數學科

本研究試圖在河內塔的規則改變與最少步數中找出變動的關係式，移動規則和原本的河內塔一樣，不同的是我們在河內塔各層中增加許多顏色，移動過程中只有大小順序要遵守河內塔規則，各層的顏色順序則無特別限制，從單色推及雙色、三色和色，推出最少步數以及相關公式，顏色上下相反(f(x))和顏色不變(g(x))的最少步數仍是一個由使用色數(k)與層數(n)組成的函數關係式，進而研究每一層的顏色順序是否有無法移動的限制。 本研究從研究結果觀察規律，歸納出移動的固定模式，並拆解其過程，進而推導出一般式，也藉由過程的拆解，推導出所有挑戰解的可能性。

這次的評審由五位教授組成，其方式為：先各組（高中組、國中組、高小組、初小組）代表作品共59件，分給各評審委員審查。在24日當天，分兩組；一組審查高小組與高中組，另一組審查初小組與國中組，我們分別與參加學生當面接促，探討他們的研究動機、數學結構、研究過程、其完整性等，如有問題時，我們仍給予指導，並多給予鼓勵。 這次的作品中，其成績比往年進步很多是可喜可賀的現象。有不少作品中，甚有創意，有系統化的探討，證明的完整，並有獨特的觀點與思考，有些自己設計電腦程式，利用電腦還引證成果的準確性。道具上與版面的製作甚精美，有聲有色，是一次成功的科學展覽。

本研究欲以一般性的推導手法，導出可廣用的弧邊面積求值公式。

起初學習三角函數課程時，為求實際的應用而尋找相關的試題來作研討，在各項資料中最吸引我們注意的即是TRML-2002思考賽的試題，其中提及一圖形繞另一圖形造成的面積與軌跡一連串的想法，間接引發對正多邊形邊長、邊數與轉動關係探討之興趣，結合幾何與代數兩層面思考的運用，因此將題目推廣至一般性的探討與歸納。

透過遊戲能引起學生學習數學的興趣，而這些有趣的問題可以加深學生對數學的理解能力；「如何平分 8 公升的水？」的倒水遊戲題目，就是利用兩個數通過許多次加法和減法以後看看是否能得到所要的結果。

某一次在YLL 數學網站看到一串數列如下： 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6, □------------□為多少?這可讓我想破頭了，最後得知□為7。我當時並不知道為什麼，但是看了解釋之後，得知數列剛開始為1,1，那第三項怎麼來?數列最後一個數為”1”，表示由數列數來第”一”個數加上數列由後數來第”一”個數，所以第三個為2，數列變為1,1,2，第四項怎麼來?數列最後一個數為”2”，表示數列第”二”個數加上由後數來第”二”個數，所以a4=1+1=2。因此有此關係： 其中 a1 =1, a2 =1。後來我去網路上，發現此數列曾經上過紐約時代雜誌科學頭版，是什麼原因能夠上美國時代雜誌科學頭版，在此不詳述。 在mathworld 網站查此數列，結果發現真的有這種數列，名稱為 Hofstadter-Conway $10,000 Sequence。

本研究的目的為嘗試找出易經的數學邏輯架構，並以現代科學方式詮釋易經的演藝邏輯過程。研究先藉由易經的古文以及相關的白話易學的書籍開始，先了解清楚易經的規則、規律，還有它的中心思想之後再以現代分析魔方陣的數學概念進行易經中關於”陰”、”陽”八掛的玄學推展。期待發現易經的推導過成數學與魔方陣的關係，希望能夠進一步的探討古代玄學和現代數學之間兩者彼此的變化。

本文是籍由國中及高中所學的數學知識，來解決一些基本的線性規劃，進而來設計並解決一套複雜的工程問題，本研究透過一些電腦程式來協助我們計算相關的數學限制式，並且成功地算出若干結果，雖然電腦計算時有時算出的結果可能是非最佳的，但是在一般圖論問題及最佳化的NP-hard問題中，都存在此種現象，也就是在電腦演算中，可能會掉落到局部最佳解的問題，未來本研究將修改部分限制式，並結合遺傳基因或神經網路演算法來強化相關的限制式，企圖調整並設計出一套新的計算方法，使新方法可以應用到更複雜的加強型線路鋪設示意圖，及更多的工程科學計算問題。

我們發現一個組合特殊的圖形，內容包括一大圓、兩正三角形及兩內切圓，其中內切圓半徑比皆呈現 2：1，基於好奇心，我們決定將此圖形推廣至正方形及正多邊形。繼而由平面轉成立體，計算其內切球半徑比，然而藉由觀察軟體繪出之立體圖截面，我們的思考模式有了重大突破：由球半徑比轉至外接等腰三角形之高比，利用此方法，成功將五種正多面體於各種相交情況下之內切球半徑比例算出。接著，我們將此性質推廣至橢圓，最後再將大圓轉換成大橢圓，但因橢圓之內接正多邊形可能有超出去的可能性，所以我們決定以正多邊形的共邊中點作為橢圓中心，利用上述方法求得內切橢圓之比例，並找出比例為 2：1 時大橢圓之長短軸比例。

本研究主要是探討蟻獅巢穴的數學秘密，經觀察蟻獅建造巢穴的目的有二：(1)做『圓錐巢穴』是為捕食、(2)建造『圓形蛹室』是為成長蛻變。我們計算了十個樣本，發現蟻獅所築圓錐巢穴之坡度大約介於49°~63°之間，利用勾股定理a2+b2=c2算出巢穴斜邊長在1.25～4.85cm間，另外不同大小體長蟻獅建造出來的巢穴底圓半徑、深度、體積與圓錐體曲面面積，相關係數分別是0.62、0.4、0.53、0.56，證實上述項目彼此間有顯著線性相關，而有利於蟻獅捕捉到獵物。在球體蛹室半徑、體積、蛹室的面積等與體長間，相關係數是0.99、0.88、0.95，且有高度線性相關，代表蟻獅幼蟲可以在蛹室內安全無慮下蛻變成長。