數學科

於高二下學期排列組合的課程中，一道有關棋盤形街道走捷徑的問題，改變遊戲規則來延伸探討不同狀況。首先，設計電腦程式來確定答案的正確性，以及用數學歸納法找尋其中的規則。最後，在解題的過程中發現其解竟然與費氏(Fibonacci ) 數列有著密切的關係，並且從中發現解題策略，進而試圖推測空間狀況是否仍有如此奇妙的結果。

本研究從圓柱積木遊戲的「位置數、盤數、洞數、柱高、柱數」數量開始，第一部份反思遊戲的設計概念。在盤數的關係中採用代數的觀點探討；在洞數、柱高與柱數的關係中，根據遊戲規則找出關係式，最後得到給定位置數時，盤數與洞數就能被決定，而柱高僅有有限種選擇，柱數則跟隨著柱高改變。第二部份則尋找位置數為6的圓柱積木可行解：首先利用洞數與盤數的關係列出洞數解，並定義何謂相同解；再利用二元記錄法，畫圖找出所有的空間解(也就是實際可行解)，並在附錄中揭錄詳細的排法。透過這些一般性方法，往後我們也能藉此尋找更多洞數的圓柱積木遊戲可行解。

圖形的重疊會因為線條重疊處產生亮紋，我們分別去討論同心圓系，平行直線系，佛瑞奈環紋互相重疊產生的干涉現象，並嘗試以極座標表示產生的圖形，及其出現位置關係，以數學方式解釋物理的干涉。

本文主要在探討幾何中的兩個重要結果—三角形中的『孟氏定理』與『西瓦定理』推廣到平面上任意的『凸 邊形』與『凹 邊形』的相對應結果，甚至於我可以將『凸凹 邊形』換成『 條直線』，我發現亦可以得到類似的結果。在完成平面上的圖形推廣之後，我也試著思考其在立體空間中是否也有類似的推論，很幸運地也發現有類似平面多邊形的結果，目前已完成空間中任意『 個頂點多面體』的『孟氏共面定理』，此外，我也證明了空間中任意四面體的『西瓦共點定理』，同時以實例驗證空間中的『西瓦共點定理』在四角錐中的形式。

教室後面的圖書箱最近圖書媽媽又添購了一些新書，其中「阿草的葫蘆」這本書內容很豐富，但大部份我們都看不懂，畢竟我們年紀還小。裡面偶而有一些數學推理遊戲，倒是能吸引住我們，其中「障礙賽跑」充滿了「障礙」(原文摘錄「阿草的葫蘆」 P . 347 、 P 348 ) : 一個炎熱的下午，阿拓和阿霧兩人在冰店輝聊天納涼。 「該想些遊戲來玩，輸的人付錢。」阿霧提議著。 「你可有什麼新鮮的？」阿拓問道。 「我想起一種遊戲，和百合接力賽跑差不多，暫且叫做障礙賽跑吧！」阿霧一面說著一面拿出撲克牌，把 1 到 6 的 24 張牌找了出來。 「規則和接力賽跑差不多，每個人輪流拿一張牌，把拿出的牌的點數全部累加起來，誰能使加起來的點數成為 31 點誰就贏，但是超過 31點要算輸。」 「嗯，這和最多六步，最少一步的接力賽跑又有什麼不同？」阿拓問道。 「當然不同，要不然怎麼叫做障礙賽跑？只是你一時還看不到障礙罷了！要不要試一試？」阿霧說道。 阿拓接受了挑戰，但滿腹狐疑，猜不透其中的機關： 「由我開始好了，31除以 7 餘 3 ，照接力寶跑的原則，我先拿 3 。」阿拓說。 阿霧不聲不響拿了一張4，接著阿拓又照接力賽跑的原則再拿一張 3 。然後兩個人輪流又拿了兩張 4 和兩張 3 ，此時點數已經累積到 24。阿霧嘴角泛著微笑，拿掉最後的一張 4，望著阿拓。 「障礙賽跑？！我看到障礙了！原來每個數字最多只有四張，這次我輸了，再來一次！」阿拓總算在數字遊戲上首嚐敗績。 一遍一遍玩下去，越鑽研越覺得這種遊戲變化之大。有時候要搶接力賽跑中的特殊點(即累積點數為 3 、 10 、 17 、 24 、31者 ) ，有時候又要盡力避開這些特殊點。經過長時間的分析，最後才得到致勝的原則。(非常複雜)。 這項遊戲和賽跑一點關係也沒有，而是在有限的字牌中取得勝利的關鍵牌。經過一陣子的摸索後發現變化實在很多，差點沒撞牆。我們現在試著從最基本的情況探討起。

曾經看過有人作矩形的撞球路徑問題，希望做進一步的推廣。

給定一個有n 個頂點的簡單圖 G ，將頂點標號為1,2,…n；考慮任意相鄰的兩頂點標號和中最大值的最小值，稱此極值發生時的標號為圖G 的擁擠標號。在這個研究中，我們得出方格表、m× n × l 長方體、環狀圖、圓柱圖及樹圖的擁擠標號和其極值的通式，並討論相關的問題。

當數學課上到數形關係時，想起之前偶然看到的一個遊戲，便向老師請教是否與所學的單元有關，老師也覺得頗有趣，於是我們找了幾位志同道合的夥伴研究討論。該遊戲的規則是這樣的：將點數為１～１０的１０張撲克牌疊成一疊（背面朝上），翻開第一張為數字１，第二張放到最底下，翻開第三張數字為２，第四章在放到最底層下，依此類推，使得撲克牌出現的順序依序為１～１０。餵了找到如何排列能使撲克牌出現順序合於上述規則，於是展開我們的研究，結果發現此１０張撲克牌的排列順序隱含著某些規律且可延伸至更多張的數字牌，此外，更能進一步的推出某個位置該放何數字或某數字該放置於何位置的規律。

數學課老師談到等腰梯形的性質時，老師說等腰梯形四邊中點所連成的四邊形必為菱形，如圖(1) ，菱形四邊等長，觀察原等腰梯形，其四邊不全等長，而連接四邊中點後，卻輕易的找到一個等邊四邊形，且看起來此等邊四邊形是所有內接等邊四邊形中面積最小的，那對不規則的四邊形要如何作出內接等邊四邊形呢？其他多邊形又如何？這引起我極大的興趣，於是我開始著手研究。

本文主要是要探討在兩岸平行河流兩側(或同側)的兩個地點間，應在河流的何處造橋，方可達到首要要求(1)造橋經費最省，次要要求(2)各地與各地之間造路經費最省，即以「最短總路徑」建立道路及橋樑之間的聯絡路徑、進而推廣至多地時應於何處造橋與如何構造「最短總路徑」。