數學科

有關研究平分(或N 等分)多邊形面積的題材,在全國科展中,屢見不鮮;但其所討論的範圍,大多只是涉及平分(或N等分)多邊形面積的作法,然對平分(或N等分)多邊形面積的分割線數之多寡以及所分割成的圖狀皆未曾討論。而本作品「孔明復生,天下三分計」,除了對三等分面積提出具體的作法外,也針對了“最佳分割線”(即兩條分割線)與“圖狀”作了討論與研究。其次本作品的特色有：1. 分割線過一基準(即一定點P),且分成定點位於多邊形的頂點、邊上、內部、外部等四部分加以討論2. 所分割的面積不但相等且為完整圖形(即不被分離的圖形)3. 探討過定點P 的“最佳分割線”的分法及組數4. 研究“最佳分割線”所分割成的圖狀，並導出定點P 位於N 邊形各個位置所分割成圖狀種類數量的公式。

探討原正方形經拼湊組合成的長方形面積會減少一平方公分可能的原因，另外，由角度與相似三角形邊長與邊長比值相等的原理來觀察。實際上由於原正方形切割成兩小角形，及兩梯形後，小三角形與梯形組合後並未成為一大三角形，以致於全部組合後，有面積重疊的地方。我們推論出的公式：原正方形邊長甲，切割長度乙，則面積差量 =拼湊後長方形的面積－原正方形的面積=〔（2 × 甲－乙）×（甲－乙）〕－（甲 × 甲）。而我們發現.任一正方形邊長甲都可以找到一最佳切割比例，及長度乙≦甲/2，且以最接近甲/2 的長度時，使得拼成後的長方形面積與原正方形面積的差量為最小，並可將拼成後的長方形歸類為凸出型（以⊕表示）與凹陷型（以Θ表示）兩種類型：最後我們歸納出一規則，即相同面積差量的每一列中的每一數恰好是前兩數的和（最前面兩數除外），也就是說，對每一列數任取連續三數（A，B，C）就是一組最佳組合，C 為正方形邊長甲，A 為切割比例乙，而面積差量＝B×（2B－A）－C×C＝B×（B+C）－C×C 最小。另外，亦可連續四數為一組合（A、B、C、D）， D 即為組合後長方形長，B 為寬，因此面積最小差量為：B×（B+C）－C×C＝B×D－C×C，可用來預測出不同的正方形邊長甲，它們所得到的面積最小差量相同的最佳切割值。.另外，我們可以面積差量＝1（如底色為黃色那一列）正方形邊長為依據，我們將其面積差量＝1 的正方形邊長甲×倍數，即可預測得到最小面積差量＝倍數×倍數。反之，我們亦能根據面積差量最小值所分解成平方數a× a（倍數×倍數），預測得到最佳正方形邊長＝如底色為黃色那一列正方形邊長甲×a（倍數）。同時，經由我們整理出的規則，預測面積差量為平方倍之正方形邊長，並依據面積差量＝1 的正方形邊長，來預測得到長度為倍數之最佳正方形邊長的凹凸類型

為此長久以來的困惑未釋，也基於作者對數學那股狂熱的執著，故願竭其所能全力以赴，未達目的決無反顧，終至引進漸近分數的理論，進而發現「漸近多邊形，以為有效的解決工具；再經引申與推廣，益覺漸近多邊形為一令人欣慰的結果。

我們在河內塔研究是改變柱數M與盤數N的關係，討論最小步數Q合理範圍。其中，對於任意N盤，改變M柱會使Q在最小值2×N-1到最大值2N-1範圍內變化。 透過研究分析將最佳操作技巧分為讓位法、換位法、原始降柱法與複合降柱法共4類。讓位法：2×N-1與換位法：2N-1，而降柱法則透過分盤降柱概念，將題目簡化拆解，並反覆運用前2者概念完成調節柱暫存的降柱移動，配對出最少步數Q。 將N盤如何切分進行降柱有最佳選擇，且題數間差距與相同差距使用次數也有規律，因此，可建立差距表並累加差距使用重複次數破解任意M柱N盤河內塔的最少步數Q。

