數學科

在這個研究中，我們討論如何使用一個僅能秤出輕、重、等於的天平，來秤出假幣的問題。首先，我們研究了「在 n 枚硬幣中，有一枚假幣，不知道輕重，用最少次數秤出來，並判別輕重」這個問題，我們給出了最小次數，並且證明了。之後更進一步的討論如何在 n 枚硬幣中找出兩枚假幣(兩枚同重)，提出了「三臂天平」這個概念，順利地解決了這個問題。最後，我們研究了如何在 n 枚硬幣中找出 k 枚假幣，並給出一個秤量的方法。

本文是籍由國中及高中所學的數學知識，來解決一些基本的線性規劃，進而來設計並解決一套複雜的工程問題，本研究透過一些電腦程式來協助我們計算相關的數學限制式，並且成功地算出若干結果，雖然電腦計算時有時算出的結果可能是非最佳的，但是在一般圖論問題及最佳化的NP-hard問題中，都存在此種現象，也就是在電腦演算中，可能會掉落到局部最佳解的問題，未來本研究將修改部分限制式，並結合遺傳基因或神經網路演算法來強化相關的限制式，企圖調整並設計出一套新的計算方法，使新方法可以應用到更複雜的加強型線路鋪設示意圖，及更多的工程科學計算問題。

因為數學課中了解數學有許多規律，又加上玩了許多移位遊戲，因此試著「改變遊戲條件」，我們自創「河內塔」，其規則為：1.每次只移動一個圓盤；2.小圓盤必須在大圓盤之上；3.移動次數愈少愈好；4.移動方式有鄰位移位及隔位移位兩種方式。經過多次試驗，分出兩種策略「前B後D」和「前D後B」，另發現步數變化與「盤子數」、「分堆方式」、「移位策略」有關聯性。盤數越多，步數越多；且將圓盤分成3堆，但奇偶數盤有不同的分法；「前B後D」使用於4到9盤，而「前D後B」運用在10~15盤；大小圓盤抵達終點的步數會劇增。

在平面上有一種極小原理：已知平面上一直線與相異二定點 A、B，則可在 L 找出一點 P 使 PA + PB 為最小，方法如下：(一)A、 B 在 L 之同側時，求出 A 關於 L 的對稱點 A', ，或 B 關於L的對稱點B' ，連接 A'B 或 AB’與 L 的交點即為所求之 P。(二)A、B 在 L 之反側時，AB與 L 的交點即為所求之 P。現在我們 推廣到空間中，對於空間中一直紗 L 與二定點 A、B 如何在 L 上找一點 P ，使 PA + PB 為最小。

我們發現一個組合特殊的圖形，內容包括一大圓、兩正三角形及兩內切圓，其中內切圓半徑比皆呈現 2：1，基於好奇心，我們決定將此圖形推廣至正方形及正多邊形。繼而由平面轉成立體，計算其內切球半徑比，然而藉由觀察軟體繪出之立體圖截面，我們的思考模式有了重大突破：由球半徑比轉至外接等腰三角形之高比，利用此方法，成功將五種正多面體於各種相交情況下之內切球半徑比例算出。接著，我們將此性質推廣至橢圓，最後再將大圓轉換成大橢圓，但因橢圓之內接正多邊形可能有超出去的可能性，所以我們決定以正多邊形的共邊中點作為橢圓中心，利用上述方法求得內切橢圓之比例，並找出比例為 2：1 時大橢圓之長短軸比例。

西洋棋盤上，騎士所能走的漢彌爾頓路徑( Hamiltonian Path )一直是數學遊戲的豐富題材，本次研究將要探討一個關於騎士由給定起點P 經n × n 棋盤到達給定終點Q 之漢彌爾頓路徑( Hamiltonian Path )是否存在的問題，其中起點P 與終點Q 為n × n 棋盤外圍緊鄰棋盤的兩個相異棋格，且棋盤上第i 行第j 列所在的棋格顏色塗法為：若i + j 為偶數，則塗成黑色；若i + j 為奇數，則塗成白色。研究結果顯示，並非任意以n × n棋盤外圍的兩個相異棋格為起點與終點，就可以得到所求的路徑。解的情況如下：一、當n = 1,2,3,4時，找不到所求的路徑。二、當n = 5時，起點、終點皆為白色的圖形，有部分找得到所求路徑，部分找不到所求路徑；其餘情形則找不到所求路徑。三、當n 為大於5 的偶數時，若起點與終點顏色相異，必找得到所求路徑；若起點與終點顏色相同，則找不到所求路徑。四、當 n 為大於5 的奇數時，若起點、終點皆為白色，則找得到所求路徑；其餘情形則找不到所求路徑。

一、 基於一個手機遊戲的規則：將1~9填入3×3方陣中(不重複)，使四個角落的田字形內數字總和相等，這玩法引發了我們的好奇。二、 本研究主要探討能否找到一種有規律的填法，使四個角落內數字的總和相等並恰好就是最大值或最小值。我們先找出3×3中所有可能的組合，再以類似方法延伸至5×5，再更進一步推到n×n，因而有了驚喜的發現。三、 本研究主要發現有：（一）當n=4m－1時(m∈Z)，最大值、最小值的填入方法。（二）當n=4m＋1時(m∈Z)，最大值、最小值的填入方法。

某一次在YLL 數學網站看到一串數列如下： 1,1,2,2,3,4,4,4,5,6, □------------□為多少?這可讓我想破頭了，最後得知□為7。我當時並不知道為什麼，但是看了解釋之後，得知數列剛開始為1,1，那第三項怎麼來?數列最後一個數為”1”，表示由數列數來第”一”個數加上數列由後數來第”一”個數，所以第三個為2，數列變為1,1,2，第四項怎麼來?數列最後一個數為”2”，表示數列第”二”個數加上由後數來第”二”個數，所以a4=1+1=2。因此有此關係： 其中 a1 =1, a2 =1。後來我去網路上，發現此數列曾經上過紐約時代雜誌科學頭版，是什麼原因能夠上美國時代雜誌科學頭版，在此不詳述。 在mathworld 網站查此數列，結果發現真的有這種數列，名稱為 Hofstadter-Conway $10,000 Sequence。

在國中數學第五冊中，提到了一些平面幾何作圖，並證明。我們不知道這些作圖法是如何經過一些思維推理的程序而得到的。今欲就此方面作一番探討。