本研究探討將一多邊形的邊長等分，以等分點至對角做切割線，形成的內多邊形面積為原多邊形面積的幾分之幾，研究過程中利用「擴大法」、「切割法」、「假設法」來解決問題，並歸納提出解題的計算式。

在這篇報告中，我們探索了「將錯就錯的 Knuth 河內塔」問題。這個問題和原始高中課程的河內塔問題非常相似，起因於數學家 Knuth 的一次筆誤(詳細問題的定義見內文)。在這個新的規則之下，我們意外發現有深刻的數學內涵及令人意外的數學連結：與電腦演算法、正整數的分割、數列的同餘、分子分母皆為費波那契數的真分數之排序都有密切的關係。我們做出了以下結果(分別為內文中的三大段)：(一) 結構分析。移動環所需要的次數，如何移動環並分析每一次動作所動的環，及每個環何時被動到並給出演算法。(二)正整數的分割。所有的移動步驟將將正整數做了一個新的分割(Partition)；此分割模 k 之後有良好的循環性質。(三)費波那契真分數的排序。這個正整數的分割形成一張表，這張表恰好就是分子分母皆為費波那契數的真分數之排序。

一、數學四組的作品與歷年相較，有很高的水率。 二、參與科展的學生都很投入，相對的評審都很認真，而且評審的意見相當一效，可惜初小和高中都有遺珠之憾。 三、國中、高中組都有從國際科展轉來的作品，表示國際科展已得到師生充分的注意，但是在高中組合作的研究品質，平均而言，還是比單打獨門者為高。 四、連續兩年以上參加全國科展者，本年見國小一位、國中一位、相當難得。在科展發源地美國，其全國展就叫國際科展非常強調這種科展明星。在我國，有人提議不把外國隊列入比賽，我們是以增加科展名額來因應，因為每年的研究作品還是不同，鼓勵參展就是鼓勵研究，未得獎的師生應抱著參展就是成就的心情來參加。 五、國中、高中學生明顯地都是自己進行研究。高小組明顯地分成兩類，一種是以學生研究為主，指導教師只是從旁協助，一種則是教師教導為主，學生參與活動學習，初小組因年紀甚小，有的是天才早熱、有的作品則較接近教室活動的紀錄，有些則成人灌輸的成份太多。一個比較具有指標性的作品是四年前賴緯綸小朋友的四數兩兩取差遞這過程的研究。至於把數學當成自然問題來考察比較少了。我們要強調數學思考與自然科學思考的差異性。

一開始，我們是先玩7×6 的棋盤，想要找出遊戲的最佳策略。在這過程中，發現了：有人已經連成三子形成一個「待贏」的連線時，等待連線的第四個空格的位置就很重要。因此我們提出了「有用空格」這個概念。而我們也利用這個概念稍為分析了勝負可能的情況。研究7×6 的棋盤一陣子後，我們猜想後手贏的機會較大，但因為7×6 的棋盤要分析的情況太多，所以我們決定先研究4×4 棋盤的最佳策略。起初先玩4 × 4 平面四連珠，但它實在太容易和棋了，所以我們就把棋盤捲起來成了4 × 4滾筒四連珠，它可以增加連線機會，研究結果也證實4 × 4 滾筒四連珠產生連線的機會比4 × 4平面四連珠大，但和棋的機率也很高。在近五千盤的研究後，我們發現在4 × 4 滾筒四連珠中，有15 種盤面在第5 步棋時就可以判斷先、後手的輸贏。利用這些資訊，我們也找出後手的最佳策略，保證必贏或必和。

為此長久以來的困惑未釋，也基於作者對數學那股狂熱的執著，故願竭其所能全力以赴，未達目的決無反顧，終至引進漸近分數的理論，進而發現「漸近多邊形，以為有效的解決工具；再經引申與推廣，益覺漸近多邊形為一令人欣慰的結果。

圓周上相異n個點，將圓周分割成n段弧，每次每個點沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之中點，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？我們發現，m的最小值為n+2。更進一步發現，m的充要條件為m≧n+2且m≠kn-1, kn, kn+1，其中k為正奇數。接著，我們將問題一般化，圓周上相異n個點，沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之p:q處，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？同時，我們也針對n個點具特殊初始位置座標來研究其回歸性質。

本研究目的旨在分析翻轉卡片、正立方體翻轉盒及三角形翻轉盒，並進一步設計出展開圖，應用電腦軟體切割照片貼在展開圖上，列印後再組裝成翻轉卡片或翻轉盒，可透過翻轉動作一直變換不同照片，成為展示照片的有趣商品。結果發現，翻轉卡片可展示四面照片，本研究設計出A4尺寸正反面的展開圖；而正立方體翻轉盒由8個方塊組合而成，連接線位置不同共產生8種翻轉類型，其中以「型2-1-1」可出現六面為最多，而且操作翻轉易回第一面，以座標位移、旋轉方位及動用到的連接線三種方式證明「型2-1-1」類型可以回到第一面；此外，也分析單一正立方體的11種展開圖及三角柱的23種展開圖，挑選出適合的展開圖，設計出正立方體翻轉盒及三角形翻轉盒的平面展開圖。

1.先算出所有數的和及每邊的和2.找出所有可能性3.將無法成立的刪去4.從剩餘解中找出規律5.利用規律找出速解法。

在國中數學第五冊中，提到了一些平面幾何作圖，並證明。我們不知道這些作圖法是如何經過一些思維推理的程序而得到的。今欲就此方面作一番探討。

某一次在YLL 數學網站看到一串數列如下： 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6, □------------□為多少?這可讓我想破頭了，最後得知□為7。我當時並不知道為什麼，但是看了解釋之後，得知數列剛開始為1,1，那第三項怎麼來?數列最後一個數為”1”，表示由數列數來第”一”個數加上數列由後數來第”一”個數，所以第三個為2，數列變為1,1,2，第四項怎麼來?數列最後一個數為”2”，表示數列第”二”個數加上由後數來第”二”個數，所以a4=1+1=2。因此有此關係： 其中 a1 =1, a2 =1。後來我去網路上，發現此數列曾經上過紐約時代雜誌科學頭版，是什麼原因能夠上美國時代雜誌科學頭版，在此不詳述。 在mathworld 網站查此數列，結果發現真的有這種數列，名稱為 Hofstadter-Conway $10,000 Sequence。