數學科

一、本研究先證出：(一)、n邊形的費馬點即本文所稱n孔系統的平衡中心。(二)、n邊形(3n?)的費馬點唯一。二、利用GSP軟體，以物理方法我們研究出「回復路徑逼近法」，利用此法可求得任意多邊形的費馬點。三、以數學方法導出2n=的真正回復路徑方程式，接著證出等距線與回復路徑所在的方程式，其圖形為共焦點的橢圓與雙曲線，並形成「正交曲線」。四、對於n3?，我們猜測等距線α與回復路徑β為「正交曲線」，並以「等距線逼近法」作出的圖形驗證得證之。五、因此，理論上要求得n孔系統的回復路徑方程式，只要先寫出等距線方程式，並利用其為「正交」關係即可得。最後，只要作出兩條回復路徑之圖形，由其交點可得此n邊形的費馬點。

在平面上有一種極小原理：已知平面上一直線與相異二定點 A、B，則可在 L 找出一點 P 使 PA + PB 為最小，方法如下：(一)A、 B 在 L 之同側時，求出 A 關於 L 的對稱點 A', ，或 B 關於L的對稱點B' ，連接 A'B 或 AB’與 L 的交點即為所求之 P。(二)A、B 在 L 之反側時，AB與 L 的交點即為所求之 P。現在我們 推廣到空間中，對於空間中一直紗 L 與二定點 A、B 如何在 L 上找一點 P ，使 PA + PB 為最小。

曾經看過這樣的題目：「給定一任意三角形，分別於三角形的三邊上各任取一點，連接這三點，形成個內接三角形。試問在什麼條件下，此內接三角形的周長發生最小值？」當然這個問題已經有了答案，然而這問題不禁使我想到，如果改變命題，將「內接三角形」改成「內接正三角形」，那麼又會是什麼情況呢？

本研究目在探討立體書中三角立基各種角度與高度的關係。結構角及黏貼角的組合會影響到站立角及站立高度，並進一步影響到基盤開合之間時三角立基頂點的移動角度及移動高度。一般立體書中最常見的設計為「結構角≦90°及黏貼角＞90°」，本研究計算移動高度的結果建議，製作立體書的三角立基結構角要≦90°，而且結構角越趨近90°，黏貼角也趨近90°(≠90°)時具有最大「POP-UP」的跳高效果。在製作立體書中的三角立基時，如果已決定結構角與黏貼角時，可以對照圖5-4-2找到書本合起來時的頂點高度，就能計算出基背最大容許長度=10/頂點高度×(書本寬度X)。

延續 彰化縣第52屆科展優等作品「走完一圈有多遠-探討1x1x1之正立方體面上一點出發走遍6面回到原出發點的最短路徑」除了找到該報告的缺漏外，更進一步地討論在1x1xn之長方體面上一點出發的情形。我們利用 三角不等式、畢氏定理、二次函數等概念得到 1.從1x1xn長方體頂點出發，走遍六面回到原點的最短路徑長為 √2(n+2), 0≤n≤2 2√n2+4, n>2 2.從1x1xn之長方體上1x1面上中心點出發走遍六面回到原點的最短路徑長為 √32+(2n+1)2, n≥1 √2(n+2), n≤1 3.從1x1xn之長方體上1xn面上中心點出發走遍六面回到原點的最短路徑長為 √(2n+2)2+22, 0

本研究以台北市的12個行政區分層抽樣，並以各區人口數為比例隨機抽樣，共發出1260份問卷，有效問卷共1244份，有網購經驗為626份，無網購經驗為618份。研究結果，62.28%的網購族在Yahoo!奇摩購物網站購物，50.96%購物經歷在一年以上未滿三年。網購的主要原因是購物方便且可在任何時間購物，且絕的商品價格比傳統通路便宜，而最希望的付款方式到貨付費。影響顧客忠誠度的因素中，網路商品環境、網路商店服務機制及網路商店的成本價值均為中度相關。針對從未上網購物的受訪者，其不願意嘗試上網購物的主要原因第一為網路商店的信任度不夠，第二則是擔心信用卡傳輸的安全性，第三則是不能接觸實際商品。

為了贏得賽車比賽我們進行了此次的研究，我們得到一些向量運算的規則，並學會必需對每個賽道先拆成幾個小段分析賽道的特性，再利用其特性決定採取的策略。我們的推論並證明：能夠搶到有利的出發點、先加速彎進並進入最靠近轉彎點轉彎、以及在最後加速時搶到有利加速賽徑的人就能贏得比賽。賽道的轉彎處夾角越大時可以用越大速度過彎，大小由賽道可容許的剎車寬度決定，而夾角越小則轉彎的速度也應越小。我們利用歸納推論出的加速決策：1＋2＋…＋(n-1)＋n＋(n-1)＋…＋2＋1＝n×n 算出賽車時每個局部路線水平及垂直的最大速度，可以避免剎車不及亦可計算需走的步數，再依據剩下的格子數依路線的特性稍微調整，就可以跑出理想中最快的路線。

在二年的研究過程中，我們增加了河內塔的棒子數，並在自製的道具中，實驗記錄了移動次數的數據，實驗時為了避免移動次數有錯誤，研發用編號與顏色來區分盤子。在從實驗數據中，設計出”跳數點”，”倒三角圖”來計算最少移動次數，並歸納出推算次數的方法，但面對棒子數、盤子數過大時，仍需在數字的處理上費些功夫。直到學校課程學到了二次函數，於是我們導出了用多項函數關係來呈現不同”跳數點”的移動次數之公式，再用這些公式去驗證我們初期的實驗數據與延伸”倒三角圖”的結構，因此透過這些函數圖，我們對最少移動次數有更明確的解析與結論。

本研究的實驗目的是針對夜市常見射飛鏢遊戲，自製簡易模型探討大獎出現機率，作為提醒小朋友勿亂花用零用錢的最佳例證。除了按照飛鏢盤正常數字排列外，我們還試著製作出以順時針方向排列數字的飛鏢盤，以及用不同半徑畫圓，探討圓的大小是否會影響數字總和發生的機率？實際操作後，發現數字以順時針方向固定排列時，出現大獎機率較高，所以市面上常見飛鏢盤上的數字排列有其一定道理。而不同大小的圓，從實驗的結果觀察，似乎不會影響發生的機率，故較大的圓目的在提升命中率。透過實驗的數據，讓小朋友了解到中大獎的機率非常的小，所以應該把錢花在有意義的事上，勿做無謂的浪費。

在數學傳播第一卷第一期有一題是： 對於下列圖形A至B作「筆畫的走法」即每一弧線恰走過一次有幾種走法？ Ans : (3!)n•2n-1 但如將AB合為一點成一項鏈狀時，走法數又如何？