數學科

研究各多面體在哪些條件下才會有外接球。我們探討出以下三種類型：一、不需要檢驗法的，某些多面體是全部皆有外接球，如：四面體、圓錐、類圓錐（請參考：肆、研究過程中的定義）、圓柱。二、有些是有兩種檢驗法，檢驗它是否有外接球，二種檢驗法，只須取其中一個檢驗即可，因為一個成立，另一個也就成立，只須選擇較易檢驗的即可，此種的有：a-類三角柱（請參考：肆、研究過程中的定義）、a-六面體。三、還有一類是我們目前只找出一種檢驗法的，如：b-類三角柱（請參考：肆、研究過程中的定義）、類圓柱、b-六面體、四角錐。以上的檢驗法，在數學上是屬於充分且必要的，若不滿足任一檢驗法，此多面體即沒有外接球。

平面上有一線段AB 與圓錐曲線Γ，令P 為Γ 上的動點，本研究探討當P 點沿著Γ 移動時，DABP 的外心、重心、垂心、內心、傍心及費馬點的軌跡，我們發現重心軌跡具有複製性─重心的生成曲線是原軌跡的縮影；外心軌跡多為射線、線段或者是直線，也有可能退化成點；特別是A,B 為橢圓焦點時，其垂心軌跡方程式是y 為二次，x 為四次的曲線，在特別情況下會退化成橢圓或圓；內心軌跡為橢圓；傍心軌跡為橢圓及兩條切於橢圓長軸端點的直線；當A,B 為雙曲線焦點時，其內心軌跡為切於雙曲線頂點的切線線段，其長度等於共軛軸長;傍心軌跡為兩條雙曲線及四條射線。費馬點的軌跡均為兩上下對稱的圓弧。我們試圖將條件推廣成一個定點及兩動點的情況，發現圓上雙動點的重心軌跡為玫瑰線，當兩動點以速率比為1:k 時( k IZ )運動，順向時會產生向內的環，反向時則產生向外的環且會產生k -1 個環。此外，我們將生成軌跡疊代時，發現：無限多次後，重心會收斂於一點；垂心則有對偶性。

從2002年TRML思考賽試題出發，研究正三角形與正方形繞轉 矩形外圍的旋轉弧度、內部任意點P的移動路徑總長、橫掃區域面積等問題，再將其延伸成正s邊形去繞轉矩形外圍，發現m,n,s彼此間都有連帶的關係，成功地寫出一般化通式。之後改成繞轉mxn矩形內圍，只研究正三角形與正方形，觀察其與繞轉矩形外圍的差異性，發現在頂角處需做細部分解，修改通式、歸納分類。最後，設計了創新的『階梯問題』，設計攀爬t階層樓梯與(x+y)階層樓梯，在其過程中於頂角處需整合外轉與內轉的通式，於直線部分需仔細思索其少轉的數量，才得以寫出完備的通式。

話說，約瑟國王以十二枚金幣的問題嫁出了漂亮的大女兒。如今，聰明的二女兒要出嫁，國王又出了一道難題：〔 有十六枚金幣，其中有 11 公克及 9 克金幣各一枚，其餘的金幣一律 10 克，請用等臂天平在五次之內秤出 11 克及 9 克的金幣。能夠解出此題的人，就能娶到二公主 〕 ，我們五個人對這傳說國王嫁二公主的問題感到興趣，便開始對本問題展開全面性的研究。

延續去年n等分三角形問題，欲探索角度等分問題，於是對量角器上的1°產生興趣。

定義：若k 為一n 位正整數，且kt－k≡0 (mod 10n)，則稱k 為一個n 位t 方自守數。（k、 n、t 皆為正整數）例如：625 為一3 位正整數，且6253－625≡0 (mod 103)，則稱625 為一個3 位立方自守數。本次研究的核心是在於揭開平方自守數以及立方自守數許多迷人的性質和它們二者之間錯綜複雜的關係，並嘗試進一步解開四方、五方自守數或更高次方自守數之性質。

課堂上曾碰到右題：已知，問圓 O 上那一點與 AB 所連成之三角形面積最大？當我們求出此點為 之中垂線與圓 O 中優弧的交點 M 時，老師隨即提出另一問題：此時三角形的周長是否也最長？由此引發探究的興趣。

在一次上課中，老師與我們討論一個名為的問題，當時的題目是： \r 兩個邊長相等的正方形，其中一個正方形的某頂點重合於另一正方形的中心O，並繞O旋轉。求證：無論怎樣旋轉，兩個正方形的重疊部分面積是一個定值。 \r \r 此定值即為幾何不變量。證明結束後，有同學問到當正方形換成其他的正多邊形時，或變為一大一小（即邊長不相等）的正n邊形（n為自然數且n≧3）時，是否也具有的特性？有同學猜測全都會，有同學主張除了正方形以外，其他的都不具有此特性，在眾說紛紜下，我們就決定以此作為科展的題目進行深入的研究，並加以證實。\r

本研究從探討多米諾骨牌遊戲出發，討論可否利用不同策略達成骨牌遊戲勝利，並且從遊戲過程中研究骨牌特性，思考如何將此特性與四則運算結合，研究出不同的遊戲玩法，除此之外，也期望在研究過程中，可以探討出骨牌排列的規則，進而歸納出合適的公式，以利遊戲進行與增加訓練四則運算能力之機會。

從撲克牌魔術出發，探索出二個原理，第一個關於操作手法；第二個和表演過程相關：完成本魔術至少要派9 張牌。另外，我們和之前國展國小組數學科中同樣探討撲克牌的作品(參見附錄一)不同的成果是：提出二個數學定理，並得到一個一般化的結果：使用n 種花色的撲克牌，本魔術的「最少派牌數」。