在一次上課中，老師與我們討論一個名為的問題，當時的題目是： \r 兩個邊長相等的正方形，其中一個正方形的某頂點重合於另一正方形的中心O，並繞O旋轉。求證：無論怎樣旋轉，兩個正方形的重疊部分面積是一個定值。 \r \r 此定值即為幾何不變量。證明結束後，有同學問到當正方形換成其他的正多邊形時，或變為一大一小（即邊長不相等）的正n邊形（n為自然數且n≧3）時，是否也具有的特性？有同學猜測全都會，有同學主張除了正方形以外，其他的都不具有此特性，在眾說紛紜下，我們就決定以此作為科展的題目進行深入的研究，並加以證實。\r

將電扇拆解之後仔細觀察其擺動關係，我們發現影響電扇擺動的主要機構為四個轉軸點，因此我們將這四個軸點與軸之間的軸長，用一元二次方程式與不等式推導公式以準確計算出各轉軸點的位置。在初期能較有效率的修改我們的電扇結構。 但是我們並不滿足於計算出電扇各軸點的位置而已，因為這樣對於如何調整使電扇擺動角度增減的問題仍然必須大量嘗試錯誤。因此我們進一步將公式推演，最後推導出以四個軸長表示出各軸點的位置的完美公式，並且推導出如何配置四個軸長以達到擺動的最佳角度，最後亦得到四軸長度相互的牽制關係，對於電扇擺動角度及未來電扇設計是相當有用的結果。

運用平行線之概念，作出同底等高之梯形圖形，並結合了面積相等減法等量公理，導引出梯形兩對角線與兩腰所夾之面積相等，進而運用到實際生活中－土地分隔線重劃之問題解決；並進而運用相關原理去探討面積等分問題、四邊形轉換成等積三角形與多折直線還原成一條直線之研究。

我們做的是關於一刀剪紙(正方形的紙)，找出在紙中央剪出各種圖形的方法、一刀將一個大正方形等分成 n 個小正方形的方法，及一剪出錐體、柱體的展開圖的方法。

在日常生活中，我們常看到房子的地板或牆壁貼著磁磚，許多是由正多邊形所購成的。我們非常好奇到底那些正多邊形可以當做磁磚的形狀？老師建議我們從一年級上學期學過的正多邊形著手，再運用二年級所學的方程式、不等式，以科學方法，試著去尋找正確的等案。

定義：若k 為一n 位正整數，且kt－k≡0 (mod 10n)，則稱k 為一個n 位t 方自守數。（k、 n、t 皆為正整數）例如：625 為一3 位正整數，且6253－625≡0 (mod 103)，則稱625 為一個3 位立方自守數。本次研究的核心是在於揭開平方自守數以及立方自守數許多迷人的性質和它們二者之間錯綜複雜的關係，並嘗試進一步解開四方、五方自守數或更高次方自守數之性質。

曾經看過有人作矩形的撞球路徑問題，希望做進一步的推廣。

從黑白棋遊戲中訂定新的規則，延伸創造出新的遊戲；從兩人對奕推廣到 n 人遊戲，並找出此類兩人博奕遊戲的『必勝法則』，並且發現與特定『Ramsey 數』模型的關係。

這篇報告要探討下列的「轉沙發的問題」是否有解？ 有一個長方形的沙發，如圖一，若要求每次只能以「四個頂點逆時針或順時針連續旋轉90 度」的方式轉動，請問當長寬具備何種關係時，沙發經數次轉動後，剛好可以「轉」到相鄰的位置，如圖一，而且沙發坐人的正面方向仍保持不變呢？ 我們把原問題看成「平面座標上長方形旋轉的數學問題」，再利用「平面座標、三角函數、複數、複數的極式表示及向量」等數學工具，導出符合題目要求的方程式，最後證出當長與寬的比值為正實數時，有下列的結果： 1.當長與寬比值為無理數時，此問題無解。 2.當長與寬比值是最簡分數時，若分子為奇數，此問題無解。 3.當長與寬比值是最簡分數時，若分子為偶數，分母為奇數，此問題有解。

我們想要了解過號看診等候的相關問題，在此研究中，我們先利用手繪 圖及電腦驗證找出「分段法則Ⅰ」，進而導出遲到情形與過號需等候人數的函數關係。 利用方格「走最短路徑」的方法，將到診情形轉為方格走最短路徑圖，找出「分段法則Ⅱ」，求遲到者插號位置及新的看診序號，並由等待數列，求過號需等候人數。 在一個獨立插號作業中，要找出到診可能情形方法數，我們將Catalan數列的條件加以變化，在一個 的方格內，向右走 單位長，向上走1單位長， ，證明其一路領先的方法數為 。 最後將取號碼單機器運用在候診上，並利用等候理論(Queueing theory)，做不同插號規則的比較。