一年級下學期，老師在講授平行線尺規作圓的運用時，曾補充過三角形面積平分線的作法，數月前我們在科展優勝專輯裡看到“多邊形面積平分研究”作品內客時，對相關的作圓問題再度引起深入研究的興趣。本文是我們參考過有關作品後，在老師的指導下，對多邊形形上點面積等分線作圖所獲得幾點研究心得，敬請大家多多指教！

數學上常有難題，係出自於學者對於難度的誤估，像 Fermat 最後問題、四色問題，起先都是當人們憑直覺就宣稱他們發現了什麼？直到後來有人想真正證明時，而發現邏輯上困難重重，一旦無法很快解決，這些問題反而輾轉成名，此種現象顯示一個事實，也就是數學上許多問題，常有似易實難者存在。作者有位研究工程設計的朋友，提出一個問題，他希望能夠不經過逐次試驗，僅憑藉著公式之推演，使分母在限制之區問內，而找出一個最接近已知數的分數；事實上逐次試驗在做法上也的確不切實際。學過連分數的人，有可能很快聯想到利用漸近分數的理論，最多稍加以推廣，應可很快得到結果，可是一旦到發現漸近分數所能適用之區間與給定之區間大不相同，而且問題的結果也隨著區間的變化，而幾乎無法統計出一條規律時，就會發現此問題決非想像之容易。此問題給人感觸良多，作者以有不畏艱難全力以赴。

本研究屬於整數分組的問題，我們所找到的相關文獻有「第49屆全國科展國中組－誰最數配」以及「第44屆全國科展高中組－談整數分組問題」，研究內容都是以次方來分別討論1k,2k,3k …，Nk的分組方式。而我們的研究則是把重心放在如何能找出同時滿足k =1,2,…,n的平分兩組的方式，我們稱為n階完美平分。所謂連續整數的n階完美平分是指『將連續整數分成2組，並且滿足①2組數量相等②2組數字的k次方的總和相等，其中k = 1,2,…,n』。研究過程中，我們透過矩陣來紀錄分組的歷程後完成了底下的結果 1. 找出了連續N個整數的1階完美平分的方法與相關的限制。 2. 找出了連續N個整數的2階完美平分的方法與相關的限制。 3. 找出了連續N個整數的3階完美平分的方法與相關的限制。 4. 找出了連續(2n × k)個整數的n階完美平分；其中n ≧4 ; k ≧ 2。

像直線、圓、圓錐曲線這些幾何圖形，在教科書上，我們可學得它們的極坐標方程式。另一類曲線，像正三角形、正四邊形...正 n 邊形，也是我們所熟悉的幾何圖形，似乎也應該有它所對應的極坐標方程式，是否它們被遺忘了呢？我們願意試著為它尋找！

由國中數學課本第三三冊第85葉，我們學習到如何以圓規直尺作圖求得√2，√3，√5，√7，√8…等無理數之長，並進一步找出這些無理數於數理上所在之位置。(見圖ㄅ)但對於√261，√315或更大的正整數a，√a之作圖法仍需如圖ㄅ，一般來作嗎？

上美勞課的時候，我們用色紙做摺紙遊戲，在摺紙時，發現每一種摺紙會有不同的線條和圖形出現，有斜的、直的、交叉的……；有三角形、四邊形……。尤其是鮑立羲摺出看起來是一道美麗的“彎曲的線”，引起我們好奇，在老師指導之下，展開了我們的研究。

探討平面上n條直線，每兩條相交出一個交點，但不三線共點，並在每個交點上標上數字1至n-1，使任何一條直線上恰好出現1至n-1各一次。得到奇數條直線無法、偶數條直線可以。 推廣至三維空間，探討n個平面，每三個相交出一個交點，但不四面共點，發現到三維空間有兩種推廣方式： 一、在每個交點上標上數字，使每條直線上的數字都不重複 二、在每個交點上標上數字，使每個平面上的數字都不重複 在此兩種情況下，可見當有三個平面時皆可以。 探討第二種推廣後發現在六個平面時亦可以給出構造。而後又發現其等價於Baranyai's theorem故得到平面個數為三的倍數皆可以，再根據文獻構造出三維度空間9個平面的一種方法。

學校的教材中都只提到凹面鏡有焦點，但都沒有提到何種凹面鏡才會匯聚於焦點。但經過本研究後，我們發現其實光射入很多曲面後，除了拋物線外，並不會匯聚在一個焦點而是會匯聚成一條焦線。本研究藉由數學計算來推導出平行光射入幾種中不同的二次曲線後，形成的焦線之參數式。之後再藉由電腦繪出焦線的圖形，並加以討論。最後，將之前的推導出的二次曲線的焦線，加以推廣，討論若平行光射入由該二次曲線垂直堆疊所形成的曲柱面後，會匯聚成怎麼樣的曲面。

我們在此次的主題「繁星似海－圓上圖形最大值探討」中，要探討在不同的圓上各取一點，並在這些有如繁星的點中，依照特定順序（順／逆時針）所連成的多邊形（以下圖為例）。這些多邊形有無限種情況，但周長及面積的最大值只有一個，因此我們的主軸圍繞在多邊形於周長與面積最大值時具有的性質。探討的主題主要分為四種情形： 1. 同心圓情形，凸多邊形最大周長時具有之性質 2. 不同心圓情形，凸多邊形最大周長時具有之性質 3. 同心圓情形，最大面積時具有之性質 4. 不同心圓情形，最大面積時具有之性質

在 921 大地震時，我們發現牆壁上沿著磚塊出現了許多裂痕，這些裂痕有些會貫穿整面牆，有些則否(如圖一)，因此引起我們的好奇心，隨後在我們找尋資料的過程中發現，美國國際科展大會獎第四名(美國大學數學系特別獎)的作品〝磚塊堆疊問題之研究與探討〞中有討論用1×2 磚塊填滿m×n 矩形能排出無缺陷線圖形方法數之範圍，但未進一步討論用1×2 磚塊填滿m×n 矩形之所有方法數，因此，展開了我們一連串的研究之旅。