數學科

在n個數字當中連續三個數字皆未出現連續遞增情形者我們將其稱作為aviod123。在n個數字當中連續三個數字皆未出現中小大排列情形者我們將其稱作為aviod213。我們針對這個問題用反面，分類的方式是來處理。將其依照前兩個數字的不同分類成下表並將表中每一個情況所會產生的排法寫成矩陣形式配合遞迴關係式我們將會得到以下結果 1.aviod123的結果： Tn= T2=T3= 其中An(n)為矩陣中所有元素的總合(被aviod123的數量) 我們將其用sigma表示並化簡，化簡如下： 2.avoid213的結果： Kn= 其中B(j，k，u)=(第j個矩陣中，第k行，第k行的前u項)

有次閱讀一篇有關公切圓的文章，使我們對公切圓產生好奇，進而想知道n 個圓究竟有存在多少個公切圓呢？於是我們用雙曲線上一點到兩圓距離之差為定值，找出兩圓的公切圓，並以雙曲線交點為圓心，作出任意三圓的8個公切圓。另一方面，我們以反演法作圖驗證，利用反演後圖形的相對關係不變之原理，推廣出n 圓公切圓的作圖與判別法。進一步地，將公切線視為一曲率半徑無限大之圓，將曲率半徑縮放以判別公切圓相關性質。最後研究歸納出雙曲線、反演、切線等研究方法的優勢與劣勢，更結合雙曲線與反演法判別n 圓公切圓的存在情況，並以條件方程式 完整呈現n 個圓所存在最多的公切圓數目，即9 圓以上最多僅存在2 個公切圓。

學校的教材中都只提到凹面鏡有焦點，但都沒有提到何種凹面鏡才會匯聚於焦點。但經過本研究後，我們發現其實光射入很多曲面後，除了拋物線外，並不會匯聚在一個焦點而是會匯聚成一條焦線。本研究藉由數學計算來推導出平行光射入幾種中不同的二次曲線後，形成的焦線之參數式。之後再藉由電腦繪出焦線的圖形，並加以討論。最後，將之前的推導出的二次曲線的焦線，加以推廣，討論若平行光射入由該二次曲線垂直堆疊所形成的曲柱面後，會匯聚成怎麼樣的曲面。

猶記得老師上到第三章數與形的樣式與規律時，曾拿她親自做的拼布作品給我們\r 看，震撼之餘又深深為此幾何拼湊之美而著迷，知道說在我們生活週遭也感受到很多建\r 築物的設計樣式都採用幾何圖形來拼湊，尤其在地板、牆壁的樣式，而且大多選擇採用\r 許多正多邊形來拼湊，例如：正方形、正六邊形…等，我們就很好奇要完成這樣的幾何\r 圖形拼湊是不是任何一種正多邊形都可以完成這樣的鋪貼？老師就鼓勵我們利用此學期\r 教的幾何圖形性質及幾何圖形的變動來推導其可能情形及為什麼？於是我們就找了幾個\r 志同道合同學組成一個研究小組試著來做

圓周上相異n個點，將圓周分割成n段弧，每次每個點沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之中點，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？我們發現，m的最小值為n+2。更進一步發現，m的充要條件為m≧n+2且m≠kn-1, kn, kn+1，其中k為正奇數。接著，我們將問題一般化，圓周上相異n個點，沿逆時針方向變換成與下一點所成弧之p:q處，若某點經m次變換後回到初始點，則m的最小值以及m的所有可能值為何？同時，我們也針對n個點具特殊初始位置座標來研究其回歸性質。

從蝴蝶定理（Butterfly theorem）的圖形進行發想，在前人作品發想出研究方向，除了在圓與正方形以外，在其他圖形上討論蝴蝶形的其他性質是否有不同的發現？我們在圓、橢圓、拋物線與雙曲線之重疊圖形上作出對稱與非對稱蝴蝶形，對其面積、邊長、角度進行計算與歸納，再推廣到在拋物線上另找任意兩點做蝴蝶形；在研究過程中，我們也發現了圖形上一些特殊的性質，進行一連串的研究。且以普通高級中學課程綱要中數學科課程綱要內容為我們推論工具，希望能讓多數高中程度的學生均能了解我們的發現。

在一個n列m行的方格圖中，每一行都必須擺放一顆石頭，共計有m顆石頭，其中擺放石頭的限制條件為『每一顆石頭的左上角方向一路延伸都不可以有其他石頭』。本文研究是在限制條件下計算放石頭可能的方法數，我們利用多項式以及費氏數列求得以下三個主要結論：（1）對於一般的n，求得m=1,2,3,4的放石頭方法數；（2）對於一般的m，求得n=1,2,3,4的放石頭方法數；（3）對於一般的m，建立n=4 的放石頭方法數的遞迴關係。

本研究係用「數列命名的方法」作為骨幹，解決或簡化連方圖形(polyominoes,也稱作連方圖形)的相關問題。連方圖形係指有限個方塊聯通、非空且相連。「數列命名的方法」係指將連方圖形的邊長連續寫成數列。若將連方圖形放在歐幾里得平面上，每個相鄰頂點之間的位移即是被記錄的邊長，故數列中紀錄的邊長含正負號，並且數列滿足兩個充要條件。 為解決使用「數列命名的方法」遇到的問題，目前建立了一套系統、技巧。是將特定圖形，此指連方圖形旋轉、鏡射、圖形合併等等。 研究發現此方法可以解一些連方圖形的問題，例如連方圖形的種類、任意的多個相同的連方圖形是否可以填滿(嵌滿)矩形(平面)。

仿照向日葵花盤生長的模式，我們單純的以數學方法：改變發散角φ，研究原基排列的規則，有以下研究目的。一、發散角與螺旋結構之關係二、發散角產生雙螺旋結構的特性三、發散角為2π的有理倍數亦產生雙螺旋結構四、螺旋數目為Lucas數列相鄰兩項的向日葵的發散角與性質以 φ/2π 的連分數求得近似分數的分母構成Sφ數列，便可作出以Sφ數列為單螺旋數目的原基排列；原基產生雙螺旋結構亦存在，但是螺旋數目並非必為Sφ數列中相鄰兩項。發散角即便為2π的有理倍數，而使得固定間隔順序的原基會共直線，但是並不影響原基產生雙螺旋結構。螺旋數目為Lucas數列相鄰兩項的向日葵的發散角，經由連分數相關概念計算而得φL＝4π/5＋√5，其螺旋數目與黃金角所產生的雙螺旋結構性質相似。

在2n×2n（n?N）的方陣中，刪除任何一個位置的方格，剩餘的方格皆能被填滿，則其規律性為何？如果在m×m（m N，m＞1）的方陣中，刪除任一格方格，剩餘方格是否也皆能被填滿？本篇研究主要是利用實際操作的過程中來找尋規律，再將發現的結果做歸納分析並深入探討，找出其規則，同時也找到L型方格能被填滿的方式，有助於我們尋找快速的方法來填滿方陣。