從撲克牌魔術出發，探索出二個原理，第一個關於操作手法；第二個和表演過程相關：完成本魔術至少要派9 張牌。另外，我們和之前國展國小組數學科中同樣探討撲克牌的作品(參見附錄一)不同的成果是：提出二個數學定理，並得到一個一般化的結果：使用n 種花色的撲克牌，本魔術的「最少派牌數」。

平常做完功課後除了看書，我最喜歡排拼圖。剛好前年參加全國科展剩下不少空自表格，我就自己排排看，竟然發現不少規則，於是請爸爸、媽媽和老師指導，並邀請同學一起做了這個有趣的遊戲。

我們研究的是「方連」，「方連」有單方、二方連、三方連??。而這次我們所要研究的是如何判斷一個六方連能否摺成一個正立方體；我們發現所有排列是（1，4，1）的六方連都可摺成一個正立方體，但是排列不是（1，4，1）的六方連也可以用一種特殊方法判斷是否能轉換成（1，4，1）的六方連。再透過觀察，研究如何正確地畫出6 面各有圖案的正立方體的展開圖。

上數學課時，突然聽見擴音器傳來全校老師請到辦公室開會的聲音，只見老師放下粉筆匆匆往外走去，突然問，又不放心的回頭隨手在黑板寫上□÷2.17=1.5…0.28 ，求 □ =？這個題目，十分鐘後，老師回來並檢討這個題目。 經由大家討論，我們一致同意□ =3.535 這個答案，下課後，我發現經過驗算所得的答案好像怪怪的，一連算了幾次都是一樣的結果，我就將題目拿去請教老師，看看到底那裡出了問題，老師也很訝異，並建議大家一起探討研究，經過二個多月的努力，皇天不負苦心人，我們終於有了重大的發現。

西洋棋盤上，騎士所能走的漢彌爾頓路徑( Hamiltonian Path )一直是數學遊戲的豐富題材，本次研究將要探討一個關於騎士由給定起點P 經n × n 棋盤到達給定終點Q 之漢彌爾頓路徑( Hamiltonian Path )是否存在的問題，其中起點P 與終點Q 為n × n 棋盤外圍緊鄰棋盤的兩個相異棋格，且棋盤上第i 行第j 列所在的棋格顏色塗法為：若i + j 為偶數，則塗成黑色；若i + j 為奇數，則塗成白色。研究結果顯示，並非任意以n × n棋盤外圍的兩個相異棋格為起點與終點，就可以得到所求的路徑。解的情況如下：一、當n = 1,2,3,4時，找不到所求的路徑。二、當n = 5時，起點、終點皆為白色的圖形，有部分找得到所求路徑，部分找不到所求路徑；其餘情形則找不到所求路徑。三、當n 為大於5 的偶數時，若起點與終點顏色相異，必找得到所求路徑；若起點與終點顏色相同，則找不到所求路徑。四、當 n 為大於5 的奇數時，若起點、終點皆為白色，則找得到所求路徑；其餘情形則找不到所求路徑。

本作品是探討:在已知三角形內部中,如何利用尺規作圖找出最大的正方形(含內接與偏接),並導出最大正方形邊長與三角形元素的關係。進而推廣出在已知四邊形內部中,如何利用尺規作圖找出最大的正方形,並導出最大正方形邊長與四邊形元素的關係。

上數學課時，我們常用方格紙點算圖形面積或畫對稱圖形。當碰上三角形或不規則圖形時，我們常算錯格子數，這樣的挫折讓我們興起尋求其他方法，來計算圖形面積的念頭。我們請教老師，老師說：「方格紙上除了有空格之外，還有另一個重要元素就是線段的交點，這些『點』是我們解題的關鍵。只要仔細看就能察覺圖形上的點數有的在周長上，有的在圖形內部，這些不同位置上的點究竟有何關聯？它們會影響面積的大小嗎？是很值得研究的。」於是在老師指導下，我們開始一連串的作圖、點算、求數據、作圖表、比較差異、反覆思考和尋找規律的探究活動。終於，我們發現可以計算出任何不規則圖形面積的公式，並畫出不少對稱圖形，這樣的成果真令人興奮！

平面上有一線段AB 與圓錐曲線Γ，令P 為Γ 上的動點，本研究探討當P 點沿著Γ 移動時，DABP 的外心、重心、垂心、內心、傍心及費馬點的軌跡，我們發現重心軌跡具有複製性─重心的生成曲線是原軌跡的縮影；外心軌跡多為射線、線段或者是直線，也有可能退化成點；特別是A,B 為橢圓焦點時，其垂心軌跡方程式是y 為二次，x 為四次的曲線，在特別情況下會退化成橢圓或圓；內心軌跡為橢圓；傍心軌跡為橢圓及兩條切於橢圓長軸端點的直線；當A,B 為雙曲線焦點時，其內心軌跡為切於雙曲線頂點的切線線段，其長度等於共軛軸長;傍心軌跡為兩條雙曲線及四條射線。費馬點的軌跡均為兩上下對稱的圓弧。我們試圖將條件推廣成一個定點及兩動點的情況，發現圓上雙動點的重心軌跡為玫瑰線，當兩動點以速率比為1:k 時( k IZ )運動，順向時會產生向內的環，反向時則產生向外的環且會產生k -1 個環。此外，我們將生成軌跡疊代時，發現：無限多次後，重心會收斂於一點；垂心則有對偶性。

在平面上有一種極小原理：已知平面上一直線與相異二定點 A、B，則可在 L 找出一點 P 使 PA + PB 為最小，方法如下：(一)A、 B 在 L 之同側時，求出 A 關於 L 的對稱點 A', ，或 B 關於L的對稱點B' ，連接 A'B 或 AB’與 L 的交點即為所求之 P。(二)A、B 在 L 之反側時，AB與 L 的交點即為所求之 P。現在我們 推廣到空間中，對於空間中一直紗 L 與二定點 A、B 如何在 L 上找一點 P ，使 PA + PB 為最小。

坊間的一些數學書籍中皆曾提及「定周長」問題的敘述，引起我們對該問題的注意與興趣，因此想嘗試將條件予以限制，增加包含定點的規定，於是我們便開始著手研究第一主題。