數學科

上個學期，我們學校正在興建新教室，下課時候我和幾位好奇的同學總是跑去參觀泥水匠抹牆壁貼磁磚，看他們靈巧的手藝，不一會功夫就舖出一大塊美麗天地，真叫人佩服！有時我們也撿拾一些丟棄不用的各式各樣小磁磚回來拼拼排排玩圖案，有趣極了！我們不但可以把不同的磁磚鋪滿整整一大塊不留空隙，也可以拼出好幾種多邊形的圖案來，過了一段時間，我們學到角度問顯，就將它應用到多邊形上，嘗試找出不同的多邊形的角度變化情形，只是我們能力實在有限，無法明自其中奧妙，於是大家就去請教老師，老師也認為這個題材有趣又值得探討，就這樣開始了這趟「磁磚數學」之旅。

一、由課本的因數倍數研究起，進而探討 100 以內質數的倍數之識別法，並將質數依個位數的不同，分類成個位數為 1、3、7、9 四種，最後整理歸納出任一質數的倍數識別法。二、若有一數目 x，可表示成 10a＋b 的形式（其中 a 為任意正整數，b 為個位數），則欲判斷其是否為質數 p 的倍數時，其識別法如下：（一）當質數的個位數為 1 時，只要判斷〝a－（p-1/10）b〞是否為質數 p 的倍數即可。（二）當質數的個位數為 3 時，只要判斷〝a＋（3p+1/10）b〞是否為質數 p 的倍數即可。（三）當質數的個位數為 7 時，只要判斷〝a－（3p-1/10）b〞是否為質數 p 的倍數即可。（四）當質數的個位數為 9 時，只要判斷〝a＋（p+1/10）b〞是否為質數 p 的倍數即可。

在一nxn的方格表中，每一格子填入數字0或1，使得任意兩行和任意兩列相交的四個方格中，至少填入一個0，試求可填入1的個數之最大值(即M(n))。研究方向主要是以排列組合的方法進行探討，並透過柯西不等式推導出M(n)的上界。在相同的限制條件下，推廣至任意的行數與列數所造的矩形方格表中，利用填入的1的技巧，及相關聯的數學通式，得出M(mxn)之上、下界。

這一篇作品是來自於2009年國際數學奧林匹克競賽第六題。 本研究先由直觀觀察思考後利用數學歸納法假設 n≦k 成立再分成三種情形 證明 n=k+1可以成立。 本研究除了證明競賽題目存在性並討論其對稱性及其極端現象，同時對於地雷遞增和地雷遞減提出討論，最後再利用1對1且映成的對應關係說明網路上ai=i和2009年國際數學奧林匹克競賽第六題所設條件相異ai是相同思考結構。

在 921 大地震時，我們發現牆壁上沿著磚塊出現了許多裂痕，這些裂痕有些會貫穿整面牆，有些則否(如圖一)，因此引起我們的好奇心，隨後在我們找尋資料的過程中發現，美國國際科展大會獎第四名(美國大學數學系特別獎)的作品〝磚塊堆疊問題之研究與探討〞中有討論用1×2 磚塊填滿m×n 矩形能排出無缺陷線圖形方法數之範圍，但未進一步討論用1×2 磚塊填滿m×n 矩形之所有方法數，因此，展開了我們一連串的研究之旅。

大家都知道一個分式型式的三角恒等式，當分母的值為零或式中的三角函數無意義時就像一部機器發生故障一樣不能用了。我們仔細研究這些故障情形卻得到一些意外的收穫。

小學一年級，我們就學習計數：1、2、3、4、5、6、7 、8、 9 、 10...，接著又練習計算：1+1=2、2+l=3、3+4 ..9+1=10...。 如今我們已經習慣於做十進位的計數和算。逢十進一，這是天經地義，理所當然。偶爾在書上看到－則文字：“電腦在計算或處理問題時，不是使十進位算法，而是使用二進位算法”。“哦，原來十進位不是全能這就是我們的感受，於是我們就開始研究二進位、三進位、四進位……所做的進而以燈代表數，看那一種進位，用燈最少。以下就是我們所做的。

在將莫利定理一般化的過程中，本研究發現在不同條件下，圖形有不同的規律。如平面圖形中除三角形外，其他多邊形的莫利圖形不一定是正多邊形，但有「自我相似」的特殊關係。另外四邊形中更有許多組「對偶關係」。本研究接著將圖形坐標化，並引入「線性變換」的概念，試圖解釋並發現新的自我相似或對偶性質。立體方面則發現許多和平面圖型相似之處，例如正多面體的莫利圖形皆為其「對偶多面體」，有很強的對偶性質。而其中正四面體對應正四面體，也是一個自我相似的例子。其他不規則圖形與其莫利圖形間，沒有明顯規律，針對此，平面部分導出了算交點坐標的公式，立體則建立判斷焦點存在與位置的方法。

本研究探討的是圓內彈性碰撞回歸問題，我們規定軌跡只能跑直線，而且限制碰撞是彈性碰撞，這裡所謂的彈性碰撞，指的是入射角等於反射角，在這兩個條件下，我們將針對不同的入射角，探討有沒有可能於出發後，再度回到原來出發點。本研究的內容涵蓋入射角是整數、有限小數、分數、有規律的無限小數以及沒有規律的無限小數。而且經過我們的研究，得到了一些簡易法則，判斷是否能夠再度回到原來出發點，以及在能回到原出發點的情形下的最少碰撞次數。換句話說，只要給我們一個入射角，我們就可告訴你，在圓內彈性碰撞後，能不能再度回到原來的出發點，如果可以再度回到原來的出發點的話，我們可以進一步告訴你，出發後到下一次回到原來的出發點之間，總共碰撞了幾次。

當數學老師上到三角形重心的畫法及性質時，我突然想起牛頓科學雜誌中談及的宇宙起源大爆炸（ BIG BANG ）與黑洞（ BLACK HOLE ），我想到在大爆炸之後造成數個星系，小如太陽系，大到比銀河系還大的星系，它們的結構特性都是有一重力中心，四周圍繞著眾多的星球，整個星系是平衡地旋轉著，又如黑洞，其中心點即為一重力中心，周圍的星球因受其力量吸引而越繞越近，最後被吸入中心點，若我們假設每顆星球的質量都相等，並以三顆星圍繞著一重力中心開始，我們想要探討原三顆星如何轉換位置而移動到新位置且保持不變的重力中心，他們的轉換路徑是否可以用數學模式加以顯示？以下即為我的探討。