本文動機來自新聞報導美伊戰爭的消息，美軍從航空母艦發射巡弋飛彈轟炸情報地點；由於飛彈昂貴，情報地點範圍遼闊，若將飛彈落點視為圓心，爆炸範圍為單位圓，轟炸範圍欲覆蓋面積，最少應發射幾顆飛彈才能完全轟炸？引起我們極大的好奇心去探討『最少需要幾個單位圓才能完全覆蓋半徑為ｎ單位的圓？』 研究中利用學過的幾何概念，分成有邊界及無邊界限制兩方向討論。經探討後，發現：在正三、四、五邊形時，有邊界限制的覆蓋方式所需的單位圓數較少，且其數量公式分為、n2、還有(n為偶數)及(n為奇數)。 另外，無邊界限制的情形下(利用正六邊形切割平面再覆蓋)，覆蓋大圓所需單位圓的數量不但有規律且為最少。應用此規律性設計電腦程式輔助，不但能快速且正確計算覆蓋圓所需數量及最大覆蓋半徑，並能將此結果應用在「6邊以上正多邊形的覆蓋」，還有日常生活中的園藝灑水、山中救難和尋找黑盒子..等。本文在全市科展獲獎後，曾與當時搜救華航空難的相關學術單位討論，我們的研究結果是否真的有所助益?答案是肯定的(相關存證文件詳見附錄)。

「賽局理論」其實就是一種科學、理性行為在一個會相互影響的狀況，在一些比賽中是可以應用的。因為要贏得比賽，必須要有實際上的能力(速度、金錢等等...)、技術(這方面就可以運用賽局理論)還有重要的....運氣！例如:統一集團7-11與全家便利商店,為了營業額和吸引消費者上門,在於商品部份的價錢與優惠和一些促銷方案計畫,如何讓店家可以創造出更高的業額與價值,同時間也滿足消費者的需求。而「賽局理論」就很清楚得剖析了生活上這些類似的問題，能藉此理論找到最好的方法，又兼顧著個人的最大利益的同時並創造雙贏。在生活中我們常常面臨各式各樣的賽局，只是我們都沒有發現，小至與人互相擋到要往左還是右邊讓的問題，大到國際談判、軍事競賽和登入月球…等問題，若能進一步收入研究了解賽局理論，必能藉此為我們找尋到最佳的解決模式。

本文是從學校生活中常見的換座位，所延伸出來的數學問題，主要是按照一個換座位的規則來探討所有可能的方法數，規則中要求每人每次只能朝前、後、左、右的方向換位置，並且必須離開原位。在處理過程中，我們發現方法數都是平方數，至於是哪一個數的平方，後來發現此數恰好就是原先問題再限制成倆倆換座的方法數，在2×n的情形中就會得到Fibonacci平方數列。利用自行定義的迴圈乘積的方法我們證明這個結果，把此結果應用到不規則平面圖形、立體、或是再加上可斜角交換、圖上都有不錯的結果，最後也找到漢米爾頓迴圈的一個判斷法則。

某日看到一建立光纖網路的題目，發現這個題目和實際應用有些關聯。於是我們先從畫圖列出所有可能的種類，並從各城市連結的關係推得城市數和所有可能數關係： N(n+2)=3N(n+1)－N(n) ,（n≧1 ,n為自然數），再利用遞迴數列得到其一般項，並且由數學歸納法證明：N(n+1)=1/√5*(x1n-x2n), (n≧1,n為自然數,其中x1=(3+√5)/2, x2=(3-√5)/2。再來，我們將標號差推廣至差≦3，發現這比原題目複雜很多，因此我們把K(n)分類為A(n)+B(n)表示（其中A(n)為從K(n－1)延伸之可能種類，B(n)則為由n號城市必與n-1,n-2,n-3號3個城市相連而成之網路） K(2)=1=A(2) K(3)=3=A(3) K(4)=16=A(4)+B(4),其中A(4)=15,B(4)=1 K(5)=75=A(5)+B(5),其中A(5)=72,B(5)=3 K(6)=335=A(6)+B(6),其中A(6)=325,B(6)=11 K(7)=1485=A(7)+B(7),其中A(7)=1439,B(7)=46 但經過重重討論，仍然沒有一個好的結果。

