數學科

在學校科研營的教材中，有一個題目，其內容相當:「在一列格子中，放入黑棋與白棋。規定白棋不可連續放置，而黑棋不受此限，請問共有幾種可能的排列方式?」此題之答案，基本上就是鼎鼎大名的費伯那契數列(Fibonacci Sequence)，因此我們用此規則，而把一列格子橧加為m列n行，用來探討它的規律及關係。

本作品是以1~9的9個數字為主軸，藉由數、數字和與數字根之間的關係，探討不重覆使用1~9的九個數字，把它們分成不同的幾組數，使其中的一組數會等於其它組數相加、相減、相乘、相除的結果等趣題。

在△ABC邊上，以一頂點A為圓心任意邊長為半徑畫弧，再以順時針(或逆時針)的方式選定下一個頂點C，以之為圓心CD為半徑畫弧，依此法繼續做圖，直到軌跡交於起始點，此為以下探討之基本作圖。 一、在三角形中，依此作圖法會有： (一) 在第一輪回到起始點：初始以A點為圓心，半徑=1/2(b+c-a)作圖。 (二) 在第二輪回到起始點：初始以A點為圓心，半徑≠1/2(b+c-a)作圖，且中途無超出三角形。可與各邊各交兩點，分別與內心連線，可得三個全等的等腰三角形。 二、任意n邊形有內切圓，則： (一) 若n為偶數，則必能一輪回歸。 (二) 若n為奇數，則有必能一輪或兩輪回歸。 三、任意n邊形之一般條件，則： (一) 若n為偶數，且隔邊邊長和相等則必定一輪回歸。 (二) 若n為奇數，則有必能一輪或兩輪回歸。

本文利用GeoGebra進行關於拿破崙初始n邊形之研究。一開始研究拿破崙初始n邊形的性質，發現不論奇數邊或偶數邊拿破崙初始n邊形都存在著一些不變的性質 。之後，由拿破崙初始n邊形的鄰邊中點連線向外延伸、對角線以固定的規律相連兩種連線方式，分別會形成外角星及內角星。拿破崙初始n邊形會和其畫出的m階交點圖形、中點連線所圍出的圖形有因邊數奇偶而異的相似性質。拿破崙初始n邊形繪出之內n角星在不重複之前題下，同層內n角星截線段比例固定。接著我們依序研究拿破崙內角星及拿破崙外角星之共同性質，及投影幾何與拿破崙定理的關聯性，最後發現拿破崙初始n邊形為正n邊形的投影。

玩5×5開關電燈遊戲時有很多不同的變化，我們研究這些變化中對應的函數和集合，透過這些函數和集合的概念，我們研究 1.判斷任意二個n x n 燈炮狀態圖形X 和Y 是否同類 ?如果X 和Y 是同類，則我們將找出所有使圖X 變成圖Y 的方法 (開關電燈遊戲問題只是第一個問題的特殊情形) ; 2. 所有的2n2個n x n燈炮狀態圖形有多少不同類圖形 ?由於n × n圖形有2n2個，當n 的值愈來愈大時，要確實討論這些圖形非常困難。在這個研究計劃裡，我們給出只要計算n 個圖形和一些簡單分析就可以解答上述二個問題的方法，這樣不但大幅地加快解題速度，同時也大幅地減少問題的難度。用這種方法，我們只列出n≦18 情形的解答(限於篇幅問題)。

考拉茲猜想是一個橫跨近九十年的數學難題：任何一個自然數，奇數須乘以3加1，偶數須除以2，依照這個規則不斷重複運算，所有自然數終將變成1。因為經運算後，偶數將變小，奇數會變大，直觀上奇數會比偶數更不容易收斂到1。我們發現有許多連續數字會有同步現象，這表示，數對裡的奇數具有和相鄰偶數一樣的考拉茲運算次數，同時，只要我們找到一個符合考拉茲猜想的奇數，就相當於找到了無限多個同樣符合的奇數。

