數學科

本年度的作品一般而言水準不錯。選題廣泛、探討深入且完整是主要的優點。有些作品是從國內外一些數學期刊上的問題得到靈感．加以研究，而得到可觀的成果。有些作品走對過去的作品，從不同的角度探索，因而能對整個問題的了解較透澈。大部分作品的作者，由其清晰的表達，及能及時回答評審的發問，可看出學生參與的程度極高，此為可喜的現象，略微遺憾的是，有一件作品內容明顯有誤，在縣市參展時卻未被發現而推薦至全國。另有些學生的作品能處理一般的問題，或數字極大的情況，但對小數字或特例反而不會回答，顯見對作品的內涵並不十分了解。

三角形的內心I,向外部或向內部作”過三頂點與I 連線的垂直線”時，I會成為新的三角形的垂心或外心，而且依內、垂、外心的次序循環。新三角形的外心與I 共線，與尤拉線存在特殊的關係且三角形間相似。

本研究旨在探討剪紙書及網路上介紹六摺與十摺摺紙摺法的正確性與角度的差異性。我們利用30°-60°-90°三角形的邊長比與黃金三角形衍生出的直角三角形其中一邊與斜邊比為1:√5-1 這兩個性質分別來驗證六摺摺法及十摺摺法的正確性。而後我們證出剪紙書及網路上介紹之摺法均未能摺出正確的角度，並研究可摺出正確角度的摺法。最後我們測量正確與錯誤摺法所摺出的角度，利用Excel比較與分析幾種摺法之差異，並探討影響角度正確性的因素：除摺法本身正確與否，還有色紙的大小及厚度、摺紙過程是否準確、步驟多寡等。

本研究首先從「給定三角形，由兩頂點分別連接直線至對邊，將這三角形分割為四塊，要怎樣分割才能使越多塊面積相等呢？」的問題開始，發現解決這問題的方法可應用於解決「任意三角形，三邊分別三等分，將三頂點對應連接其對邊的等分點，則中間形成的三角形面積為原三角形面積的多少？」。發現這問題中間的三角形和原三角形有一種特殊關係(中間三角形的三邊固定方向延長兩倍，其端點剛好是原三角形的三頂點)，我將這種關係擴展為本研究的主題：「給定三角形，沿著這三角形的三邊(固定方向)分別延長或縮短某倍數，形成的新三角形和原三角形有怎樣的面積關係？」、「給定四邊形，沿著這四邊形的四邊(固定方向)分別延長或縮短某倍數，形成的新四邊形和原四邊形有怎樣的面積關係？」發現三角形和四邊形推出的結果共有一些相似的性質。但一般情況下，四邊形並不能像三角形可推出一般公式。例如縮小倍數和對稱的縮小倍數，在三角形時，所得到的兩三角形面積相等；在四邊形時，只有在平行四邊形才能成立。最後研究古埃及人的任意四邊形面積公式的正確性與真正面積的關係，並推導出四邊形的面積公式與其性質。

本研究在探討Ramseygame所蘊藏的數學原理。探究「一個m點之完全圖，若使用n種顏色將線條著色，則使其“必能”圍成同色三角形之最小m值為何」。研究發現，隨著完全圖點數的增加，遊戲的玩法蘊含著特定規律與「數學歸納法」的精神。此外，若將使用的“顏色個數”所對應之“完全圖點數”之最小值以數列表示，研究發現數列各項間存在著“遞迴關係式”，並進一步推導出其「一般項」。然而，若改變遊戲規則，探討「一個m個點之完全圖，若使用n種顏色，二人可輪流任意使用將線條著色，則使其能夠形成一個完全由異色n邊形所組成的n值為何？」。而研究發現可進而發展成一種好玩的新遊戲。透過此研究發現，遊戲不僅可以解釋生活問題，亦可應用於實際生活上。如：車線規劃、運輸…等，十分有趣。

下課時，同學們最喜歡玩連直線搶三角形的遊戲了，開始是由小朋友們在白紙上面，隨意的用筆點上幾點，再以長尺每兩點連成一直線，三點則連成一個三角形，看誰連的直線及三角形的數量最多；誰就贏！（但必須遵守遊戲規則，直線和三角形不得交叉或重覆計算。）

在這篇報告中，我們探索了「將錯就錯的 Knuth 河內塔」問題。這個問題和原始高中課程的河內塔問題非常相似，起因於數學家 Knuth 的一次筆誤(詳細問題的定義見內文)。在這個新的規則之下，我們意外發現有深刻的數學內涵及令人意外的數學連結：與電腦演算法、正整數的分割、數列的同餘、分子分母皆為費波那契數的真分數之排序都有密切的關係。我們做出了以下結果(分別為內文中的三大段)：(一) 結構分析。移動環所需要的次數，如何移動環並分析每一次動作所動的環，及每個環何時被動到並給出演算法。(二)正整數的分割。所有的移動步驟將將正整數做了一個新的分割(Partition)；此分割模 k 之後有良好的循環性質。(三)費波那契真分數的排序。這個正整數的分割形成一張表，這張表恰好就是分子分母皆為費波那契數的真分數之排序。

欲找一多項式Axi＋1，能使相異之n 個數，經由此多項式之運算，產生兩兩互質的數，則能夠符合上述條件之A 值的數，為此n 個數中，兩兩數之差的最小公倍數。 舉例來說，4、6、12 三個數中，兩兩數之差為2、6、8，而2、6、8 之最小公倍數為24，則找到一多項式為24xi ＋1。此時4、6、12 經由多項式24xi＋1 運算後得到97 （1×97）、145（5×29）、289（17×17），很顯然的，97、145、289 此三個數兩兩互質。

『複製正方形－談最少步驟矩形方格化』本文由一個限制條件出發：『有一種電腦軟體只能複製 1×1 的正方形，試問要構造一個 13×13 的正方形方格至少需要複製幾次？』利用相同的限制條件再推廣至 N×N 正方形，以及延伸至 N×M 的矩形。從 N×N 正方形須複製 1×1 正方形的最少次數的解題過程與 N×M 長方形複製 1×1 正方形的最少次數的解法統合，最後回歸到題目將一個矩形方格化須複製幾次的正方形。

我們主要是探討在不同曲面上的三角形的心投影到平面上的對應情形，將內容分成四個部分。第一部分，我們探討平面上的三角形四心：重心G、垂心H、外心O、內心I投影到另一平面的對應情形。四心中只有G具有不變性，而H、O、I在某些情況下才具有不變性。第二部分，我們將之推廣，探討球面三角形的四心投影到平面的對應情形。其中，又分成正平面(平行於三角形的平面)與斜平面(不平行於三角形的平面)來討論，四心在正平面皆具有不變性，但在斜平面中皆須在某些情形下才具有不變性。第三部分，我們再推廣到圓柱三角形的情形，並且建立了一種模式，試著找在圓柱上的三角形四心。第四部分，我們試著研究三角形的某一頂點沿著一條直線變動時，四心的變動與投影的四心的變動的軌跡，是什麼樣的圖形。