本研究主題是由計算方格紙上某特定矩形的對角線所穿越的方格數為起點，進一步深入探討『方格紙上，任意的曲線所穿越的方格數該如何的計數，並尋求其一般性的解決方法？』我們從開放曲線（含線段、折線段、曲線段）開始研究，先找到了遵守「最短路徑」的一般性解法；再配合「反曲點」將原線條做有效的分割，而將不同的曲線段做適當的組合計數，最後完成對任意封閉曲線的探討，並歸納得到完整的一般性的解決方法！

一、 基於一個手機遊戲的規則：將1~9填入3×3方陣中(不重複)，使四個角落的田字形內數字總和相等，這玩法引發了我們的好奇。二、 本研究主要探討能否找到一種有規律的填法，使四個角落內數字的總和相等並恰好就是最大值或最小值。我們先找出3×3中所有可能的組合，再以類似方法延伸至5×5，再更進一步推到n×n，因而有了驚喜的發現。三、 本研究主要發現有：（一）當n=4m－1時(m∈Z)，最大值、最小值的填入方法。（二）當n=4m＋1時(m∈Z)，最大值、最小值的填入方法。

這次的評審由五位教授組成，其方式為：先各組（高中組、國中組、高小組、初小組）代表作品共59件，分給各評審委員審查。在24日當天，分兩組；一組審查高小組與高中組，另一組審查初小組與國中組，我們分別與參加學生當面接促，探討他們的研究動機、數學結構、研究過程、其完整性等，如有問題時，我們仍給予指導，並多給予鼓勵。 這次的作品中，其成績比往年進步很多是可喜可賀的現象。有不少作品中，甚有創意，有系統化的探討，證明的完整，並有獨特的觀點與思考，有些自己設計電腦程式，利用電腦還引證成果的準確性。道具上與版面的製作甚精美，有聲有色，是一次成功的科學展覽。

課堂上曾碰到右題：已知，問圓 O 上那一點與 AB 所連成之三角形面積最大？當我們求出此點為 之中垂線與圓 O 中優弧的交點 M 時，老師隨即提出另一問題：此時三角形的周長是否也最長？由此引發探究的興趣。

上個學期，我們學校正在興建新教室，下課時候我和幾位好奇的同學總是跑去參觀泥水匠抹牆壁貼磁磚，看他們靈巧的手藝，不一會功夫就舖出一大塊美麗天地，真叫人佩服！有時我們也撿拾一些丟棄不用的各式各樣小磁磚回來拼拼排排玩圖案，有趣極了！我們不但可以把不同的磁磚鋪滿整整一大塊不留空隙，也可以拼出好幾種多邊形的圖案來，過了一段時間，我們學到角度問顯，就將它應用到多邊形上，嘗試找出不同的多邊形的角度變化情形，只是我們能力實在有限，無法明自其中奧妙，於是大家就去請教老師，老師也認為這個題材有趣又值得探討，就這樣開始了這趟「磁磚數學」之旅。

本篇研究主要在探討「將n顆相同的球放入m個相同箱子的方法數fm(n)的性質」。我們先利用「正三角形內部任一點到三邊的距離和」及「正三角錐內部任一點到四面的距離和」為定值，求出f3(n), f4(n) ，進而得知fm(n)的公式是由一系列的多項式所構成。接著證明fm(Lmq+r)是q的m-1次多項式及當m≧2k-1, k=1, 2, 3時，第k高次項係數所構成的數列〈Akm, r〉為k階等差數列並求得ΔiAkm的一般式。 接著引進階差運算，證明在m是偶數的條件下，若〈Akm, r〉是k階交錯等差數列，則〈Akm+1, r〉是k階等差數列，進而保證〈Ak+1m+2, r〉是k+1階交錯等差數列，最後得證m≧2k-1, kϵN時， 必為k階等差數列。 若Akm為Lm的單項式，我們找到一個系統化求ΔiAkm的方法，藉此可求得數列〈Akm, r〉的任一項。最後給出一個關於Akm為Lm是單項式的猜想。

本文利用GeoGebra進行關於拿破崙初始n邊形之研究。一開始研究拿破崙初始n邊形的性質，發現不論奇數邊或偶數邊拿破崙初始n邊形都存在著一些不變的性質 。之後，由拿破崙初始n邊形的鄰邊中點連線向外延伸、對角線以固定的規律相連兩種連線方式，分別會形成外角星及內角星。拿破崙初始n邊形會和其畫出的m階交點圖形、中點連線所圍出的圖形有因邊數奇偶而異的相似性質。拿破崙初始n邊形繪出之內n角星在不重複之前題下，同層內n角星截線段比例固定。接著我們依序研究拿破崙內角星及拿破崙外角星之共同性質，及投影幾何與拿破崙定理的關聯性，最後發現拿破崙初始n邊形為正n邊形的投影。

本次科展由一個高中關於柯西不等式的題目『設0

當任意多邊形每邊點數不斷增加時，總和點數應該是多少?其變化之方式又是為何呢?當圖形由平面改成立體時，其總和點數之變化是否又與平面時的變化有何關聯呢?本篇文章主要是探討多邊形在每邊點數不斷增加時，總和點數之變化情形，進而探討在三角錐、四角錐…至 m 角錐之總和點數，循序漸進的去找出數與形之規律。

在一個n列m行的方格圖中，每一行都必須擺放一顆石頭，共計有m顆石頭，其中擺放石頭的限制條件為『每一顆石頭的左上角方向一路延伸都不可以有其他石頭』。本文研究是在限制條件下計算放石頭可能的方法數，我們利用多項式以及費氏數列求得以下三個主要結論：（1）對於一般的n，求得m=1,2,3,4的放石頭方法數；（2）對於一般的m，求得n=1,2,3,4的放石頭方法數；（3）對於一般的m，建立n=4 的放石頭方法數的遞迴關係。