數學科

由國中數學課本第三三冊第85葉，我們學習到如何以圓規直尺作圖求得√2，√3，√5，√7，√8…等無理數之長，並進一步找出這些無理數於數理上所在之位置。(見圖ㄅ)但對於√261，√315或更大的正整數a，√a之作圖法仍需如圖ㄅ，一般來作嗎？

平面上有一線段AB 與圓錐曲線Γ，令P 為Γ 上的動點，本研究探討當P 點沿著Γ 移動時，DABP 的外心、重心、垂心、內心、傍心及費馬點的軌跡，我們發現重心軌跡具有複製性─重心的生成曲線是原軌跡的縮影；外心軌跡多為射線、線段或者是直線，也有可能退化成點；特別是A,B 為橢圓焦點時，其垂心軌跡方程式是y 為二次，x 為四次的曲線，在特別情況下會退化成橢圓或圓；內心軌跡為橢圓；傍心軌跡為橢圓及兩條切於橢圓長軸端點的直線；當A,B 為雙曲線焦點時，其內心軌跡為切於雙曲線頂點的切線線段，其長度等於共軛軸長;傍心軌跡為兩條雙曲線及四條射線。費馬點的軌跡均為兩上下對稱的圓弧。我們試圖將條件推廣成一個定點及兩動點的情況，發現圓上雙動點的重心軌跡為玫瑰線，當兩動點以速率比為1:k 時( k IZ )運動，順向時會產生向內的環，反向時則產生向外的環且會產生k -1 個環。此外，我們將生成軌跡疊代時，發現：無限多次後，重心會收斂於一點；垂心則有對偶性。

在一次上課中，老師與我們討論一個名為的問題，當時的題目是： \r 兩個邊長相等的正方形，其中一個正方形的某頂點重合於另一正方形的中心O，並繞O旋轉。求證：無論怎樣旋轉，兩個正方形的重疊部分面積是一個定值。 \r \r 此定值即為幾何不變量。證明結束後，有同學問到當正方形換成其他的正多邊形時，或變為一大一小（即邊長不相等）的正n邊形（n為自然數且n≧3）時，是否也具有的特性？有同學猜測全都會，有同學主張除了正方形以外，其他的都不具有此特性，在眾說紛紜下，我們就決定以此作為科展的題目進行深入的研究，並加以證實。\r

在約瑟夫問題中，假設有n人排成環狀，順時針編號1到n號，從頭開始，以保留、殺掉、保留、殺掉……的方式，到最後一號時直接繼續繞圓並保持規律，找出最後的存活者。而本研究將繞圓的順序改變，把原本應持續轉繞下去的殺人順序，到剩餘的人中最大號和最小號時回頭反方向旋轉。持續此規律，並延伸至留一殺s及反序殺留(殺s留一)，尋找總人數n和最後存活者f[n]的規律。

將電扇拆解之後仔細觀察其擺動關係，我們發現影響電扇擺動的主要機構為四個轉軸點，因此我們將這四個軸點與軸之間的軸長，用一元二次方程式與不等式推導公式以準確計算出各轉軸點的位置。在初期能較有效率的修改我們的電扇結構。 但是我們並不滿足於計算出電扇各軸點的位置而已，因為這樣對於如何調整使電扇擺動角度增減的問題仍然必須大量嘗試錯誤。因此我們進一步將公式推演，最後推導出以四個軸長表示出各軸點的位置的完美公式，並且推導出如何配置四個軸長以達到擺動的最佳角度，最後亦得到四軸長度相互的牽制關係，對於電扇擺動角度及未來電扇設計是相當有用的結果。

從撲克牌魔術出發，探索出二個原理，第一個關於操作手法；第二個和表演過程相關：完成本魔術至少要派9 張牌。另外，我們和之前國展國小組數學科中同樣探討撲克牌的作品(參見附錄一)不同的成果是：提出二個數學定理，並得到一個一般化的結果：使用n 種花色的撲克牌，本魔術的「最少派牌數」。

我們研究一個有趣的數學遊戲，取材自《科學研習月刊》，不但解決月刊上的問題，更發展出一般化的結果。遊戲規則如下： 「在4列8行方陣中，從左側第一行開始放石頭，每一行放1顆，限制『新放下去的石頭的左上角方向一路延伸都不可以有已經放好的石頭』。問：放石頭的方法數有多少種？」 我們研究出1列n行～4列n行（以下簡稱1×n、2×n、3×n、4×n）的放石頭方法數，並提出計數m×n方陣放石頭方法數的策略（其中m≧5）。某國中組科展作品曾研究過這個遊戲，他們發現和費氏數列有關的規律，我們用不同方法證明該規律。關於放石頭的方法數，本作品還給出另一種形式的規律，使用的計數策略較為簡潔，並運用本作品的方法保證規律成立。

星期日下午，我和黃同學一起到老師家的菜園烤蕃藷，起先，我們各自分開做土?，看誰做得又快又不會倒。老師一聲令下，我們就開始做了。黃同學堆土塊時，土塊和土塊重疊的部份太少了，做到一半的時候，就倒下來了，黃同學做了又做，都是倒下來，可是我的土窟卻不會倒下來，因為土塊和土塊重疊的部份大，等我做完了，黃同學才做到一半卻又倒下，真傷腦筋，他問老師：為什麼他做的土窟會倒？我做的土窟卻不會倒？怎麼堆才不會倒下來呢？於是，在老師的指導下，做了下面的實驗。

本研究從探討多米諾骨牌遊戲出發，討論可否利用不同策略達成骨牌遊戲勝利，並且從遊戲過程中研究骨牌特性，思考如何將此特性與四則運算結合，研究出不同的遊戲玩法，除此之外，也期望在研究過程中，可以探討出骨牌排列的規則，進而歸納出合適的公式，以利遊戲進行與增加訓練四則運算能力之機會。

本次研究主要探討：將一三角形底邊固定，而改變頂點的位置之後，觀察其重心、外心、垂心、內心、旁心及尤拉線的變動情形。 其次探討：若以三角形三邊為邊，各自向外作正三角形，並連接此三個三角形的重心，得一新三角形，觀察其是否為正三角形？並試著討論將原三角形底邊固定，而改變頂點位置後，其新正三角形的重心變動情形。