數學科

平常做完功課後除了看書，我最喜歡排拼圖。剛好前年參加全國科展剩下不少空自表格，我就自己排排看，竟然發現不少規則，於是請爸爸、媽媽和老師指導，並邀請同學一起做了這個有趣的遊戲。

探討原正方形經拼湊組合成的長方形面積會減少一平方公分可能的原因，另外，由角度與相似三角形邊長與邊長比值相等的原理來觀察。實際上由於原正方形切割成兩小角形，及兩梯形後，小三角形與梯形組合後並未成為一大三角形，以致於全部組合後，有面積重疊的地方。我們推論出的公式：原正方形邊長甲，切割長度乙，則面積差量 =拼湊後長方形的面積－原正方形的面積=〔（2 × 甲－乙）×（甲－乙）〕－（甲 × 甲）。而我們發現.任一正方形邊長甲都可以找到一最佳切割比例，及長度乙≦甲/2，且以最接近甲/2 的長度時，使得拼成後的長方形面積與原正方形面積的差量為最小，並可將拼成後的長方形歸類為凸出型（以⊕表示）與凹陷型（以Θ表示）兩種類型：最後我們歸納出一規則，即相同面積差量的每一列中的每一數恰好是前兩數的和（最前面兩數除外），也就是說，對每一列數任取連續三數（A，B，C）就是一組最佳組合，C 為正方形邊長甲，A 為切割比例乙，而面積差量＝B×（2B－A）－C×C＝B×（B+C）－C×C 最小。另外，亦可連續四數為一組合（A、B、C、D）， D 即為組合後長方形長，B 為寬，因此面積最小差量為：B×（B+C）－C×C＝B×D－C×C，可用來預測出不同的正方形邊長甲，它們所得到的面積最小差量相同的最佳切割值。.另外，我們可以面積差量＝1（如底色為黃色那一列）正方形邊長為依據，我們將其面積差量＝1 的正方形邊長甲×倍數，即可預測得到最小面積差量＝倍數×倍數。反之，我們亦能根據面積差量最小值所分解成平方數a× a（倍數×倍數），預測得到最佳正方形邊長＝如底色為黃色那一列正方形邊長甲×a（倍數）。同時，經由我們整理出的規則，預測面積差量為平方倍之正方形邊長，並依據面積差量＝1 的正方形邊長，來預測得到長度為倍數之最佳正方形邊長的凹凸類型

古老的印度中，有一們神秘的傳說：誰能將神壇上七十二層的梵天塔，照著一定的方式由一底盤移至另一個底盤，就能得到神的恩澤，繼而成仙。經過了數千年，成仙的夢無人達成，但奇妙的遊戲卻流傳至今，深深地吸引了我們。

在△ABC邊上，以一頂點A為圓心任意邊長為半徑畫弧，再以順時針(或逆時針)的方式選定下一個頂點C，以之為圓心CD為半徑畫弧，依此法繼續做圖，直到軌跡交於起始點，此為以下探討之基本作圖。 一、在三角形中，依此作圖法會有： (一) 在第一輪回到起始點：初始以A點為圓心，半徑=1/2(b+c-a)作圖。 (二) 在第二輪回到起始點：初始以A點為圓心，半徑≠1/2(b+c-a)作圖，且中途無超出三角形。可與各邊各交兩點，分別與內心連線，可得三個全等的等腰三角形。 二、任意n邊形有內切圓，則： (一) 若n為偶數，則必能一輪回歸。 (二) 若n為奇數，則有必能一輪或兩輪回歸。 三、任意n邊形之一般條件，則： (一) 若n為偶數，且隔邊邊長和相等則必定一輪回歸。 (二) 若n為奇數，則有必能一輪或兩輪回歸。

玩5×5開關電燈遊戲時有很多不同的變化，我們研究這些變化中對應的函數和集合，透過這些函數和集合的概念，我們研究 1.判斷任意二個n x n 燈炮狀態圖形X 和Y 是否同類 ?如果X 和Y 是同類，則我們將找出所有使圖X 變成圖Y 的方法 (開關電燈遊戲問題只是第一個問題的特殊情形) ; 2. 所有的2n2個n x n燈炮狀態圖形有多少不同類圖形 ?由於n × n圖形有2n2個，當n 的值愈來愈大時，要確實討論這些圖形非常困難。在這個研究計劃裡，我們給出只要計算n 個圖形和一些簡單分析就可以解答上述二個問題的方法，這樣不但大幅地加快解題速度，同時也大幅地減少問題的難度。用這種方法，我們只列出n≦18 情形的解答(限於篇幅問題)。

