我們在一本小牛頓雜誌中，看到了有關卡布列克運算的有趣報導，其中提到了隨便選一個二位數，將它的十位數字和個位數字對調，得到一個新數，在比較這兩個數的大小之後，再以大數減去小數，所得的差一定會落在09/90、18/81、36/63、27/72、45/54五組數之中，而且這五組數會一直繞圈圈。學校數學課剛好提到整數的四則運算及分解，幾個好朋友決定一起利用學校所學到的數學及電腦課程知識來試試看。結果真有趣！

探討球體裝箱的奧秘。例如各種規則裝法的差異及在何種情況時，哪種裝法最為適用。

本篇將探討在正n邊形中的內接正四邊形，即此正四邊形的四個頂點分別位於正n邊形的四個不同邊上。我們將正n邊形依邊長數分為n=4k、4k+1、4k+2、4k+3，透過電腦繪圖、尺規作圖法及公式驗證，得到以下結論:正n(n=4k)邊形有無限多個共中心內接正四邊形，而其餘正n邊形中，皆只有一個(本篇中圖形經過旋轉對稱後，大小、位置相同者為全等，則視為 "同一個")內接正四邊形，且在n=4k+2時，內接正四邊形必和正n邊形共中心；n=4k+1或4k+3時，內接正四邊形必不和正n邊形共中心，但內接正四邊形之中心必在正n邊形的一對稱軸上。最後我們提供一個能在所有的正n邊形畫出內接正四邊形的尺規作圖法。

四張郵票，四種價值，卻能湊出1~10連續不斷的十種價錢。一張圖，能填入的數字與擺放的位置隱藏著絕妙的數學問題。對此，大家給了它一個名稱—IC圖。 我們將IC圖推廣到複雜的進階圖形，分別是多重放射圖、長鏈放射圖、階梯放射圖；環的研究則有三角環、四方環連接圖。它們的關係大致如下: 關於更複雜的圖—環與放射狀的結合，我們期望能在未來一窺其奧妙。

弟弟在家裡「做實驗」，他拿出一大盒方糖，說是老師規定的作業，媽媽只好讓他去「玩」。一轉眼，方糖散落滿桌，媽媽見了差點暈倒，因為紙盒已分屍了。看到媽媽生氣的樣子，弟弟也哭了，爸爸好言安慰他又請我們幫忙收拾。這時，當老師的小阿姨來了，她是有名的「金頭腦」，我們都知道：救星來了！\r 小阿姨拿來美勞常用的厚紙板，教我們動手做盒子，她教我們先將四個角落各剪去一個小正方形，摺起來就成，一個紙盒了。「咦？怎麼姊姊的盒子看起來比我大？」我們把方糖裝進去，我的盒子確實裝的比較少，到底怎麼剪，才能摺出一個裝最多方糖的紙盒？我的心中充滿疑惑，就向小阿姨請教，她看我們都有興趣，非常高興，決定利用假期指導我們深入探討，我也邀了幾個同學一起做這個有趣的數學實驗。

我們研究的題目是屬於「覆面算」的一種題型。探討在n 進位制中，符合A1A2A3…… Am-2Am-1Am×N＝AmAm-1Am-2……A3A2A1 的m 位被乘數，其中N＝2～(n－1)，n 為該進位制的「基數」。並歸納在所有進位制中，解答的一般性。

五年級在數學資源教室我用百力智慧片進行正多面體的研究，發現正多面體共有 5 種。後來，在「趣味數學謎題的 20 種解法」，這本書中的問題 52 ： 〔 想用紅藍 2 種顏色塗立方體的 6 個面，會有 10 種塗法，但滾動時會成為同顏色的只算是 1 種。 〕 這問題引發了我用兩種顏色塗其他正多面體的興趣。在老師的鼓勵下，校內科展時，我發表了用兩種顏色塗正八面體的方法，我發現共有 23 種類型。接下來，我則進一步探討兩色正十二面體的問題。

由費瑪點的定義（連接所有頂點的距離和最短），偶然讓我們思索，△ABC同平面是否存在點Ｏ，使得OA+OB+AB=OB+OC+BC=OC+OA+CA。我們稱點為「周界點」。利用反演，我們用尺規作圖找出了此點在任意三角形的作圖方法。利用周界點定義藉由雙曲線變動關係找出周界點，找出任意三角形的周界點位置，在用GSP找出任意三角形周界點變動軌跡。進行雙曲線追蹤時，發現此點在某些三角形中可能不存在，我們推導出此點存在的充要條件為：√[a2-(c-b)2]+√b2-(c-a)2]>√[c2-(b-a)2](三邊長c≥b≥a)藉由GEO，我們研究三角形的周界點軌跡和存在區間。我們更進一步探討在平面中不存在周界點的三角形在空間中使能找到周界點。

黑白棋是常見的棋類遊戲之一，遊戲的目標是讓棋盤上的棋子變成己方的顏色，棋子多的一方獲勝，遊戲過程中受到規則的影響，容易出現雙方比分的劇烈變化。我們設計的遊戲則是採用類似的勝利條件，要求攻方要將棋盤上的棋子全部都變成白子，但攻守雙方採用不同的規則，攻方可以決定要變色的棋子，守方則是用旋轉棋盤來因應，由於遊戲規則的改變，棋盤的形狀將不再受到限制，只要是旋轉對稱的圖形，都可以成為這個遊戲的棋盤。我們試著找出，這個遊戲規則中，攻守雙方誰可以得到優勢，攻守雙方是否有一方存在必勝法則，並試著用數學的方法來解釋它。

當爸爸媽媽帶我們逛街，經過麥當勞店，看到大大的 M 字，一臉親切的「麥當勞叔叔」更是覺得友善，進到櫃檯只要買五十元的東西，就可以得到一張轉折拚湊卡，拚出什麼圖，就會得到什麼獎。 我和姊姊上轉下摺，左摺右拚雖然只折出一個薯條圖案，卻產生了一肚子的疑問。 「一張遊戲卡可以折出幾個圖案？」「到底有幾種折法？」「方格數和底座有什麼關係？」「要如何才能很順利的拚出圖案？」 我們去請教老師之後，共同合作探討麥當勞的難題。