數學科

阻擋正多邊形曾在第 44 屆全國科展高小組數學科第二名－阻擋正多邊形出現，其主題是「正方形棋盤儘可能打最少『×』，使其找不到四個空格，以空格當頂點，可連成一個正方形」，本研究改變其規則－討論正方形棋盤儘可能刪除最少的邊，使棋盤中找不到四個邊組成一個正方形。選定這個主題，因為我們數學課本，剛好也學到垂直平行與四邊形及怎樣解題（觀察、察覺數列的規律性）。我們從阻擋正方形研究起，推展正三角形及正六邊形，加上變換棋盤形狀，最後再到阻擋長方形，透過實際操作、表列觀察，從過程中找到阻擋正多邊形的共通策略－兩個方格共用一個「×」及方格放大後呈現回字型一層層增加固定的「×」數，而且特定圖形會像數列排列一樣的有規律性。

本篇研究主要在探討「將n顆相同的球放入m個相同箱子的方法數fm(n)的性質」。我們先利用「正三角形內部任一點到三邊的距離和」及「正三角錐內部任一點到四面的距離和」為定值，求出f3(n), f4(n) ，進而得知fm(n)的公式是由一系列的多項式所構成。接著證明fm(Lmq+r)是q的m-1次多項式及當m≧2k-1, k=1, 2, 3時，第k高次項係數所構成的數列〈Akm, r〉為k階等差數列並求得ΔiAkm的一般式。 接著引進階差運算，證明在m是偶數的條件下，若〈Akm, r〉是k階交錯等差數列，則〈Akm+1, r〉是k階等差數列，進而保證〈Ak+1m+2, r〉是k+1階交錯等差數列，最後得證m≧2k-1, kϵN時， 必為k階等差數列。 若Akm為Lm的單項式，我們找到一個系統化求ΔiAkm的方法，藉此可求得數列〈Akm, r〉的任一項。最後給出一個關於Akm為Lm是單項式的猜想。

我們在此次的主題「繁星似海－圓上圖形最大值探討」中，要探討在不同的圓上各取一點，並在這些有如繁星的點中，依照特定順序（順／逆時針）所連成的多邊形（以下圖為例）。這些多邊形有無限種情況，但周長及面積的最大值只有一個，因此我們的主軸圍繞在多邊形於周長與面積最大值時具有的性質。探討的主題主要分為四種情形： 1. 同心圓情形，凸多邊形最大周長時具有之性質 2. 不同心圓情形，凸多邊形最大周長時具有之性質 3. 同心圓情形，最大面積時具有之性質 4. 不同心圓情形，最大面積時具有之性質

傳教士和土著從左岸搭船(必須有人開船)到右岸，過程中任一岸土著不可比傳教士多，否則土著吃掉傳教士，遊戲失敗。 設計圖解方法，將操作過程轉化成二維座標，題目限制畫成棋盤，並依據條件設定棋子不同走法，以下棋概念探討渡河相關變化題，如改變船的座位、陸地的數量、土著和傳教士的人數……等。 觀察規律並找出「最少步數」與「最佳解法」，將研究成果透過自學程式語法Processing寫成可隨變化題快速產生「棋盤樣式」與「棋子提示走法」的輔助研究工具，加速研究歷程及驗證研究成果。 其中，改變物種數量會產生三維座標以上立體棋盤，無法視覺化棋盤輔助思考情況下，效仿AlphaGo設計精神，運用運算思維技巧，以現有研究成果為基礎，推論其變化規律。

古代西方，連分數是很多數學家研究的領域，但還是在數方面做打轉，我們的構想是，既然輾轉相除法可連結到連分數，那連分數一定可以推廣到更廣闊的領域，幾何的結合是我們所構想的，也就是用嶄新的方法，幾何來定義連分數，再結合法雷(序列)圖形，加上其特殊的性質，包括翻轉、平移、圖形的左右、變換主軸的走向，以達成法雷(序列)圖形上得連分數，連分數就變成幾何方式的全新風貌。但連分數是以連加的方式利用高斯來求得，但我們以反向思考的連減方式來創造新的連分數，利用天板符號求得，這與原來的連分數是完全不同的，幾何的讀出也是不盡相同，接著以法雷圖形和連分數的結合解釋無理數和 n 在圖形上重合的性質，其字碼是非常有循環的，而應用中皆是實際的發現，除計算機上的問題較簡易，中，可成功的利用圖形的特性，連分數的分析，接著將費氏數列變形，會發現其實法雷圖形上就存在費氏數列，中再加入畢氏數組的討論，會發現更多連分數的變化和規律。