在我們的生活中所見到很多圓的應用，車輪、硬幣、井蓋……，似乎無處不在，大有不可替代之勢，但早在19世紀德國的一位科學家勒洛的出現，從此打破了這個一成不變的傳說。因為勒洛三角形滾動時可以實現上下區間高度一致，這與圓在直線上滾動時是完全一樣的，因此本活動以小學的複合圖形面積為根基，拓展到圓和勒洛三角形在多邊形或變軌曲線圖形外滾動的區域面積，藉由剪拼及尺規作圖分解不規則的區域面積，看似複雜的問題竟然變簡單了，並且找到面積求解的一般式，不但讓我們學會如何把未知的問題轉化為已知的問題來進行解決，還能進一步將我們的研究轉化成好玩且具挑戰性的軌道拼圖，由長方形、扇形、環形扇組合出多種不同的軌道，並反推出原型。

為解決從正多邊形之一頂點出發，如何畫線等分面積之問題，利用國中數學課程內容所學(如：比例線段、相似、尺規作圖等)，及簡單正多邊幾何性質(如：對稱)，來進行研究探索並解決問題。

(一)先利用座標幾何導出過三角形內或外一定點的面積平分線公式，再利用尺規作圖，作出其面積平分線。(二)對於求作過四邊形內或外一定點的面積平分線，我們也是先利用座標幾何討論出其面積平分線交於那兩邊，然後再把原點選在適當位置，使計算較為容易，而導出其面積平分線公式。類似(一)，我們再利用尺規作圖，作出其面積平分線。(三)對於求作過多邊形內或外一定點的面積平分線，我們也是仿照(二)，先決定面積平分線交於那兩邊，然後再將多邊形轉換成相等面積的四邊形或三角形，再利用(二)或(一)的方法處理之！(四)當我們利用座標幾何判斷出面積平分線交四邊形或多邊形於那兩邊(見(二)及(三))後，亦可利用另外兩個方法求作其面積平分線：面積座標法(見附錄A)及綜合幾何法(見附錄 B ) 。

小學一年級，我們就學習計數：1、2、3、4、5、6、7 、8、 9 、 10...，接著又練習計算：1+1=2、2+l=3、3+4 ..9+1=10...。 如今我們已經習慣於做十進位的計數和算。逢十進一，這是天經地義，理所當然。偶爾在書上看到－則文字：“電腦在計算或處理問題時，不是使十進位算法，而是使用二進位算法”。“哦，原來十進位不是全能這就是我們的感受，於是我們就開始研究二進位、三進位、四進位……所做的進而以燈代表數，看那一種進位，用燈最少。以下就是我們所做的。

我們主要是探討在不同曲面上的三角形的心投影到平面上的對應情形，將內容分成四個部分。第一部分，我們探討平面上的三角形四心：重心G、垂心H、外心O、內心I投影到另一平面的對應情形。四心中只有G具有不變性，而H、O、I在某些情況下才具有不變性。第二部分，我們將之推廣，探討球面三角形的四心投影到平面的對應情形。其中，又分成正平面(平行於三角形的平面)與斜平面(不平行於三角形的平面)來討論，四心在正平面皆具有不變性，但在斜平面中皆須在某些情形下才具有不變性。第三部分，我們再推廣到圓柱三角形的情形，並且建立了一種模式，試著找在圓柱上的三角形四心。第四部分，我們試著研究三角形的某一頂點沿著一條直線變動時，四心的變動與投影的四心的變動的軌跡，是什麼樣的圖形。