數學科

我們研究一個有趣的數學遊戲，取材自《科學研習月刊》，不但解決月刊上的問題，更發展出一般化的結果。遊戲規則如下： 「在4列8行方陣中，從左側第一行開始放石頭，每一行放1顆，限制『新放下去的石頭的左上角方向一路延伸都不可以有已經放好的石頭』。問：放石頭的方法數有多少種？」 我們研究出1列n行～4列n行（以下簡稱1×n、2×n、3×n、4×n）的放石頭方法數，並提出計數m×n方陣放石頭方法數的策略（其中m≧5）。某國中組科展作品曾研究過這個遊戲，他們發現和費氏數列有關的規律，我們用不同方法證明該規律。關於放石頭的方法數，本作品還給出另一種形式的規律，使用的計數策略較為簡潔，並運用本作品的方法保證規律成立。

上數學課時，我們常用方格紙點算圖形面積或畫對稱圖形。當碰上三角形或不規則圖形時，我們常算錯格子數，這樣的挫折讓我們興起尋求其他方法，來計算圖形面積的念頭。我們請教老師，老師說：「方格紙上除了有空格之外，還有另一個重要元素就是線段的交點，這些『點』是我們解題的關鍵。只要仔細看就能察覺圖形上的點數有的在周長上，有的在圖形內部，這些不同位置上的點究竟有何關聯？它們會影響面積的大小嗎？是很值得研究的。」於是在老師指導下，我們開始一連串的作圖、點算、求數據、作圖表、比較差異、反覆思考和尋找規律的探究活動。終於，我們發現可以計算出任何不規則圖形面積的公式，並畫出不少對稱圖形，這樣的成果真令人興奮！

在(正)n邊形的每個頂點填入一個任意數，形成「n邊形數字盤」，以[n]表示。然後探討是否能在邊上填入一個任意數，使得頂點與相鄰邊上數字的和均相等。若能做到，則稱作「[n]有解」，而且所有邊上的數字稱作「[n]的一組解」，並以S[n]表示點邊數字和。我們嘗試找出[n]有解的條件、解的值、S[n]的值，與N(S[n])的值(有相同的解的組數)，如下例。接著探討，將n邊形加上k條對角線(1≤k≤n(n-3)/2，以[n,k]表示)或拿掉1條邊(數字線)，n邊放射狀圖形，與2個多邊形有1共同頂點時的相關問題，並比較與[n]的不同之處。

將電扇拆解之後仔細觀察其擺動關係，我們發現影響電扇擺動的主要機構為四個轉軸點，因此我們將這四個軸點與軸之間的軸長，用一元二次方程式與不等式推導公式以準確計算出各轉軸點的位置。在初期能較有效率的修改我們的電扇結構。 但是我們並不滿足於計算出電扇各軸點的位置而已，因為這樣對於如何調整使電扇擺動角度增減的問題仍然必須大量嘗試錯誤。因此我們進一步將公式推演，最後推導出以四個軸長表示出各軸點的位置的完美公式，並且推導出如何配置四個軸長以達到擺動的最佳角度，最後亦得到四軸長度相互的牽制關係，對於電扇擺動角度及未來電扇設計是相當有用的結果。

在自然課「氣泡與氣球」單元的實驗進行過程中，可以吹出很多五彩繽紛的美麗彩球。我就被彩球與泡膜的多采變化吸引住，於是我和同學利用課餘時間以不同的方式玩泡泡，發現泡泡與泡泡間可以形成很多泡膜、而在泡膜的結構中，居然有角度和網路的形成，引起了我很大的樂趣。因此藉這次數學組科展研究的好機會，幫我解開「泡泡之謎」。

在約瑟夫問題中，假設有n人排成環狀，順時針編號1到n號，從頭開始，以保留、殺掉、保留、殺掉……的方式，到最後一號時直接繼續繞圓並保持規律，找出最後的存活者。而本研究將繞圓的順序改變，把原本應持續轉繞下去的殺人順序，到剩餘的人中最大號和最小號時回頭反方向旋轉。持續此規律，並延伸至留一殺s及反序殺留(殺s留一)，尋找總人數n和最後存活者f[n]的規律。

本次科展由一個高中關於柯西不等式的題目『設0

由國中數學課本第三三冊第85葉，我們學習到如何以圓規直尺作圖求得√2，√3，√5，√7，√8…等無理數之長，並進一步找出這些無理數於數理上所在之位置。(見圖ㄅ)但對於√261，√315或更大的正整數a，√a之作圖法仍需如圖ㄅ，一般來作嗎？

當數學老師上到三角形重心的畫法及性質時，我突然想起牛頓科學雜誌中談及的宇宙起源大爆炸（ BIG BANG ）與黑洞（ BLACK HOLE ），我想到在大爆炸之後造成數個星系，小如太陽系，大到比銀河系還大的星系，它們的結構特性都是有一重力中心，四周圍繞著眾多的星球，整個星系是平衡地旋轉著，又如黑洞，其中心點即為一重力中心，周圍的星球因受其力量吸引而越繞越近，最後被吸入中心點，若我們假設每顆星球的質量都相等，並以三顆星圍繞著一重力中心開始，我們想要探討原三顆星如何轉換位置而移動到新位置且保持不變的重力中心，他們的轉換路徑是否可以用數學模式加以顯示？以下即為我的探討。

星期日下午，我和黃同學一起到老師家的菜園烤蕃藷，起先，我們各自分開做土?，看誰做得又快又不會倒。老師一聲令下，我們就開始做了。黃同學堆土塊時，土塊和土塊重疊的部份太少了，做到一半的時候，就倒下來了，黃同學做了又做，都是倒下來，可是我的土窟卻不會倒下來，因為土塊和土塊重疊的部份大，等我做完了，黃同學才做到一半卻又倒下，真傷腦筋，他問老師：為什麼他做的土窟會倒？我做的土窟卻不會倒？怎麼堆才不會倒下來呢？於是，在老師的指導下，做了下面的實驗。