數學科

本研究探討將一多邊形的邊長等分，以等分點至對角做切割線，形成的內多邊形面積為原多邊形面積的幾分之幾，研究過程中利用「擴大法」、「切割法」、「假設法」來解決問題，並歸納提出解題的計算式。

因為數學課中了解數學有許多規律，又加上玩了許多移位遊戲，因此試著「改變遊戲條件」，我們自創「河內塔」，其規則為：1.每次只移動一個圓盤；2.小圓盤必須在大圓盤之上；3.移動次數愈少愈好；4.移動方式有鄰位移位及隔位移位兩種方式。經過多次試驗，分出兩種策略「前B後D」和「前D後B」，另發現步數變化與「盤子數」、「分堆方式」、「移位策略」有關聯性。盤數越多，步數越多；且將圓盤分成3堆，但奇偶數盤有不同的分法；「前B後D」使用於4到9盤，而「前D後B」運用在10~15盤；大小圓盤抵達終點的步數會劇增。

1.本研究採用解析幾何方法發現，由正n邊形的特殊切割，發現了新正n邊形面積或與原正n邊形的面積比值都與切掉的小等腰三角形腰長或小正n邊形邊長具有特殊的二次函數的關係，亦即ωn[(r+x)2-(r+x)]+λn，其中ωn=nsinθ/2、λn=n/4 cot(θn/(n-2))，θn=(n-2)π/n ；也因此，當切掉的小正n邊形的邊長在一定的長度時，可得出最小第二層正n邊形，且此時所切掉的小正n邊形是最大的。 2.承1，繼續特殊切割，並重複這些動作往內部一直畫出越來越小的正n邊形，當層數夠多時，這樣的作圖最終會收斂成中間一點。最終取出每一層正n邊形對應的頂點，則頂點軌跡可生成等角螺線，經證明得其總弧長及所掃面積分別與最外層正n邊形邊長及 面積具一定關係存在。

蜜蜂在分泌蜂蠟築巢時，蜜蜂利用固定量的蠟，選擇了最佳的正六邊形來圍成最大的面積。本研究藉蜂巢為六邊形的圖形延伸了問題：「若有灰色及白色的六邊形多個，利用這些六邊形堆砌成一個蜂巢，最外圍的六邊形一定要白色，若現在要利用10個灰色六邊形堆砌一個蜂巢，能相鄰的最多只能有3個灰色六邊形時，最少需要幾個白色六邊形包圍？」我們利用蓋連棟別墅的手法，將每個組合當成一個基模，在最多只有兩個基模以角或邊相對的條件下，以增加外牆的方式來組合可能的類型，找出最符合需求的蜂巢模式；本研究希望經由這邏輯化的思考及解題過程，提供一個較經濟、有效率及減少失誤的尋解策略。

本文利用GeoGebra進行關於拿破崙初始n邊形之研究。一開始研究拿破崙初始n邊形的性質，發現不論奇數邊或偶數邊拿破崙初始n邊形都存在著一些不變的性質 。之後，由拿破崙初始n邊形的鄰邊中點連線向外延伸、對角線以固定的規律相連兩種連線方式，分別會形成外角星及內角星。拿破崙初始n邊形會和其畫出的m階交點圖形、中點連線所圍出的圖形有因邊數奇偶而異的相似性質。拿破崙初始n邊形繪出之內n角星在不重複之前題下，同層內n角星截線段比例固定。接著我們依序研究拿破崙內角星及拿破崙外角星之共同性質，及投影幾何與拿破崙定理的關聯性，最後發現拿破崙初始n邊形為正n邊形的投影。

1.先算出所有數的和及每邊的和2.找出所有可能性3.將無法成立的刪去4.從剩餘解中找出規律5.利用規律找出速解法。

王老先生有一塊五邊形的地，他想要建一道水泥牆將該地等分成兩塊，一塊蓋鴨寮，另一塊蓋豬舍，他希望水泥牆的材料最省，這道水泥牆應如何構築？有一四邊形的湖，其四周均勻地住3人，今欲築一座橋將該湖邊的人口平分成二等分，這座橋的最經濟路徑在哪堙H這些都是我們經常會碰到的問題，我們將利用解析幾何的方法，逐步地由三角形、四邊形一直處理到n多邊形有關等分面積與周長的問題。

一、 基於一個手機遊戲的規則：將1~9填入3×3方陣中(不重複)，使四個角落的田字形內數字總和相等，這玩法引發了我們的好奇。二、 本研究主要探討能否找到一種有規律的填法，使四個角落內數字的總和相等並恰好就是最大值或最小值。我們先找出3×3中所有可能的組合，再以類似方法延伸至5×5，再更進一步推到n×n，因而有了驚喜的發現。三、 本研究主要發現有：（一）當n=4m－1時(m∈Z)，最大值、最小值的填入方法。（二）當n=4m＋1時(m∈Z)，最大值、最小值的填入方法。

這次的評審由五位教授組成，其方式為：先各組（高中組、國中組、高小組、初小組）代表作品共59件，分給各評審委員審查。在24日當天，分兩組；一組審查高小組與高中組，另一組審查初小組與國中組，我們分別與參加學生當面接促，探討他們的研究動機、數學結構、研究過程、其完整性等，如有問題時，我們仍給予指導，並多給予鼓勵。 這次的作品中，其成績比往年進步很多是可喜可賀的現象。有不少作品中，甚有創意，有系統化的探討，證明的完整，並有獨特的觀點與思考，有些自己設計電腦程式，利用電腦還引證成果的準確性。道具上與版面的製作甚精美，有聲有色，是一次成功的科學展覽。