探討平面上n條直線，每兩條相交出一個交點，但不三線共點，並在每個交點上標上數字1至n-1，使任何一條直線上恰好出現1至n-1各一次。得到奇數條直線無法、偶數條直線可以。 推廣至三維空間，探討n個平面，每三個相交出一個交點，但不四面共點，發現到三維空間有兩種推廣方式： 一、在每個交點上標上數字，使每條直線上的數字都不重複 二、在每個交點上標上數字，使每個平面上的數字都不重複 在此兩種情況下，可見當有三個平面時皆可以。 探討第二種推廣後發現在六個平面時亦可以給出構造。而後又發現其等價於Baranyai's theorem故得到平面個數為三的倍數皆可以，再根據文獻構造出三維度空間9個平面的一種方法。

1.本研究採用解析幾何方法發現，由正n邊形的特殊切割，發現了新正n邊形面積或與原正n邊形的面積比值都與切掉的小等腰三角形腰長或小正n邊形邊長具有特殊的二次函數的關係，亦即ωn[(r+x)2-(r+x)]+λn，其中ωn=nsinθ/2、λn=n/4 cot(θn/(n-2))，θn=(n-2)π/n ；也因此，當切掉的小正n邊形的邊長在一定的長度時，可得出最小第二層正n邊形，且此時所切掉的小正n邊形是最大的。 2.承1，繼續特殊切割，並重複這些動作往內部一直畫出越來越小的正n邊形，當層數夠多時，這樣的作圖最終會收斂成中間一點。最終取出每一層正n邊形對應的頂點，則頂點軌跡可生成等角螺線，經證明得其總弧長及所掃面積分別與最外層正n邊形邊長及 面積具一定關係存在。

利用電腦程式做大量且密集運算的時候，會因為電腦硬體暫時性的失效而產生計算上的錯誤，為了減少重新計算所要花費的時間，並提高整體計算的穩定性與可靠度，具有錯誤偵測與錯誤修正能力的容錯計算方式是很重要的。本篇報告提出一種具有容錯能力之高斯-喬登消去法，藉由以直觀方式加入的檢查碼及修正的矩陣基本列運算，使得每個階段的運算過程中具有錯誤偵測與錯誤修正的功能，與以往的方法比較起來，多了容錯的能力，但是時間複雜度依然是相同的O(n^3 ) 。

在此作品中，我們探討一些三角形、四邊形乃至四面體的鑲嵌問題(意指內切或內接幾何圖形)，主要成果如下。給定一三角形，我們指定跟它內接的三角形的形狀，而證出內接指定形狀三角形的「外、重、垂、內、旁」諸心之軌跡皆為線段，且能用尺規作出這些三角形之最小者。相對地，給定四面體並選取其某一面，我們證出「有一面平行於此面並內接於此四面體」的正四面體的重心軌跡為四次平面曲線，並求出諸正四面體邊長最小值。其次，我們導出四邊形的內切橢圓所形成的(廣義)Gergonne點的軌跡是圓錐曲線的一部分，並利用平行截線分解出三角形的內切橢圓中心軌跡及Gergonne點軌跡之幾何結構。最後，我們以連續變動的平行平面來截一四面體，套用前述結果，可看出和此四面體相切的橢圓之中心軌跡及Gergonne點軌跡的一些幾何結構。

這篇報告要探討下列的「轉沙發的問題」是否有解？ 有一個長方形的沙發，如圖一，若要求每次只能以「四個頂點逆時針或順時針連續旋轉90 度」的方式轉動，請問當長寬具備何種關係時，沙發經數次轉動後，剛好可以「轉」到相鄰的位置，如圖一，而且沙發坐人的正面方向仍保持不變呢？ 我們把原問題看成「平面座標上長方形旋轉的數學問題」，再利用「平面座標、三角函數、複數、複數的極式表示及向量」等數學工具，導出符合題目要求的方程式，最後證出當長與寬的比值為正實數時，有下列的結果： 1.當長與寬比值為無理數時，此問題無解。 2.當長與寬比值是最簡分數時，若分子為奇數，此問題無解。 3.當長與寬比值是最簡分數時，若分子為偶數，分母為奇數，此問題有解。

以三角形，五邊形，七邊形各頂點為圓心畫圓，讓相鄰圓均外切，從gsp 做圖時發現只有一組滿足的解，因此探討為何只有一組解，推論出這些圓面積和的公式；接著探索方向轉換成偶數邊形，得到每個偶數邊形上能滿足這些條件的圓有無限多組，其中想到另一問題，該如何求這些圓面積和的最小值？在討論的過程中，得到切圓面積和的公式在邊數為4k與4k+2(k?N)時，規律不同，便將偶數邊形的邊數分成兩部分推論，並分別求得結果。