數學科

在尋找滿足條件：『將自然數的個位數字移動至最前面，其他位數向後推移一位，所得的因數為原數的２倍的自然數』的過程中，發現求出的解的形式與循環小數的循環部分有對應的關係，（例如：105263157894736842將個位數字移至最前位，其他位數字向後推一位，得新數210526315789473684恰為105263157894736842的２倍，而2/19=0.105263157894736842，發現他與2/19的循環小數部份相同）。本篇文章討論的主題除了『移一位後，新數為原數κ倍』外，延伸至『移a位後，新數為原數κ倍』的部份，並發現他的結果與循環小數的循環部分有相同的排列方式。

二十九屆科展，我們得了很好的成績後，學校送我們很多書，有幾本是數學遊戲的書，我很感興趣，也常常拿出來研究，其中「趣味數學問題集」第二八八條「如何贏」是讓我又怕又愛的題目：「在圖的八個方格中，於 4，6，8 中放入三個棋子，甲、乙兩人輪流將棋子往左移，如果需要的話可以跳過一個或兩個棋子，但不得連跳，將最後一個棋子放入1格就贏了。甲總是贏得比賽，你是否能找出如何移動？」我和許多同學下過，但一直找不到必定贏的方法，而書後又沒有解答，只好去請老師幫忙，在老師的指導和同學的共同研究下，有了下面的結果。

本研究主要是探討蟻獅巢穴的數學秘密，經觀察蟻獅建造巢穴的目的有二：(1)做『圓錐巢穴』是為捕食、(2)建造『圓形蛹室』是為成長蛻變。我們計算了十個樣本，發現蟻獅所築圓錐巢穴之坡度大約介於49°~63°之間，利用勾股定理a2+b2=c2算出巢穴斜邊長在1.25～4.85cm間，另外不同大小體長蟻獅建造出來的巢穴底圓半徑、深度、體積與圓錐體曲面面積，相關係數分別是0.62、0.4、0.53、0.56，證實上述項目彼此間有顯著線性相關，而有利於蟻獅捕捉到獵物。在球體蛹室半徑、體積、蛹室的面積等與體長間，相關係數是0.99、0.88、0.95，且有高度線性相關，代表蟻獅幼蟲可以在蛹室內安全無慮下蛻變成長。

本研究的實驗目的是針對夜市常見射飛鏢遊戲，自製簡易模型探討大獎出現機率，作為提醒小朋友勿亂花用零用錢的最佳例證。除了按照飛鏢盤正常數字排列外，我們還試著製作出以順時針方向排列數字的飛鏢盤，以及用不同半徑畫圓，探討圓的大小是否會影響數字總和發生的機率？實際操作後，發現數字以順時針方向固定排列時，出現大獎機率較高，所以市面上常見飛鏢盤上的數字排列有其一定道理。而不同大小的圓，從實驗的結果觀察，似乎不會影響發生的機率，故較大的圓目的在提升命中率。透過實驗的數據，讓小朋友了解到中大獎的機率非常的小，所以應該把錢花在有意義的事上，勿做無謂的浪費。

在二年的研究過程中，我們增加了河內塔的棒子數，並在自製的道具中，實驗記錄了移動次數的數據，實驗時為了避免移動次數有錯誤，研發用編號與顏色來區分盤子。在從實驗數據中，設計出”跳數點”，”倒三角圖”來計算最少移動次數，並歸納出推算次數的方法，但面對棒子數、盤子數過大時，仍需在數字的處理上費些功夫。直到學校課程學到了二次函數，於是我們導出了用多項函數關係來呈現不同”跳數點”的移動次數之公式，再用這些公式去驗證我們初期的實驗數據與延伸”倒三角圖”的結構，因此透過這些函數圖，我們對最少移動次數有更明確的解析與結論。

每次做異分母分數的比較大小，為了求各分母的最小公倍數，又是乘，又是除，忙得不可開交，當時心裡就一直在嘀咕著：「如果有方法，只做簡單的計算，或者是一眼就能看出各個分數的大小，那該多棒呀！」 於是，就把這個心裡的想法，提出來請教老師，老師笑說：「你提出的問題很新鮮，也很有創意，照道理說，應該有比較方便的方法可以做分數的比較大小，不過也要看看使用的時機啊！問題既然提出了，那麼我們就用它來當做研究的主題吧！」於是……

為了贏得賽車比賽我們進行了此次的研究，我們得到一些向量運算的規則，並學會必需對每個賽道先拆成幾個小段分析賽道的特性，再利用其特性決定採取的策略。我們的推論並證明：能夠搶到有利的出發點、先加速彎進並進入最靠近轉彎點轉彎、以及在最後加速時搶到有利加速賽徑的人就能贏得比賽。賽道的轉彎處夾角越大時可以用越大速度過彎，大小由賽道可容許的剎車寬度決定，而夾角越小則轉彎的速度也應越小。我們利用歸納推論出的加速決策：1＋2＋…＋(n-1)＋n＋(n-1)＋…＋2＋1＝n×n 算出賽車時每個局部路線水平及垂直的最大速度，可以避免剎車不及亦可計算需走的步數，再依據剩下的格子數依路線的特性稍微調整，就可以跑出理想中最快的路線。

本研究以台北市的12個行政區分層抽樣，並以各區人口數為比例隨機抽樣，共發出1260份問卷，有效問卷共1244份，有網購經驗為626份，無網購經驗為618份。研究結果，62.28%的網購族在Yahoo!奇摩購物網站購物，50.96%購物經歷在一年以上未滿三年。網購的主要原因是購物方便且可在任何時間購物，且絕的商品價格比傳統通路便宜，而最希望的付款方式到貨付費。影響顧客忠誠度的因素中，網路商品環境、網路商店服務機制及網路商店的成本價值均為中度相關。針對從未上網購物的受訪者，其不願意嘗試上網購物的主要原因第一為網路商店的信任度不夠，第二則是擔心信用卡傳輸的安全性，第三則是不能接觸實際商品。

正多面體有五種，而阿基米德多面體有 21 種之多，其中有些阿基米德多面體可以由正多面體切除「角」而產生；亦即把正多面體的每稜邊取中點後連線，然後去除各頂點的角。 以正四面體開始，截角可以得到正八面體，再截角可得 3,3,4,4 多面體。如果繼續截角，當步驟趨近於無限大時，會得到何種立體圖形？是球嗎？ 本研究先觀察此系列多面體的特性，以計算體積法、導出頂點之坐標來求得其極限值，但因體積變化無規律、頂點坐標有多餘解而無法直接求得結果。進而將此系列多面體投影於xy平面上，發現其具有4×2 k 邊形的投影形狀，並且上下左右對稱。故將此投影形狀坐標化後，可求出各點之坐標，代入二次曲線一般式中，得拋物線，即極限之形狀並不是球。

進行這個研究，是為了找出一個簡單的數學公式，來計算各類正方形釘板上，可以圍出的最多正方形個數，在研究過程中，以格點表代替正方形釘板，描繪出長寬各有2 點～長寬各有10 點（以下簡稱2x2～10x10）的格點表內，所能圍出的所有正方形個數，再研究各種規格格點表內，各類正方形間的關係，從而推論出最後的計算公式：nxn釘板上可圍正方形總數＝1/12(n2-1)n2。雖然最後得到的結果，以我們小學生所學的知識無法推理出來，但是很感謝老師的從旁協助指導，並提供我們重要的平方和與立方和公式，才能有這樣簡便的計算方法，以後，就算是1000x1000的釘板，也不需要動手去圍，就能算出正確的正方形總數。