從word2003的圖示中，我們看做畫圖時每次將四邊形其中一邊延長，其他邊的長度不變，然後畫出四個邊。按照這樣的方法可以畫出許多圖形。我們將每一邊編號後，發現各種圖形的延伸方向和代號有關。因為有一些結論可以從圖形的延伸方向來看。 接著，我們將研究重點放在起點和終點都在同一個位置的封閉圖形。因為這些封閉圖形的代號組合會形成環狀排列。 從環狀排列發現到一些結論：一組環狀排列只有一種圖形，圖形不同，代號不同。畫圖次數有幾組環狀排列，用不盡相異物環狀排列來算。哪些畫圖次數會有環狀排列組合，可用邊數的最小及次小質因數來算。鏡像圖形代號可以算出來。 最後，我們利用發現到的結論來做應用，畫出更複雜的圖形。

下課時，同學們最喜歡玩連直線搶三角形的遊戲了，開始是由小朋友們在白紙上面，隨意的用筆點上幾點，再以長尺每兩點連成一直線，三點則連成一個三角形，看誰連的直線及三角形的數量最多；誰就贏！（但必須遵守遊戲規則，直線和三角形不得交叉或重覆計算。）

網絡儀( Spirograph )(如相片)的構造是使一小圓在一大圓內部，靠著齒輪囓合，沿著圓周滾動（如圖二）在小圓上（（非僅圓周）一點開個小洞，用筆揮入，就可隨著小圓的滾動而描繪出許多美麗的曲線，把玩之際，我們發現這曲線有某些特有的規則性，更有其特殊的數學意義。但一般市面上所見多僅只有一個大圓配合若干個小圓，供人畫圓玩耍而已。事實上，在爾後的討論中，我們將發現，若有足夠的大小不同的大圓與小圓（即不同齒數）供我們選擇時，則網絡儀可發揮極大的作圖功用，在數學上實具有其不可忽視的價值。

月曆上的數字會隨時間流逝，我們試圖觀察並展現出月曆中等差數列數字間的規律，並在月曆上畫出二維平面對稱幾何圖形找出變化規則，讓大家了解日曆數字的變化的規律過程，也讓學習的過程更為生動、多元有趣。

阻擋正多邊形曾在第 44 屆全國科展高小組數學科第二名－阻擋正多邊形出現，其主題是「正方形棋盤儘可能打最少『×』，使其找不到四個空格，以空格當頂點，可連成一個正方形」，本研究改變其規則－討論正方形棋盤儘可能刪除最少的邊，使棋盤中找不到四個邊組成一個正方形。選定這個主題，因為我們數學課本，剛好也學到垂直平行與四邊形及怎樣解題（觀察、察覺數列的規律性）。我們從阻擋正方形研究起，推展正三角形及正六邊形，加上變換棋盤形狀，最後再到阻擋長方形，透過實際操作、表列觀察，從過程中找到阻擋正多邊形的共通策略－兩個方格共用一個「×」及方格放大後呈現回字型一層層增加固定的「×」數，而且特定圖形會像數列排列一樣的有規律性。

這一篇作品是來自於2009年國際數學奧林匹克競賽第六題。 本研究先由直觀觀察思考後利用數學歸納法假設 n≦k 成立再分成三種情形 證明 n=k+1可以成立。 本研究除了證明競賽題目存在性並討論其對稱性及其極端現象，同時對於地雷遞增和地雷遞減提出討論，最後再利用1對1且映成的對應關係說明網路上ai=i和2009年國際數學奧林匹克競賽第六題所設條件相異ai是相同思考結構。

三角形的內心I,向外部或向內部作”過三頂點與I 連線的垂直線”時，I會成為新的三角形的垂心或外心，而且依內、垂、外心的次序循環。新三角形的外心與I 共線，與尤拉線存在特殊的關係且三角形間相似。

延續去年n等分三角形問題，欲探索角度等分問題，於是對量角器上的1°產生興趣。

每次做異分母分數的比較大小，為了求各分母的最小公倍數，又是乘，又是除，忙得不可開交，當時心裡就一直在嘀咕著：「如果有方法，只做簡單的計算，或者是一眼就能看出各個分數的大小，那該多棒呀！」 於是，就把這個心裡的想法，提出來請教老師，老師笑說：「你提出的問題很新鮮，也很有創意，照道理說，應該有比較方便的方法可以做分數的比較大小，不過也要看看使用的時機啊！問題既然提出了，那麼我們就用它來當做研究的主題吧！」於是……

從堆垛金字塔發想，定義了「不完整堆垛」。 一、底列個數n之二維不完整堆疊方法數P(n)=1/√5[(1+√5/2)2n-1-(1-√5/2)2n-1] 且P(n)=3·P(n-1)-P(n-2),其中P(1)=1, P(2)=2。 二、以邊長n之正三角形為底的三維不完整堆垛，方法數T(n)=4T(n-1)-2T(n-2)+T(n-3), 其中T(1)=1, T(2)=2, T(3)=7恰與以正方形為底相同。 三、以邊長n之正六邊形為底的三維不完整堆垛，方法數H(n)=9H(n-1)+3H(n-2)+H(n-3), 其中H(1)=1, H(2)=7, H(3)=67。 四、正三角形與正六邊形的凹洞數有6倍關係，影響方法數。 五、T(n), S(n), H(n)是新發現的數列。 六、本研究討論正三角形、正方形、正六邊形為底。其他正多邊形皆無法研究。 七、以「m列m+K行」長方形為底的三維不完整堆垛，只能橫放方法數 A(m,k)=1+A(1,K)·(m-1)2+A(2,K)·(m-2)2+…+A(m-2,K)·22+A(m-1,K)·12 若能橫放或直放方法數 R(m,k)=4R(m-1,l)-2R(m-2,k)+R(m-3,k)+(2k+1)R(m-1-k,k)-(2K-1)R(m-2-k,k) 八、以股長n之等腰直角三角形為底的三維不完整堆垛，方法數 I(n)=3I(n-1)-2I(n-2)+I(n-3)，其中I(1)=I(2)=1,I(3)=2。 九、以邊長n之菱形為底的三維不完整堆垛，方法數r(n)=5r(n-1)-r(n-2)+r(n-3)，其中r(1)=1, r(2)=3, r(3)=15。 恰與平行四邊形相同。 十、正三角形與菱形的凹洞數有2倍關係，影響方法數。