數學科

本研究主題是由計算方格紙上某特定矩形的對角線所穿越的方格數為起點，進一步深入探討『方格紙上，任意的曲線所穿越的方格數該如何的計數，並尋求其一般性的解決方法？』我們從開放曲線（含線段、折線段、曲線段）開始研究，先找到了遵守「最短路徑」的一般性解法；再配合「反曲點」將原線條做有效的分割，而將不同的曲線段做適當的組合計數，最後完成對任意封閉曲線的探討，並歸納得到完整的一般性的解決方法！

為解決從正多邊形之一頂點出發，如何畫線等分面積之問題，利用國中數學課程內容所學(如：比例線段、相似、尺規作圖等)，及簡單正多邊幾何性質(如：對稱)，來進行研究探索並解決問題。

本篇將探討在正n邊形中的內接正四邊形，即此正四邊形的四個頂點分別位於正n邊形的四個不同邊上。我們將正n邊形依邊長數分為n=4k、4k+1、4k+2、4k+3，透過電腦繪圖、尺規作圖法及公式驗證，得到以下結論:正n(n=4k)邊形有無限多個共中心內接正四邊形，而其餘正n邊形中，皆只有一個(本篇中圖形經過旋轉對稱後，大小、位置相同者為全等，則視為 "同一個")內接正四邊形，且在n=4k+2時，內接正四邊形必和正n邊形共中心；n=4k+1或4k+3時，內接正四邊形必不和正n邊形共中心，但內接正四邊形之中心必在正n邊形的一對稱軸上。最後我們提供一個能在所有的正n邊形畫出內接正四邊形的尺規作圖法。

當爸爸媽媽帶我們逛街，經過麥當勞店，看到大大的 M 字，一臉親切的「麥當勞叔叔」更是覺得友善，進到櫃檯只要買五十元的東西，就可以得到一張轉折拚湊卡，拚出什麼圖，就會得到什麼獎。 我和姊姊上轉下摺，左摺右拚雖然只折出一個薯條圖案，卻產生了一肚子的疑問。 「一張遊戲卡可以折出幾個圖案？」「到底有幾種折法？」「方格數和底座有什麼關係？」「要如何才能很順利的拚出圖案？」 我們去請教老師之後，共同合作探討麥當勞的難題。

兩透明片Ａ和Ｂ分別印著同心圓系，Ａ的半徑依序為：λ1,2λ1,3λ1...Ｂ為λ2,2λ2,3λ2...。當兩透明片重疊時，會形成干涉圖樣，兩圓重疊處，形成加強性干涉，相當於水波槽實驗中波峰和波峰重疊形成腹點。此種干涉圖樣的最大特色為：移動其中的一片透明片，就會形成極大的圖樣變化。 本作品推導出一個四次極座標方程式，這個四次方程式滿足兩透明片重疊時所顯現的所有圖樣。我們證明： 1.若λ1 = λ2 則干涉圖形為雙曲線或橢圓。 2.若λ1 ≠ λ2 且Ａ和Ｂ兩圓心的距離 = 0時，形成新的同心圓。 3.若λ1 ≠ λ2 且Ａ和Ｂ兩圓心的距離 ≠ 0 時，形成類似心臟線或蚶線，我們證明在離圓心較遠處為蚶線或心臟線。

我們研究出 柱河內塔的移動，可透過優選得到最佳化，並推出其通式。成功的解決了”Explorations in 4-peg Tower of Hanoi” ( Ben Houston & Hassan Masum , 2004 )這篇論文，所談及的『百年來，河內塔4柱以上的移動是不能証明最優化』。在研究過程中，我們透過移動策略與優選方法，發現將 柱河內塔完成移動所需的最少步數，依序寫成數列，其間關係存在有趣的巴斯卡三角圖型，利用此關聯性，我們成功的導出4柱、5柱、6柱的公式及可一般化的 柱最佳化通式，完整的解決 柱河內塔長期以來未能解決的問題。

當任意多邊形每邊點數不斷增加時，總和點數應該是多少?其變化之方式又是為何呢?當圖形由平面改成立體時，其總和點數之變化是否又與平面時的變化有何關聯呢?本篇文章主要是探討多邊形在每邊點數不斷增加時，總和點數之變化情形，進而探討在三角錐、四角錐…至 m 角錐之總和點數，循序漸進的去找出數與形之規律。

由費瑪點的定義（連接所有頂點的距離和最短），偶然讓我們思索，△ABC同平面是否存在點Ｏ，使得OA+OB+AB=OB+OC+BC=OC+OA+CA。我們稱點為「周界點」。利用反演，我們用尺規作圖找出了此點在任意三角形的作圖方法。利用周界點定義藉由雙曲線變動關係找出周界點，找出任意三角形的周界點位置，在用GSP找出任意三角形周界點變動軌跡。進行雙曲線追蹤時，發現此點在某些三角形中可能不存在，我們推導出此點存在的充要條件為：√[a2-(c-b)2]+√b2-(c-a)2]>√[c2-(b-a)2](三邊長c≥b≥a)藉由GEO，我們研究三角形的周界點軌跡和存在區間。我們更進一步探討在平面中不存在周界點的三角形在空間中使能找到周界點。

本研究源自於某數學問題「王家珠寶盒」，內容為將1~169個數字排列成一個正六邊形的\r 形狀，排列完後有數個有趣的規律：169為13的平方，圖中每六個數字圍成小灰色六邊形，\r 數字和是13的倍數；黑色部分的數字是13的倍數，灰色六邊形外圍的12個數字圍成較大的\r 白色六邊形，這12個數字數字和也是13的倍數；六邊形的數字以對角來看154+15=169、\r 161+8=169為169……等，所有的規律都圍繞著13的倍數。因此研究主軸放在找出各項性質\r 的原因為何？排列方式為何？是否有其他的數字可排列成此種六邊形？經過分析後，利用\r excel計算1~2000000的數字，找出6個數符合1、169、32761、6355441、1232922769、\r 239180661721，但尚未能證明是否只有這6個數，故未來研究方向應置於證明是否還有其他的\r 解亦或只有這六個解成立。

我們做的是關於一刀剪紙(正方形的紙)，找出在紙中央剪出各種圖形的方法、一刀將一個大正方形等分成 n 個小正方形的方法，及一剪出錐體、柱體的展開圖的方法。