本研究首先從「給定三角形，由兩頂點分別連接直線至對邊，將這三角形分割為四塊，要怎樣分割才能使越多塊面積相等呢？」的問題開始，發現解決這問題的方法可應用於解決「任意三角形，三邊分別三等分，將三頂點對應連接其對邊的等分點，則中間形成的三角形面積為原三角形面積的多少？」。發現這問題中間的三角形和原三角形有一種特殊關係(中間三角形的三邊固定方向延長兩倍，其端點剛好是原三角形的三頂點)，我將這種關係擴展為本研究的主題：「給定三角形，沿著這三角形的三邊(固定方向)分別延長或縮短某倍數，形成的新三角形和原三角形有怎樣的面積關係？」、「給定四邊形，沿著這四邊形的四邊(固定方向)分別延長或縮短某倍數，形成的新四邊形和原四邊形有怎樣的面積關係？」發現三角形和四邊形推出的結果共有一些相似的性質。但一般情況下，四邊形並不能像三角形可推出一般公式。例如縮小倍數和對稱的縮小倍數，在三角形時，所得到的兩三角形面積相等；在四邊形時，只有在平行四邊形才能成立。最後研究古埃及人的任意四邊形面積公式的正確性與真正面積的關係，並推導出四邊形的面積公式與其性質。

本研究係觀察球在樓梯間滾動的方式，尋求丟球的一般式。並利用「下樓梯的第一步」，解釋丟球具有「費式數列」的現象。筆者，並利用「下樓梯的第一步」及表格分析探討「費式數列」，並對於「費式數列奇偶性」提出分析。

本研究從探討多米諾骨牌遊戲出發，討論可否利用不同策略達成骨牌遊戲勝利，並且從遊戲過程中研究骨牌特性，思考如何將此特性與四則運算結合，研究出不同的遊戲玩法，除此之外，也期望在研究過程中，可以探討出骨牌排列的規則，進而歸納出合適的公式，以利遊戲進行與增加訓練四則運算能力之機會。

圖形的重疊會因為線條重疊處產生亮紋，我們分別去討論同心圓系，平行直線系，佛瑞奈環紋互相重疊產生的干涉現象，並嘗試以極座標表示產生的圖形，及其出現位置關係，以數學方式解釋物理的干涉。

本研究係用「數列命名的方法」作為骨幹，解決或簡化連方圖形(polyominoes,也稱作連方圖形)的相關問題。連方圖形係指有限個方塊聯通、非空且相連。「數列命名的方法」係指將連方圖形的邊長連續寫成數列。若將連方圖形放在歐幾里得平面上，每個相鄰頂點之間的位移即是被記錄的邊長，故數列中紀錄的邊長含正負號，並且數列滿足兩個充要條件。 為解決使用「數列命名的方法」遇到的問題，目前建立了一套系統、技巧。是將特定圖形，此指連方圖形旋轉、鏡射、圖形合併等等。 研究發現此方法可以解一些連方圖形的問題，例如連方圖形的種類、任意的多個相同的連方圖形是否可以填滿(嵌滿)矩形(平面)。

去年以九方格加法的研究，作品參加全國科展比賽，蒙評審的嘉許鼓勵，我們除了高興所付出的辛苦，獲得了肯定，也更堅定我們由興趣投入研究的信念。現在把加法研究的部分結論摘錄如下： (一)凡具有特定規則排列的整數，就可用來填入九方格，使每直、橫、斜的和相等。 (二)排九方格有八種型式，是按左旋（右旋），互換的規律。 (三)每直、橫、斜的和是中數的 3 倍，與中數所成之線去掉中數之和，必為中數的 2 倍。 一年來我們持續著加法研究的結論，不斷的研究、探討，進一步的發現，九方格既然可以用加的，使直、橫、斜的和相同，那麼是否也有乘法的關係，能使各直、橫、斜的積相同呢？減法及除法是否也能應用於九方格遊戲中呢？這些有趣的問題，都是我們很想去瞭解的。

當數學課上到數形關係時，想起之前偶然看到的一個遊戲，便向老師請教是否與所學的單元有關，老師也覺得頗有趣，於是我們找了幾位志同道合的夥伴研究討論。該遊戲的規則是這樣的：將點數為１～１０的１０張撲克牌疊成一疊（背面朝上），翻開第一張為數字１，第二張放到最底下，翻開第三張數字為２，第四章在放到最底層下，依此類推，使得撲克牌出現的順序依序為１～１０。餵了找到如何排列能使撲克牌出現順序合於上述規則，於是展開我們的研究，結果發現此１０張撲克牌的排列順序隱含著某些規律且可延伸至更多張的數字牌，此外，更能進一步的推出某個位置該放何數字或某數字該放置於何位置的規律。

在學校科研營的教材中，有一個題目，其內容相當:「在一列格子中，放入黑棋與白棋。規定白棋不可連續放置，而黑棋不受此限，請問共有幾種可能的排列方式?」此題之答案，基本上就是鼎鼎大名的費伯那契數列(Fibonacci Sequence)，因此我們用此規則，而把一列格子橧加為m列n行，用來探討它的規律及關係。

我們研究出 柱河內塔的移動，可透過優選得到最佳化，並推出其通式。成功的解決了”Explorations in 4-peg Tower of Hanoi” ( Ben Houston & Hassan Masum , 2004 )這篇論文，所談及的『百年來，河內塔4柱以上的移動是不能証明最優化』。在研究過程中，我們透過移動策略與優選方法，發現將 柱河內塔完成移動所需的最少步數，依序寫成數列，其間關係存在有趣的巴斯卡三角圖型，利用此關聯性，我們成功的導出4柱、5柱、6柱的公式及可一般化的 柱最佳化通式，完整的解決 柱河內塔長期以來未能解決的問題。

本研究主題是由計算方格紙上某特定矩形的對角線所穿越的方格數為起點，進一步深入探討『方格紙上，任意的曲線所穿越的方格數該如何的計數，並尋求其一般性的解決方法？』我們從開放曲線（含線段、折線段、曲線段）開始研究，先找到了遵守「最短路徑」的一般性解法；再配合「反曲點」將原線條做有效的分割，而將不同的曲線段做適當的組合計數，最後完成對任意封閉曲線的探討，並歸納得到完整的一般性的解決方法！