數學科

一、本研究先證出：(一)、n邊形的費馬點即本文所稱n孔系統的平衡中心。(二)、n邊形(3n?)的費馬點唯一。二、利用GSP軟體，以物理方法我們研究出「回復路徑逼近法」，利用此法可求得任意多邊形的費馬點。三、以數學方法導出2n=的真正回復路徑方程式，接著證出等距線與回復路徑所在的方程式，其圖形為共焦點的橢圓與雙曲線，並形成「正交曲線」。四、對於n3?，我們猜測等距線α與回復路徑β為「正交曲線」，並以「等距線逼近法」作出的圖形驗證得證之。五、因此，理論上要求得n孔系統的回復路徑方程式，只要先寫出等距線方程式，並利用其為「正交」關係即可得。最後，只要作出兩條回復路徑之圖形，由其交點可得此n邊形的費馬點。

一個有 3 個旋鈕，每個位置的號碼數分別是 a、b、c 的密碼鎖，如果有兩個位置的數字正確就能打開，最少需要猜多少次才能保證打開這個鎖。我們的研究，依照鎖三個位置的號碼數分成：a＝b＝c＝n、a＝b＜c，a＝b＞c 和 a＞b＞c 四個部份。前兩部份的研究已經找到最少次數開鎖的方法 ，後兩部份則是給了一個演算法可求出開鎖次數的上界。

這次的評審由五位教授組成，其方式為：先各組（高中組、國中組、高小組、初小組）代表作品共59件，分給各評審委員審查。在24日當天，分兩組；一組審查高小組與高中組，另一組審查初小組與國中組，我們分別與參加學生當面接促，探討他們的研究動機、數學結構、研究過程、其完整性等，如有問題時，我們仍給予指導，並多給予鼓勵。 這次的作品中，其成績比往年進步很多是可喜可賀的現象。有不少作品中，甚有創意，有系統化的探討，證明的完整，並有獨特的觀點與思考，有些自己設計電腦程式，利用電腦還引證成果的準確性。道具上與版面的製作甚精美，有聲有色，是一次成功的科學展覽。

本研究試圖在河內塔的規則改變與最少步數中找出變動的關係式，移動規則和原本的河內塔一樣，不同的是我們在河內塔各層中增加許多顏色，移動過程中只有大小順序要遵守河內塔規則，各層的顏色順序則無特別限制，從單色推及雙色、三色和色，推出最少步數以及相關公式，顏色上下相反(f(x))和顏色不變(g(x))的最少步數仍是一個由使用色數(k)與層數(n)組成的函數關係式，進而研究每一層的顏色順序是否有無法移動的限制。 本研究從研究結果觀察規律，歸納出移動的固定模式，並拆解其過程，進而推導出一般式，也藉由過程的拆解，推導出所有挑戰解的可能性。

曾經看過這樣的題目：「給定一任意三角形，分別於三角形的三邊上各任取一點，連接這三點，形成個內接三角形。試問在什麼條件下，此內接三角形的周長發生最小值？」當然這個問題已經有了答案，然而這問題不禁使我想到，如果改變命題，將「內接三角形」改成「內接正三角形」，那麼又會是什麼情況呢？

本研究探討將一多邊形的邊長等分，以等分點至對角做切割線，形成的內多邊形面積為原多邊形面積的幾分之幾，研究過程中利用「擴大法」、「切割法」、「假設法」來解決問題，並歸納提出解題的計算式。

一開始，我們是先玩7×6 的棋盤，想要找出遊戲的最佳策略。在這過程中，發現了：有人已經連成三子形成一個「待贏」的連線時，等待連線的第四個空格的位置就很重要。因此我們提出了「有用空格」這個概念。而我們也利用這個概念稍為分析了勝負可能的情況。研究7×6 的棋盤一陣子後，我們猜想後手贏的機會較大，但因為7×6 的棋盤要分析的情況太多，所以我們決定先研究4×4 棋盤的最佳策略。起初先玩4 × 4 平面四連珠，但它實在太容易和棋了，所以我們就把棋盤捲起來成了4 × 4滾筒四連珠，它可以增加連線機會，研究結果也證實4 × 4 滾筒四連珠產生連線的機會比4 × 4平面四連珠大，但和棋的機率也很高。在近五千盤的研究後，我們發現在4 × 4 滾筒四連珠中，有15 種盤面在第5 步棋時就可以判斷先、後手的輸贏。利用這些資訊，我們也找出後手的最佳策略，保證必贏或必和。

1.先算出所有數的和及每邊的和2.找出所有可能性3.將無法成立的刪去4.從剩餘解中找出規律5.利用規律找出速解法。

延續 彰化縣第52屆科展優等作品「走完一圈有多遠-探討1x1x1之正立方體面上一點出發走遍6面回到原出發點的最短路徑」除了找到該報告的缺漏外，更進一步地討論在1x1xn之長方體面上一點出發的情形。我們利用 三角不等式、畢氏定理、二次函數等概念得到 1.從1x1xn長方體頂點出發，走遍六面回到原點的最短路徑長為 √2(n+2), 0≤n≤2 2√n2+4, n>2 2.從1x1xn之長方體上1x1面上中心點出發走遍六面回到原點的最短路徑長為 √32+(2n+1)2, n≥1 √2(n+2), n≤1 3.從1x1xn之長方體上1xn面上中心點出發走遍六面回到原點的最短路徑長為 √(2n+2)2+22, 0

本研究的目的為嘗試找出易經的數學邏輯架構，並以現代科學方式詮釋易經的演藝邏輯過程。研究先藉由易經的古文以及相關的白話易學的書籍開始，先了解清楚易經的規則、規律，還有它的中心思想之後再以現代分析魔方陣的數學概念進行易經中關於”陰”、”陽”八掛的玄學推展。期待發現易經的推導過成數學與魔方陣的關係，希望能夠進一步的探討古代玄學和現代數學之間兩者彼此的變化。