數學科

在三角形的三邊上各取一點，將該點與對面頂點連接成三條「旋切線」，我們把由這三條旋切線所組成的三角形稱作「旋切三角形」。 研究發現旋切三角形與原三角形的面積比及截線比皆與旋切比有關。我們並探討旋切三角形與原三角形相似的「同形旋切」。此外，固定旋切比的旋切三角形與原三角形重心為同一點。我們發現四邊形中的平行四邊形也有這些特性。

希望找出最快的約分方式，所以先找出兩數相除後所得到的餘數，發現餘數和兩數的最大公因數有很大的相關性，餘數的因數中包含了最大公因數，同時餘數還可代表兩數中的大數再和小數繼續求取餘數，或找最大公因數，得到的餘數可以簡化求最大公因數的過程。同時和輾轉相除法比較，可更快找出最大公因數，或者更快判斷出兩數是否互質。並且在求取多個複雜的數字的最大公因數時，也可快速的簡化，而不需要兩兩以輾轉相除法求之。此種求餘數法是在約分時的最佳幫手。

本研究旨在探討剪紙書及網路上介紹六摺與十摺摺紙摺法的正確性與角度的差異性。我們利用30°-60°-90°三角形的邊長比與黃金三角形衍生出的直角三角形其中一邊與斜邊比為1:√5-1 這兩個性質分別來驗證六摺摺法及十摺摺法的正確性。而後我們證出剪紙書及網路上介紹之摺法均未能摺出正確的角度，並研究可摺出正確角度的摺法。最後我們測量正確與錯誤摺法所摺出的角度，利用Excel比較與分析幾種摺法之差異，並探討影響角度正確性的因素：除摺法本身正確與否，還有色紙的大小及厚度、摺紙過程是否準確、步驟多寡等。

本研究主要由一數學競賽問題來進行推廣。我們證明了完美全分割共有5種、完美二分割共有24種、完美三分割共有9種，而完美k分割在K>3時將不存在。我們也進一步將各種圖形繪出，並與相關立體圖形進行比較探討。

在一個n列m行的方格圖中，每一行都必須擺放一顆石頭，共計有m顆石頭，其中擺放石頭的限制條件為『每一顆石頭的左上角方向一路延伸都不可以有其他石頭』。本文研究是在限制條件下計算放石頭可能的方法數，我們利用多項式以及費氏數列求得以下三個主要結論：（1）對於一般的n，求得m=1,2,3,4的放石頭方法數；（2）對於一般的m，求得n=1,2,3,4的放石頭方法數；（3）對於一般的m，建立n=4 的放石頭方法數的遞迴關係。

本研究探討利用截最少顏色段數來組合最多連續整數1、2、3…k-1、k 顆珠子的手環，不\r 同顏色段的珠數可以是1 個、2 個、3 個…，將相鄰顏色的珠子單一、兩兩或三三以上互相組\r 合在一起，組合出最長且最多種不同長度的鍊子。我們發現有趣之處，當手鍊上有N 種顏色段，\r 最多可產生1+N×（N-1）種串珠的組合，手鍊總珠數為1+N×（N-1）個。而且我們參考並修改\r 相關歷屆作品的研究方法，找出比較快速且可篩選過濾重複組合的方式------利用abcde…\r 找出段數所代表的數字，再以數字的排列組合找出相關的隱藏組合，最後利用Excle 程式檢驗。\r 當段數愈多，間隔的組合就愈繁多，從這些繁多的組合中，我們找出1 段~6 段（也就是總珠子\r 數1 顆~31 顆）的最佳解。

有關研究平分(或N 等分)多邊形面積的題材,在全國科展中,屢見不鮮;但其所討論的範圍,大多只是涉及平分(或N等分)多邊形面積的作法,然對平分(或N等分)多邊形面積的分割線數之多寡以及所分割成的圖狀皆未曾討論。而本作品「孔明復生,天下三分計」,除了對三等分面積提出具體的作法外,也針對了“最佳分割線”(即兩條分割線)與“圖狀”作了討論與研究。其次本作品的特色有：1. 分割線過一基準(即一定點P),且分成定點位於多邊形的頂點、邊上、內部、外部等四部分加以討論2. 所分割的面積不但相等且為完整圖形(即不被分離的圖形)3. 探討過定點P 的“最佳分割線”的分法及組數4. 研究“最佳分割線”所分割成的圖狀，並導出定點P 位於N 邊形各個位置所分割成圖狀種類數量的公式。

坊間的一些數學書籍中皆曾提及「定周長」問題的敘述，引起我們對該問題的注意與興趣，因此想嘗試將條件予以限制，增加包含定點的規定，於是我們便開始著手研究第一主題。

本研究目的旨在分析翻轉卡片、正立方體翻轉盒及三角形翻轉盒，並進一步設計出展開圖，應用電腦軟體切割照片貼在展開圖上，列印後再組裝成翻轉卡片或翻轉盒，可透過翻轉動作一直變換不同照片，成為展示照片的有趣商品。結果發現，翻轉卡片可展示四面照片，本研究設計出A4尺寸正反面的展開圖；而正立方體翻轉盒由8個方塊組合而成，連接線位置不同共產生8種翻轉類型，其中以「型2-1-1」可出現六面為最多，而且操作翻轉易回第一面，以座標位移、旋轉方位及動用到的連接線三種方式證明「型2-1-1」類型可以回到第一面；此外，也分析單一正立方體的11種展開圖及三角柱的23種展開圖，挑選出適合的展開圖，設計出正立方體翻轉盒及三角形翻轉盒的平面展開圖。

媽媽給我的零用錢都是五十元和十元的銅板；我發現，如果改變銅板上的錢數時，能湊成的價錢似乎有些規則值得討論；因此就在爸爸、媽媽和老師的指導下做了這個研究。