在數學課本中，求圓錐曲線的切線是一個非常重要的課題。而課本在處 理這個問題時，是將其概分為三部分(註1)：曲線上、已知斜率及曲線外； 關於第一部分， 課本提供了一個切線公式(註2)： 設P(x0 , y0 )為圓錐曲線ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0上一點，則過P(x0 , y0 ) 的切線方程式為： 若於曲線外， 則沒有公式可用。本文成功地將(*)擴充到不論P 是否在曲線上或曲線外， 均可適用的公式。我們定為切線公式： 切線公式： 設f (x, y) = ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f 過點P(x0 , y0 )作圓錐曲線

暑假快結束了，媽媽希望我們能把假期中弄亂的書櫥重新整理，並把新買的書放到適當的位置，我們選了個全家有空的日子，就動起手來。姊姊、我和弟弟的書有限，一會兒工夫就整理好了，倒是爸爸還有一大堆沒處理好，我們又幫不上忙，就乾脆坐下來看看爸爸散置在地上的書，在這些書中，有三本薄薄的「回饋學刊」引起了我的注意，我拿來翻看，其中第二冊中有一篇「棋迷之迷」特別具有挑戰性。內容是：\r 「一張西洋棋盤，縱橫各有8個方格，總共有64個方格，一副牙牌有32張，一張牙牌可蓋住2個方格，這副牙牌恰好可以蓋滿整個棋盤，如果把棋盤的右下角和左上角各剪去一個方格，棋盤上還能蓋得下幾張牙牌？」\r 我想剪去兩格，恰好少了一張牙牌的位置，應該可蓋得下31張牙牌，但是文章裡面卻暗示31張的答案並不正確，我找第三期並沒有解答，問爸爸是否有第四、五、六……期，爸爸說沒有，要我自己求出正確答案。我只好向老師求救，並邀請幾位好朋友共同參與。

前年夏天，由於東太平洋海溫異常快速上升，連帶著影響大氣結構，造成了空前最強烈的聖嬰南方震盪現象（本文以下簡稱為 ENSO ）。不過數月，太平洋的兩側，甚至大西洋、印度洋附近國家陸續傳出災情，不是滂沱大雨、洪水氾濫的情景，就是酷熱乾燥、烏煙瘴氣的窘境，導致家破人亡，損失慘重，尤其以赤道太平洋地區之受創更為深遠。臺灣地區位於熱帶與副熱帶之交界處，受到 ENSO 之影響有何明顧的反應？有鑑於國內現今對此研究尚不多，所以利用此機會，根據近三十年來的氣候資料，進一步分析 ENSO 與臺灣氣候之關係，作為將來遇到類似情況時之參考。

在偶然的機會中，於學校圖書館中發現了 《 幾何研究 》 一書，看到其中的「垂足三角形」( Pedal triangles)1「令 P 為已知三角形內之任一點，且令PB1，PB2，PB3為作向三邊A2A3，A3A1，A1A2之垂直線，此等垂直線之足，為 △B1B2B3（稱 △B1B2B3 為 △A1A2A3之第一垂足三角形）之諸頂點，該三角形為對「垂足點」 P ， △A1A2A3之垂足三角形。第三垂足三角形D1D2D3，與原來三角形A1A2A3相似。」且最後說到有位新加坡的 A . Oppenheim 博士將之推廣為「 n 邊形中第 n 垂足 n 邊形相似於原 n 邊形」。心中產生了一些疑問：四邊形 … … n 邊形的證明？ P 點在三角形外，此性質是否仍成立？對於凹 n 邊形及自交 n 邊形，此性質是否仍成立？第三垂足三角形D1D2D3與原三角形A1A2A3的面積比？第 n 垂足 n 邊形與原 n 邊形的面積比？什麼時候面積最大？有沒有其它的性質？於是利用課餘深入加以研究。