這篇報告要探討下列的「轉沙發的問題」是否有解？ 有一個長方形的沙發，如圖一，若要求每次只能以「四個頂點逆時針或順時針連續旋轉90 度」的方式轉動，請問當長寬具備何種關係時，沙發經數次轉動後，剛好可以「轉」到相鄰的位置，如圖一，而且沙發坐人的正面方向仍保持不變呢？ 我們把原問題看成「平面座標上長方形旋轉的數學問題」，再利用「平面座標、三角函數、複數、複數的極式表示及向量」等數學工具，導出符合題目要求的方程式，最後證出當長與寬的比值為正實數時，有下列的結果： 1.當長與寬比值為無理數時，此問題無解。 2.當長與寬比值是最簡分數時，若分子為奇數，此問題無解。 3.當長與寬比值是最簡分數時，若分子為偶數，分母為奇數，此問題有解。

古代西方，連分數是很多數學家研究的領域，但還是在數方面做打轉，我們的構想是，既然輾轉相除法可連結到連分數，那連分數一定可以推廣到更廣闊的領域，幾何的結合是我們所構想的，也就是用嶄新的方法，幾何來定義連分數，再結合法雷(序列)圖形，加上其特殊的性質，包括翻轉、平移、圖形的左右、變換主軸的走向，以達成法雷(序列)圖形上得連分數，連分數就變成幾何方式的全新風貌。但連分數是以連加的方式利用高斯來求得，但我們以反向思考的連減方式來創造新的連分數，利用天板符號求得，這與原來的連分數是完全不同的，幾何的讀出也是不盡相同，接著以法雷圖形和連分數的結合解釋無理數和 n 在圖形上重合的性質，其字碼是非常有循環的，而應用中皆是實際的發現，除計算機上的問題較簡易，中，可成功的利用圖形的特性，連分數的分析，接著將費氏數列變形，會發現其實法雷圖形上就存在費氏數列，中再加入畢氏數組的討論，會發現更多連分數的變化和規律。

探討平面上n條直線，每兩條相交出一個交點，但不三線共點，並在每個交點上標上數字1至n-1，使任何一條直線上恰好出現1至n-1各一次。得到奇數條直線無法、偶數條直線可以。 推廣至三維空間，探討n個平面，每三個相交出一個交點，但不四面共點，發現到三維空間有兩種推廣方式： 一、在每個交點上標上數字，使每條直線上的數字都不重複 二、在每個交點上標上數字，使每個平面上的數字都不重複 在此兩種情況下，可見當有三個平面時皆可以。 探討第二種推廣後發現在六個平面時亦可以給出構造。而後又發現其等價於Baranyai's theorem故得到平面個數為三的倍數皆可以，再根據文獻構造出三維度空間9個平面的一種方法。

為此長久以來的困惑未釋，也基於作者對數學那股狂熱的執著，故願竭其所能全力以赴，未達目的決無反顧，終至引進漸近分數的理論，進而發現「漸近多邊形，以為有效的解決工具；再經引申與推廣，益覺漸近多邊形為一令人欣慰的結果。

從蝴蝶定理（Butterfly theorem）的圖形進行發想，在前人作品發想出研究方向，除了在圓與正方形以外，在其他圖形上討論蝴蝶形的其他性質是否有不同的發現？我們在圓、橢圓、拋物線與雙曲線之重疊圖形上作出對稱與非對稱蝴蝶形，對其面積、邊長、角度進行計算與歸納，再推廣到在拋物線上另找任意兩點做蝴蝶形；在研究過程中，我們也發現了圖形上一些特殊的性質，進行一連串的研究。且以普通高級中學課程綱要中數學科課程綱要內容為我們推論工具，希望能讓多數高中程度的學生均能了解我們的發現。