些六邊形堆砌成一個蜂巢，最外圍的六邊形一定要白色，若現在要利用10個灰色六邊形堆砌一個蜂巢，能相鄰的最多只能有3個灰色六邊形時，最少需要幾個白色六邊形包圍？」我們利用蓋連棟別墅的手法，將每個組合當成一個基模，在最多只有兩個基模以角或邊相對的條件下，以增加外牆的方式來組合可能的類型，找出最符合需求的蜂巢模式；本研究希望經由這邏輯化的思考及解題過程，提供一個較經濟、有效率及減少失誤的尋解策略。

從正多邊形的各種不同的等分切割中，先證明各組切割三角形的全等或相似關係，再研究其切割相似三角形間面積和比例的相關數值。接著推論同組相似三角形的面積總和，並利用無窮等比級數推算特定區域面積的相關公式。最後再利用各種等分數去推導等分數與特定切割三角形的面積和比例關係。

曾經看過這樣的題目：「給定一任意三角形，分別於三角形的三邊上各任取一點，連接這三點，形成個內接三角形。試問在什麼條件下，此內接三角形的周長發生最小值？」當然這個問題已經有了答案，然而這問題不禁使我想到，如果改變命題，將「內接三角形」改成「內接正三角形」，那麼又會是什麼情況呢？

這是一個強調「做中學」、「做數學」及「察覺規律」的研究課題。本研究首先是由生活中獲得研究動機，然後藉以設計出的兩個操作實驗，希望知道在不同條件下，從硬幣堆中最快找出劣幣的方法與公式。 我們用最笨的方法：兩個實驗都要從硬幣個數 n＝1開始進行，再逐次加1，並操作各種可能的狀況。過程中，我們透過討論，逐漸修改操作的技巧，知道如何分堆較省時；如何記錄較便捷。在累積一定的經驗後，我們獲得了一些關鍵的數據與規律，如：等比數列、臨界點、「最少次數」以及「快速獲得臨界點的方法」...等等。最後藉由這些關鍵的數據與規律，歸納出公式，再透過「數學歸納法」加以證明成功。 獲得及證明的公式如下： 1. n枚硬幣中有一枚劣幣，已知劣幣較輕。當 n＝ 3k 時，利用天平，最少須量測k次，才可以找出劣品。 2. n枚硬幣中有一枚劣幣，另提供足夠數量的完好備品。利用天平量測，當 n＝ (3k - 1)/2 時，最少須量測k次可找出劣幣，並知其輕重。

在日常生活或做題目中，常用到數字的運算，而這些數字均是以十進位法來表示，因此不禁產生了疑問？十進位法是「數」的唯一表示法嗎？我們是不是能用其他型式來表示「數」呢？

有一次上數學課，老師告訴我們：「費馬最後猜想已經在最近一、兩年來獲得圓滿的解決：無解。」它引發了我的興趣。我想：若換個形式，是不是有解，或是出現其他情況？這個構想，使我展開了一連串的研究路程。

運用四心及平行、圓等幾何性質探討任意四邊形生成之四心(內心、外心、重心、垂心)四邊形的性質，發現任意四邊形所生成之外心四邊形、重心四邊形、垂心四邊形均為相似的平行四邊形。更進一步利用平行線性質及AA相似性質等說明迭代生成之重心四邊形、外心四邊形、垂心四邊形其四邊形An Bn Cn Dn與四邊形An+2 Bn+2 Cn+2 Dn+2相似，而內心四邊形An Bn Cn Dn會收斂漸成正方形。同時證明出任意四邊形A1 B1 C1 D1重心G與對角線交點E的中點正好是重心四邊形收斂點，圓內接四邊形A1 B1 C1 D1其外接圓圓心O與對角線交點E的中點正好是其外心四邊形收斂點，而內心四邊形與垂心四邊形沒有類似的結果。

本研究試圖在河內塔的規則改變與最少步數中找出變動的關係式，移動規則和原本的河內塔一樣，不同的是我們在河內塔各層中增加許多顏色，移動過程中只有大小順序要遵守河內塔規則，各層的顏色順序則無特別限制，從單色推及雙色、三色和色，推出最少步數以及相關公式，顏色上下相反(f(x))和顏色不變(g(x))的最少步數仍是一個由使用色數(k)與層數(n)組成的函數關係式，進而研究每一層的顏色順序是否有無法移動的限制。 本研究從研究結果觀察規律，歸納出移動的固定模式，並拆解其過程，進而推導出一般式，也藉由過程的拆解，推導出所有挑戰解的可能性。

「史坦納樹 Steiner Trees」為尋找已知圖形最短路徑和的問題，對於路徑最短要求，即我們所要的『最佳化』。舉個例子，在城鎮規劃，無論造橋或馬路或捷運。系統能以最短距離連接各個鄉鎮，就能大量節省經費及通往的時間。另外，在一個電路板或 IC 晶片CPU 上，有許多電晶體或邏輯閘需用許多線路連接，如果將這些電晶體以一種規則排列，讓所連接的線路總和最短，這樣不僅能節省線路材料的成本，且能降低電阻所浪費的電能，也可提高電路板在執行工作的效率。本研究對史坦納樹的各種規律和性質作進一步的探討。

我們在網路上看到一些用GSP所繪出的內外擺現圖形，因此引發我們對這些圖形的好奇心。我們試著用GSP一些性質，例如外擺線外切多邊形面積不變、切線及法線共點等等。