數學科

我們研究的是「方連」，「方連」有單方、二方連、三方連??。而這次我們所要研究的是如何判斷一個六方連能否摺成一個正立方體；我們發現所有排列是（1，4，1）的六方連都可摺成一個正立方體，但是排列不是（1，4，1）的六方連也可以用一種特殊方法判斷是否能轉換成（1，4，1）的六方連。再透過觀察，研究如何正確地畫出6 面各有圖案的正立方體的展開圖。

從2002年TRML思考賽試題出發，研究正三角形與正方形繞轉 矩形外圍的旋轉弧度、內部任意點P的移動路徑總長、橫掃區域面積等問題，再將其延伸成正s邊形去繞轉矩形外圍，發現m,n,s彼此間都有連帶的關係，成功地寫出一般化通式。之後改成繞轉mxn矩形內圍，只研究正三角形與正方形，觀察其與繞轉矩形外圍的差異性，發現在頂角處需做細部分解，修改通式、歸納分類。最後，設計了創新的『階梯問題』，設計攀爬t階層樓梯與(x+y)階層樓梯，在其過程中於頂角處需整合外轉與內轉的通式，於直線部分需仔細思索其少轉的數量，才得以寫出完備的通式。

本作品是探討:在已知三角形內部中,如何利用尺規作圖找出最大的正方形(含內接與偏接),並導出最大正方形邊長與三角形元素的關係。進而推廣出在已知四邊形內部中,如何利用尺規作圖找出最大的正方形,並導出最大正方形邊長與四邊形元素的關係。

延續去年n等分三角形問題，欲探索角度等分問題，於是對量角器上的1°產生興趣。

電話號碼雖然是沒有規律性的數字，卻能用計算機算出來，這件事之所以神奇，是因為電話號碼本身不具備「量」的特質，只是單純的數字組合，但是經由我們使用的公式，另外賦予了電話號碼「數值」的概念。一旦號碼成為有意義的數值，拆解後便可進行運算。創造算式的過程，首先必須先將電話號碼拆解成兩個部份，拆開後，必須注意的原則有二：一、 首先得將拆解後前半段的最後一位數字的「位值」確定，便可知道究竟該把前半段的電話號碼乘上多少才合理。二、 前半段的運算告一段落後，多出的量，必須在後半段把它減掉；反之，少掉的數量，就必須在後半段把它加回來。

定義：若k 為一n 位正整數，且kt－k≡0 (mod 10n)，則稱k 為一個n 位t 方自守數。（k、 n、t 皆為正整數）例如：625 為一3 位正整數，且6253－625≡0 (mod 103)，則稱625 為一個3 位立方自守數。本次研究的核心是在於揭開平方自守數以及立方自守數許多迷人的性質和它們二者之間錯綜複雜的關係，並嘗試進一步解開四方、五方自守數或更高次方自守數之性質。

某日看到一建立光纖網路的題目，發現這個題目和實際應用有些關聯。於是我們先從畫圖列出所有可能的種類，並從各城市連結的關係推得城市數和所有可能數關係： N(n+2)=3N(n+1)－N(n) ,（n≧1 ,n為自然數），再利用遞迴數列得到其一般項，並且由數學歸納法證明：N(n+1)=1/√5*(x1n-x2n), (n≧1,n為自然數,其中x1=(3+√5)/2, x2=(3-√5)/2。再來，我們將標號差推廣至差≦3，發現這比原題目複雜很多，因此我們把K(n)分類為A(n)+B(n)表示（其中A(n)為從K(n－1)延伸之可能種類，B(n)則為由n號城市必與n-1,n-2,n-3號3個城市相連而成之網路） K(2)=1=A(2) K(3)=3=A(3) K(4)=16=A(4)+B(4),其中A(4)=15,B(4)=1 K(5)=75=A(5)+B(5),其中A(5)=72,B(5)=3 K(6)=335=A(6)+B(6),其中A(6)=325,B(6)=11 K(7)=1485=A(7)+B(7),其中A(7)=1439,B(7)=46 但經過重重討論，仍然沒有一個好的結果。

話說，約瑟國王以十二枚金幣的問題嫁出了漂亮的大女兒。如今，聰明的二女兒要出嫁，國王又出了一道難題：〔 有十六枚金幣，其中有 11 公克及 9 克金幣各一枚，其餘的金幣一律 10 克，請用等臂天平在五次之內秤出 11 克及 9 克的金幣。能夠解出此題的人，就能娶到二公主 〕 ，我們五個人對這傳說國王嫁二公主的問題感到興趣，便開始對本問題展開全面性的研究。

課堂上曾碰到右題：已知，問圓 O 上那一點與 AB 所連成之三角形面積最大？當我們求出此點為 之中垂線與圓 O 中優弧的交點 M 時，老師隨即提出另一問題：此時三角形的周長是否也最長？由此引發探究的興趣。

在自然課「氣泡與氣球」單元的實驗進行過程中，可以吹出很多五彩繽紛的美麗彩球。我就被彩球與泡膜的多采變化吸引住，於是我和同學利用課餘時間以不同的方式玩泡泡，發現泡泡與泡泡間可以形成很多泡膜、而在泡膜的結構中，居然有角度和網路的形成，引起了我很大的樂趣。因此藉這次數學組科展研究的好機會，幫我解開「泡泡之謎」。