本研究是探討如何利用摺紙方式，研究 等無理數值,並應用於矩形的長寬比值，推出任意多邊形的邊長比，長方體的長寬高的比及任意扇形的圓心角。

本研究乃利用各種四邊形的幾何特性與關係，透過色紙實際剪貼去猜想圖形分割之特性，進一步運用電腦動畫著手模擬實驗，最後再用繪圖軟體繪製圖形、數學幾何學理加以驗證，以探討任一四邊形在四邊中點連線的設計架構下進行分割翻轉成其他各種四邊形之可行性與分割方法。假若因圖形本身之特殊性（如任意凹四邊形、折四邊形分割翻轉成其他各種四邊形）或者在此分割設計架構下限制條件過於嚴刻（如各種四邊形分割翻轉成正方形、各種四邊形分割翻轉成鳶形），造成前述方式無法一般化分割，則本研究乃採用藤春幸三郎與田村三郎（1996）的方式先將任一四邊形剪貼成一可分割成其他各種四邊形的圖形，之後再透過它分割翻轉成其他各種四邊形。希望藉此建立四邊形幾何分割與拼圖之理論。

在本文中，我們試著從不一樣的角度下去研究鬼腳圖，想辦法以空間的情況找出鬼腳圖的特性。首先，我們將參考書籍上的簡略資料作延伸，努力找出出空間鬼腳圖最完整的定義，並找出它的化簡方法。接著，我們開始結合群論的角度去討論之，好讓空間鬼腳圖的運算特性更為明瞭。最後，我們還自行發展出一套計算方法來研究空間鬼腳圖的畫法，並運用機率統計的方式來分析空間鬼腳圖遊戲的公平性。

本研究旨在探討剪紙書及網路上介紹六摺與十摺摺紙摺法的正確性與角度的差異性。我們利用30°-60°-90°三角形的邊長比與黃金三角形衍生出的直角三角形其中一邊與斜邊比為1:√5-1 這兩個性質分別來驗證六摺摺法及十摺摺法的正確性。而後我們證出剪紙書及網路上介紹之摺法均未能摺出正確的角度，並研究可摺出正確角度的摺法。最後我們測量正確與錯誤摺法所摺出的角度，利用Excel比較與分析幾種摺法之差異，並探討影響角度正確性的因素：除摺法本身正確與否，還有色紙的大小及厚度、摺紙過程是否準確、步驟多寡等。

我們所研究的問題是由許志農教授在「高中數學大賞」書中所提出的問題：設一骰子連續投擲n次出現的點數依序為x1，x2，…，xn，令 Yn=x1+x2+…+xn，試求Yn為7、5、3的倍數之機率為Pn。突破以往使用機率方式求解，我們改採用矩陣列出餘數為0、1、2…的所有組合數，透過矩陣的運算，觀察到各元素間的關係，進而解決上述問題。延續這個技巧，我們再次處理骰子平方和為4、3的倍數的組合個數。

在此作品中，我們探討一些三角形、四邊形乃至四面體的鑲嵌問題(意指內切或內接幾何圖形)，主要成果如下。給定一三角形，我們指定跟它內接的三角形的形狀，而證出內接指定形狀三角形的「外、重、垂、內、旁」諸心之軌跡皆為線段，且能用尺規作出這些三角形之最小者。相對地，給定四面體並選取其某一面，我們證出「有一面平行於此面並內接於此四面體」的正四面體的重心軌跡為四次平面曲線，並求出諸正四面體邊長最小值。其次，我們導出四邊形的內切橢圓所形成的(廣義)Gergonne點的軌跡是圓錐曲線的一部分，並利用平行截線分解出三角形的內切橢圓中心軌跡及Gergonne點軌跡之幾何結構。最後，我們以連續變動的平行平面來截一四面體，套用前述結果，可看出和此四面體相切的橢圓之中心軌跡及Gergonne點軌跡的一些幾何結構。

一、首先是我們這次研究所使用到的定義，如下：(一)座標平面上，若點P(x，y)符合xIN，yIN 的條件，則稱點P為一" 格子點"。(二)稱x=0，y=0，x=m，y=n(m，n>0)所圍成的方格中所有方格點(包含在線上的方格點)所成之集合為"m*n的方格"。(三)接著定義一種走法，有點像象棋中"馬"走的形式，叫"騎士"(H)。例子： 從圖1 我們知道Q(6，6)經過一次"騎士"後的落點可能為P1*(7，8)或P2*(8，7)或P3*(4，5)或P4*(5，4)或P5*(5，8)或P6*(8，5)或P7*(4，7)或P8*(7，4)。二、研究問題：本研究問題，可說是融合了”騎士迷蹤”及”馬步棋”的靈感

記得有一天放學回家，第一件事就是把今天老師要我們寫的功課給完成。很幸運的，今天的回家作業很少，所以很快寫完啦!閒來無聊，打開電視機，找啊找，發現一個很吸引我的節目「魔術大全」。裡面正在表演撲克牌魔術，只見魔術師不一會兒的時間就把別人心中的牌找出來，並用「五鬼搬運術」把它放到整堆牌的第一張，真是讓我驚訝!經過一番推論與思考後，我認為「魔術一定都是騙人的把戲」，於是我便邀集了幾位同學一起研究，企圖破解這一項魔術技巧。在研究的途中，我們遇到了一些困難，所以我們就一起向老師請教，經由改進實驗方式之後，我們便成功的開發了新的魔術技巧，創造了比電視上更厲害、更令人感到不可思議的魔術，讓我們登上了「世上最年輕的魔術家」的寶座!!!!

有一次上美勞課時，老師教我們製作美麗的裝飾品，用吸管摺成粽子。起初，我們是用剪刀把吸管剪成長條狀，然後，應用摺紙的方法，上下翻轉，一會兒，就摺出一粒粽子。忽然，俊良想到在玩魔術蛇，利用翻轉的功夫，可以轉出不同的形狀來。況且，我們又能用一支吸管摺出一粒粽子來，那麼，我們用一長條紙，是否也能摺出各種不同的形體來呢？因此，我們便開始著手進行摺紙，也請教老師和搜集市面上的書籍，後來，卻發現到令人意想不到的結果。

所謂的阻隔點是指將圖上的點標記，而該標記可使其他點無法與之連線。我們將研究『在圖A中欲使其子圖B不存在所需的最少阻隔點數。』其中討論的圖A、圖B為完全圖Km、完全二分圖Kmn、圈圖Cm、路徑圖Pm 及其組合。 一、推導出『在圖Km、圖Cm、圖Pm、圖Kmn中使圖Kx、圖Cx、圖Px、圖Kxy 不存在』這十六種組合所需最少阻隔點數的一般式。二、『在圖Km*Pq中使圖Cx不存在』中發現，當x-m>2時，圖Km*Pq中的阻隔點數需逐層討論。當x-m≦2時，圖Km*Pq中最少阻隔點數的擺法為『使每層Km的點數小於x且任相鄰兩不同層Km上的點間最多存在一連通路徑』。 三、『在圖Kmn*Pq中使圖Cx不存在』中發現，欲使阻隔點總數最少，需將阻隔點放在Kmn的短邊且隨著n與x值不同，阻隔點的擺法有其規則。四、『在圖Pm*Pq中使圖Cx不存在』中，x=4時，可以分割方式得到阻隔點的擺法。在x=6時，改以固定q值討論橫線上的連通路徑方式討論阻隔點數。