研究目的是證明貝格倫、普萊斯與菲爾斯托夫三元樹中所有互質畢氏數相等。研究動機是在這三種三元樹中存在著某些相同的互質畢氏數，如費馬三元數等，我因此猜想這三種三元樹中所有互質畢氏數相等。研究方法是由歐幾里得家族的生成公式與這三種三元樹中的3階方陣迭代公式建立2階方陣迭代公式，然後由2階方陣迭代公式與歐幾里得家族的生成公式探討歐幾里得家族中任一互質畢氏數在這三種三元樹中的迭代路徑。研究結果是由2階方陣迭代公式與歐幾里得家族的生成公式證明了這三種三元樹中所有互質畢氏數相等，建立歐幾里得家族中任一互質畢氏數在這三種三元樹中的迭代路徑碼，改良了普萊斯的建立方法，我未來展望是想將迭代路徑碼運用於密碼學。

王老先生有一塊五邊形的地，他想要建一道水泥牆將該地等分成兩塊，一塊蓋鴨寮，另一塊蓋豬舍，他希望水泥牆的材料最省，這道水泥牆應如何構築？有一四邊形的湖，其四周均勻地住3人，今欲築一座橋將該湖邊的人口平分成二等分，這座橋的最經濟路徑在哪堙H這些都是我們經常會碰到的問題，我們將利用解析幾何的方法，逐步地由三角形、四邊形一直處理到n多邊形有關等分面積與周長的問題。

去年以九方格加法的研究，作品參加全國科展比賽，蒙評審的嘉許鼓勵，我們除了高興所付出的辛苦，獲得了肯定，也更堅定我們由興趣投入研究的信念。現在把加法研究的部分結論摘錄如下： (一)凡具有特定規則排列的整數，就可用來填入九方格，使每直、橫、斜的和相等。 (二)排九方格有八種型式，是按左旋（右旋），互換的規律。 (三)每直、橫、斜的和是中數的 3 倍，與中數所成之線去掉中數之和，必為中數的 2 倍。 一年來我們持續著加法研究的結論，不斷的研究、探討，進一步的發現，九方格既然可以用加的，使直、橫、斜的和相同，那麼是否也有乘法的關係，能使各直、橫、斜的積相同呢？減法及除法是否也能應用於九方格遊戲中呢？這些有趣的問題，都是我們很想去瞭解的。

蜜蜂在分泌蜂蠟築巢時，蜜蜂利用固定量的蠟，選擇了最佳的正六邊形來圍成最大的面積。本研究藉蜂巢為六邊形的圖形延伸了問題：「若有灰色及白色的六邊形多個，利用這些六邊形堆砌成一個蜂巢，最外圍的六邊形一定要白色，若現在要利用10個灰色六邊形堆砌一個蜂巢，能相鄰的最多只能有3個灰色六邊形時，最少需要幾個白色六邊形包圍？」我們利用蓋連棟別墅的手法，將每個組合當成一個基模，在最多只有兩個基模以角或邊相對的條件下，以增加外牆的方式來組合可能的類型，找出最符合需求的蜂巢模式；本研究希望經由這邏輯化的思考及解題過程，提供一個較經濟、有效率及減少失誤的尋解策略。

本研究主要在探討三角錐的展開圖形，我們首先討論三角錐的所有展開圖共有幾種（十種），接著從這十種展開圖的立體圖形開始研究，然後討論這十種三角錐的限制情形及相關性質。本研究發現如下： 1.三角錐的所有展開圖共有十種（平平平、凸凸凸、凹凹凹、平凸凸、平凹凹、平平凸、平平凹、凸凸凹、凹凹凸、平凸凹）。2.部分的展開圖有其相關限制條件。根據以上的發現，我們還發現了三角錐的其他相關性質及特性。