數學科

給定一個有n 個頂點的簡單圖 G ，將頂點標號為1,2,…n；考慮任意相鄰的兩頂點標號和中最大值的最小值，稱此極值發生時的標號為圖G 的擁擠標號。在這個研究中，我們得出方格表、m× n × l 長方體、環狀圖、圓柱圖及樹圖的擁擠標號和其極值的通式，並討論相關的問題。

此研究是針對正Ｎ邊形各邊分點與頂點連線所形成的小正Ｎ邊形和原正Ｎ邊形的面積比，因商高定理的說明圖形為起源，所以先針對正方形作研究，剛開始我們利用切割法(研究過程中有介紹)找出正方形各邊分點與頂點連線所形成的小正方形和原正方形的面積比，再依同樣的切割法對正三角形、正五邊形、正六邊形作切割找出面積比，過程中有些正Ｎ邊形可以用此切割法求出面積比，在文中我們稱此圖形為完美切割，而無法用此切割法求出面積比的正Ｎ邊形，我們利用了鋪瓷磚方法和代數法解釋了哪些正Ｎ邊形可用此切割法求面積比和無法用切割法的正Ｎ邊形面積比公式。

本研究主題是由計算方格紙上某特定矩形的對角線所穿越的方格數為起點，進一步深入探討『方格紙上，任意的曲線所穿越的方格數該如何的計數，並尋求其一般性的解決方法？』我們從開放曲線（含線段、折線段、曲線段）開始研究，先找到了遵守「最短路徑」的一般性解法；再配合「反曲點」將原線條做有效的分割，而將不同的曲線段做適當的組合計數，最後完成對任意封閉曲線的探討，並歸納得到完整的一般性的解決方法！

本研究從「雙心多邊形其旁心n邊形和內切圓切點n邊形面積成等比且相似」為靈感，將雙心條件放寬為圓外切四邊形，觀察面積等比關係是否繼續存在或作了何種改變，後來延伸到圓外切多邊形時發現奇數多邊形因為能證明旁心n邊形和內切圓切點n邊形相似，我們證明了其必為雙心多邊形，偶數多邊形因不相似，我們利用每一層圓心角的性質變化，觀察到偶數多邊形面積變化規則。

布 9 個正方體各個面上填入適當的數，使這些正方體經過翻轉調動後， 9 個朝上的面可以是九九乘法表任何一列 的 9 個數，亦即可以用這9個正方體排出(1) l , 2 , 3 ， … ， 9 ；(2) 2 , 4 , 6 ， … ， 18 ； (3) 3 , 6 , 9 ,…, 27；(4) … ；…；(9) 9 , 18 , 27 , …… , 81 ，等 9 種祖合。填入的數要盡量避免重複，且必須盡量平均分布在各個正方體，如此才算是最佳解。以下簡稱此問題為”9□乘法表”。 有人研究“ 12 合乘法表”的最佳解法，並找出正方體共填 63 個數的解答，其中有 4 個數重複填了兩次，但尚未找到填 59 個數的解法；也就是沒有任何數重複的情形。我想要探討是否有填 59 個數的解法的存在性，並推擴此問題到正方體個數不為 12 的情形。

當任意多邊形每邊點數不斷增加時，總和點數應該是多少?其變化之方式又是為何呢?當圖形由平面改成立體時，其總和點數之變化是否又與平面時的變化有何關聯呢?本篇文章主要是探討多邊形在每邊點數不斷增加時，總和點數之變化情形，進而探討在三角錐、四角錐…至 m 角錐之總和點數，循序漸進的去找出數與形之規律。

我們做的是關於一刀剪紙(正方形的紙)，找出在紙中央剪出各種圖形的方法、一刀將一個大正方形等分成 n 個小正方形的方法，及一剪出錐體、柱體的展開圖的方法。

從黑白棋遊戲中訂定新的規則，延伸創造出新的遊戲；從兩人對奕推廣到 n 人遊戲，並找出此類兩人博奕遊戲的『必勝法則』，並且發現與特定『Ramsey 數』模型的關係。

我們研究出 柱河內塔的移動，可透過優選得到最佳化，並推出其通式。成功的解決了”Explorations in 4-peg Tower of Hanoi” ( Ben Houston & Hassan Masum , 2004 )這篇論文，所談及的『百年來，河內塔4柱以上的移動是不能証明最優化』。在研究過程中，我們透過移動策略與優選方法，發現將 柱河內塔完成移動所需的最少步數，依序寫成數列，其間關係存在有趣的巴斯卡三角圖型，利用此關聯性，我們成功的導出4柱、5柱、6柱的公式及可一般化的 柱最佳化通式，完整的解決 柱河內塔長期以來未能解決的問題。