數學科

月曆上的數字會隨時間流逝，我們試圖觀察並展現出月曆中等差數列數字間的規律，並在月曆上畫出二維平面對稱幾何圖形找出變化規則，讓大家了解日曆數字的變化的規律過程，也讓學習的過程更為生動、多元有趣。

有次閱讀一篇有關公切圓的文章，使我們對公切圓產生好奇，進而想知道n 個圓究竟有存在多少個公切圓呢？於是我們用雙曲線上一點到兩圓距離之差為定值，找出兩圓的公切圓，並以雙曲線交點為圓心，作出任意三圓的8個公切圓。另一方面，我們以反演法作圖驗證，利用反演後圖形的相對關係不變之原理，推廣出n 圓公切圓的作圖與判別法。進一步地，將公切線視為一曲率半徑無限大之圓，將曲率半徑縮放以判別公切圓相關性質。最後研究歸納出雙曲線、反演、切線等研究方法的優勢與劣勢，更結合雙曲線與反演法判別n 圓公切圓的存在情況，並以條件方程式 完整呈現n 個圓所存在最多的公切圓數目，即9 圓以上最多僅存在2 個公切圓。

因為千元大鈔的誘惑以及班上象棋比賽的關係，我們開始研究點和點之間的關係，並把研究結果應用在日常生活之中。我們發現了將點一筆畫走完的方法，也知道了如何分組才能每個人都互相比賽到，而且這兩者之間有緊密的關係。最後，我們試著找出跳棋比賽的分組賽程，利用點一筆畫的發現，我們找到了比較有效率的辦法。

本研究源自於第54-4期科學研習月刊上的一道數學題目——神算，我們主要在探討：如何由第一列n個色球迅速判斷出圖形第n列色球的顏色。一開始先從n層第一列n個色球的排列組合方式開始探討、歸納，接下來我們從最簡單的層數開始觀察，慢慢推導兩層及三層公式，並歸納出符合兩層公式系統的層數：am=3m-1+1層、三層公式系統的層數： bm= 2×3m-1+1層。接著我們把所有層數都化為函數式，在過程中，我們發現這並不是一道普通的數學題，因為這個題目竟和三進位有莫大的關聯存在！於是，我們將最少步數結合重新定義的「三進位法」，找出了n層最少步數解法的通式： f∏i=1k(ai+1) (x)=∑i=1k[∏j=0i-1(aj+1)] fai+1 (ai3i-1+1)。除了上述之外，我們還發現只需知道圖形中任一層的組合，即可求出其下方任一列、任一個色球的快速解法。

從正多邊形的各種不同的等分切割中，先證明各組切割三角形的全等或相似關係，再研究其切割相似三角形間面積和比例的相關數值。接著推論同組相似三角形的面積總和，並利用無窮等比級數推算特定區域面積的相關公式。最後再利用各種等分數去推導等分數與特定切割三角形的面積和比例關係。

欲找一多項式Axi＋1，能使相異之n 個數，經由此多項式之運算，產生兩兩互質的數，則能夠符合上述條件之A 值的數，為此n 個數中，兩兩數之差的最小公倍數。 舉例來說，4、6、12 三個數中，兩兩數之差為2、6、8，而2、6、8 之最小公倍數為24，則找到一多項式為24xi ＋1。此時4、6、12 經由多項式24xi＋1 運算後得到97 （1×97）、145（5×29）、289（17×17），很顯然的，97、145、289 此三個數兩兩互質。

「賽局理論」其實就是一種科學、理性行為在一個會相互影響的狀況，在一些比賽中是可以應用的。因為要贏得比賽，必須要有實際上的能力(速度、金錢等等...)、技術(這方面就可以運用賽局理論)還有重要的....運氣！例如:統一集團7-11與全家便利商店,為了營業額和吸引消費者上門,在於商品部份的價錢與優惠和一些促銷方案計畫,如何讓店家可以創造出更高的業額與價值,同時間也滿足消費者的需求。而「賽局理論」就很清楚得剖析了生活上這些類似的問題，能藉此理論找到最好的方法，又兼顧著個人的最大利益的同時並創造雙贏。在生活中我們常常面臨各式各樣的賽局，只是我們都沒有發現，小至與人互相擋到要往左還是右邊讓的問題，大到國際談判、軍事競賽和登入月球…等問題，若能進一步收入研究了解賽局理論，必能藉此為我們找尋到最佳的解決模式。

上數學課時，老師說：「有個非常有趣的數學遊戲，你們想不想玩？」我們異口同聲地回答：「想玩!」「那麼，大家先想想看用什麼東西可以代表一條線或線段的？」「火柴棒」「牙籤」…最後，大家決定用乾淨、美觀的牙籤來玩「線接線」的遊戲。

仿照向日葵花盤生長的模式，我們單純的以數學方法：改變發散角φ，研究原基排列的規則，有以下研究目的。一、發散角與螺旋結構之關係二、發散角產生雙螺旋結構的特性三、發散角為2π的有理倍數亦產生雙螺旋結構四、螺旋數目為Lucas數列相鄰兩項的向日葵的發散角與性質以 φ/2π 的連分數求得近似分數的分母構成Sφ數列，便可作出以Sφ數列為單螺旋數目的原基排列；原基產生雙螺旋結構亦存在，但是螺旋數目並非必為Sφ數列中相鄰兩項。發散角即便為2π的有理倍數，而使得固定間隔順序的原基會共直線，但是並不影響原基產生雙螺旋結構。螺旋數目為Lucas數列相鄰兩項的向日葵的發散角，經由連分數相關概念計算而得φL＝4π/5＋√5，其螺旋數目與黃金角所產生的雙螺旋結構性質相似。

下課時，同學們最喜歡玩連直線搶三角形的遊戲了，開始是由小朋友們在白紙上面，隨意的用筆點上幾點，再以長尺每兩點連成一直線，三點則連成一個三角形，看誰連的直線及三角形的數量最多；誰就贏！（但必須遵守遊戲規則，直線和三角形不得交叉或重覆計算。）