本研究在探討Ramseygame所蘊藏的數學原理。探究「一個m點之完全圖，若使用n種顏色將線條著色，則使其“必能”圍成同色三角形之最小m值為何」。研究發現，隨著完全圖點數的增加，遊戲的玩法蘊含著特定規律與「數學歸納法」的精神。此外，若將使用的“顏色個數”所對應之“完全圖點數”之最小值以數列表示，研究發現數列各項間存在著“遞迴關係式”，並進一步推導出其「一般項」。然而，若改變遊戲規則，探討「一個m個點之完全圖，若使用n種顏色，二人可輪流任意使用將線條著色，則使其能夠形成一個完全由異色n邊形所組成的n值為何？」。而研究發現可進而發展成一種好玩的新遊戲。透過此研究發現，遊戲不僅可以解釋生活問題，亦可應用於實際生活上。如：車線規劃、運輸…等，十分有趣。

本研究源自於第54-4期科學研習月刊上的一道數學題目——神算，我們主要在探討：如何由第一列n個色球迅速判斷出圖形第n列色球的顏色。一開始先從n層第一列n個色球的排列組合方式開始探討、歸納，接下來我們從最簡單的層數開始觀察，慢慢推導兩層及三層公式，並歸納出符合兩層公式系統的層數：am=3m-1+1層、三層公式系統的層數： bm= 2×3m-1+1層。接著我們把所有層數都化為函數式，在過程中，我們發現這並不是一道普通的數學題，因為這個題目竟和三進位有莫大的關聯存在！於是，我們將最少步數結合重新定義的「三進位法」，找出了n層最少步數解法的通式： f∏i=1k(ai+1) (x)=∑i=1k[∏j=0i-1(aj+1)] fai+1 (ai3i-1+1)。除了上述之外，我們還發現只需知道圖形中任一層的組合，即可求出其下方任一列、任一個色球的快速解法。

有次閱讀一篇有關公切圓的文章，使我們對公切圓產生好奇，進而想知道n 個圓究竟有存在多少個公切圓呢？於是我們用雙曲線上一點到兩圓距離之差為定值，找出兩圓的公切圓，並以雙曲線交點為圓心，作出任意三圓的8個公切圓。另一方面，我們以反演法作圖驗證，利用反演後圖形的相對關係不變之原理，推廣出n 圓公切圓的作圖與判別法。進一步地，將公切線視為一曲率半徑無限大之圓，將曲率半徑縮放以判別公切圓相關性質。最後研究歸納出雙曲線、反演、切線等研究方法的優勢與劣勢，更結合雙曲線與反演法判別n 圓公切圓的存在情況，並以條件方程式 完整呈現n 個圓所存在最多的公切圓數目，即9 圓以上最多僅存在2 個公切圓。

逆光飛行意謂著光線的反射，由於光線在穿過透明板時會產生反射或穿越，倘若只有一層透明板時，光線穿過透明板只有一種方式，但如果將透明板的數目增加到三層或四層時，光線就有可能反射0次、2次、4次…或2n次(n∈N)後穿越所有的透明板。同樣數目的透明板，假如固定反射次數時，穿越所有的透明板的方法數會有幾種？它們之間的關聯性即為我們想要探討的主題。

四下的數學課本中，所介紹的正方體，是由 6 個一樣大的正方形所組合而成。它和元宵節時我所看到的一個外型像足球的燈籠一樣，外型都是由正多邊形所組合而成。我將我的發現告訴老師，老師認為我觀察得很仔細，值得鼓勵，同時，她還告訴我，這兩個都是屬於正多面體。因此，引發了我對正多面體的好奇。在周、邱、陳三位同學的支持下，閒始了我們的探索活動。

我們發現一個組合特殊的圖形，內容包括一大圓、兩正三角形及兩內切圓，其中內切圓半徑比皆呈現 2：1，基於好奇心，我們決定將此圖形推廣至正方形及正多邊形。繼而由平面轉成立體，計算其內切球半徑比，然而藉由觀察軟體繪出之立體圖截面，我們的思考模式有了重大突破：由球半徑比轉至外接等腰三角形之高比，利用此方法，成功將五種正多面體於各種相交情況下之內切球半徑比例算出。接著，我們將此性質推廣至橢圓，最後再將大圓轉換成大橢圓，但因橢圓之內接正多邊形可能有超出去的可能性，所以我們決定以正多邊形的共邊中點作為橢圓中心，利用上述方法求得內切橢圓之比例，並找出比例為 2：1 時大橢圓之長短軸比例。

如果將正方形的頂點比擬成它的「手」，兩對角線的交點當成它的「心」，則兩個正方形頂點間、中心點間、或頂點與中心點間的線段相連（或重合），就如同「手」或「心」彼此相連。我們將四個正方形的某種特殊組合，稱為「傑克結構」(Jack Structure)，它是本研究的圖形主體架構。本文主要探討當傑克「四心相連」，「心手相連」，和「手手相連」，不同連接情況下所連出的四線段，向外作正方形時，連接這些正方形之中心點而成的四邊形，甚至再以此四邊形的四個邊為邊分別向外作正方形，並將四個心相連，這樣一層一層的的不斷擴展下去，推導所連成的每一層四邊形與基準正方形（Reference Square）之間的面積關係，並試圖發現不同連接情況下，同一層四邊形間的面積關係。

本研究目在探討立體書中三角立基各種角度與高度的關係。結構角及黏貼角的組合會影響到站立角及站立高度，並進一步影響到基盤開合之間時三角立基頂點的移動角度及移動高度。一般立體書中最常見的設計為「結構角≦90°及黏貼角＞90°」，本研究計算移動高度的結果建議，製作立體書的三角立基結構角要≦90°，而且結構角越趨近90°，黏貼角也趨近90°(≠90°)時具有最大「POP-UP」的跳高效果。在製作立體書中的三角立基時，如果已決定結構角與黏貼角時，可以對照圖5-4-2找到書本合起來時的頂點高度，就能計算出基背最大容許長度=10/頂點高度×(書本寬度X)。

在數學傳播第一卷第一期有一題是： 對於下列圖形A至B作「筆畫的走法」即每一弧線恰走過一次有幾種走法？ Ans : (3!)n•2n-1 但如將AB合為一點成一項鏈狀時，走法數又如何？

大家都知道一個分式型式的三角恒等式，當分母的值為零或式中的三角函數無意義時就像一部機器發生故障一樣不能用了。我們仔細研究這些故障情形卻得到一些意外的收穫。