數學科

網絡儀( Spirograph )(如相片)的構造是使一小圓在一大圓內部，靠著齒輪囓合，沿著圓周滾動（如圖二）在小圓上（（非僅圓周）一點開個小洞，用筆揮入，就可隨著小圓的滾動而描繪出許多美麗的曲線，把玩之際，我們發現這曲線有某些特有的規則性，更有其特殊的數學意義。但一般市面上所見多僅只有一個大圓配合若干個小圓，供人畫圓玩耍而已。事實上，在爾後的討論中，我們將發現，若有足夠的大小不同的大圓與小圓（即不同齒數）供我們選擇時，則網絡儀可發揮極大的作圖功用，在數學上實具有其不可忽視的價值。

透過遊戲能引起學生學習數學的興趣，而這些有趣的問題可以加深學生對數學的理解能力；「如何平分 8 公升的水？」的倒水遊戲題目，就是利用兩個數通過許多次加法和減法以後看看是否能得到所要的結果。

本研究欲以一般性的推導手法，導出可廣用的弧邊面積求值公式。

上數學課時，突然聽見擴音器傳來全校老師請到辦公室開會的聲音，只見老師放下粉筆匆匆往外走去，突然問，又不放心的回頭隨手在黑板寫上□÷2.17=1.5…0.28 ，求 □ =？這個題目，十分鐘後，老師回來並檢討這個題目。 經由大家討論，我們一致同意□ =3.535 這個答案，下課後，我發現經過驗算所得的答案好像怪怪的，一連算了幾次都是一樣的結果，我就將題目拿去請教老師，看看到底那裡出了問題，老師也很訝異，並建議大家一起探討研究，經過二個多月的努力，皇天不負苦心人，我們終於有了重大的發現。

有一次上數學課，老師告訴我們：「費馬最後猜想已經在最近一、兩年來獲得圓滿的解決：無解。」它引發了我的興趣。我想：若換個形式，是不是有解，或是出現其他情況？這個構想，使我展開了一連串的研究路程。

起初學習三角函數課程時，為求實際的應用而尋找相關的試題來作研討，在各項資料中最吸引我們注意的即是TRML-2002思考賽的試題，其中提及一圖形繞另一圖形造成的面積與軌跡一連串的想法，間接引發對正多邊形邊長、邊數與轉動關係探討之興趣，結合幾何與代數兩層面思考的運用，因此將題目推廣至一般性的探討與歸納。

本文動機來自新聞報導美伊戰爭的消息，美軍從航空母艦發射巡弋飛彈轟炸情報地點；由於飛彈昂貴，情報地點範圍遼闊，若將飛彈落點視為圓心，爆炸範圍為單位圓，轟炸範圍欲覆蓋面積，最少應發射幾顆飛彈才能完全轟炸？引起我們極大的好奇心去探討『最少需要幾個單位圓才能完全覆蓋半徑為ｎ單位的圓？』 研究中利用學過的幾何概念，分成有邊界及無邊界限制兩方向討論。經探討後，發現：在正三、四、五邊形時，有邊界限制的覆蓋方式所需的單位圓數較少，且其數量公式分為、n2、還有(n為偶數)及(n為奇數)。 另外，無邊界限制的情形下(利用正六邊形切割平面再覆蓋)，覆蓋大圓所需單位圓的數量不但有規律且為最少。應用此規律性設計電腦程式輔助，不但能快速且正確計算覆蓋圓所需數量及最大覆蓋半徑，並能將此結果應用在「6邊以上正多邊形的覆蓋」，還有日常生活中的園藝灑水、山中救難和尋找黑盒子..等。本文在全市科展獲獎後，曾與當時搜救華航空難的相關學術單位討論，我們的研究結果是否真的有所助益?答案是肯定的(相關存證文件詳見附錄)。

在數學傳播第一卷第一期有一題是： 對於下列圖形A至B作「筆畫的走法」即每一弧線恰走過一次有幾種走法？ Ans : (3!)n•2n-1 但如將AB合為一點成一項鏈狀時，走法數又如何？

逆光飛行意謂著光線的反射，由於光線在穿過透明板時會產生反射或穿越，倘若只有一層透明板時，光線穿過透明板只有一種方式，但如果將透明板的數目增加到三層或四層時，光線就有可能反射0次、2次、4次…或2n次(n∈N)後穿越所有的透明板。同樣數目的透明板，假如固定反射次數時，穿越所有的透明板的方法數會有幾種？它們之間的關聯性即為我們想要探討的主題。

本研究目在探討立體書中三角立基各種角度與高度的關係。結構角及黏貼角的組合會影響到站立角及站立高度，並進一步影響到基盤開合之間時三角立基頂點的移動角度及移動高度。一般立體書中最常見的設計為「結構角≦90°及黏貼角＞90°」，本研究計算移動高度的結果建議，製作立體書的三角立基結構角要≦90°，而且結構角越趨近90°，黏貼角也趨近90°(≠90°)時具有最大「POP-UP」的跳高效果。在製作立體書中的三角立基時，如果已決定結構角與黏貼角時，可以對照圖5-4-2找到書本合起來時的頂點高度，就能計算出基背最大容許長度=10/頂點高度×(書本寬度X)。