以探討SET遊戲紙牌配對的所有組合情形為研究起點，分析歸納而窮盡出15種配對類型。針對「如何不剩牌」的目標，進行猜想並驗證「在操作上若自始至終皆用同一種配對類型便可把81張牌全配對完」，也意外發現紙牌構成的大九宮格中任一小九宮格中皆有「4條組牌軌跡」構成的胚騰(pattern)，若放大到大九宮格中觀察則也有相同的胚騰。若在大九宮格中進一步運用組牌軌跡換牌，最多可同時出現7種配對類型；但我們也發現「小九宮格內若出現例外情況(未出現四條組牌軌跡)時，則最多可讓大九宮格的內部同時出現15種SET配對類型」。此外，從機率的角度出發，經特殊化到一般化的推演歷程，獲致「桌上牌最少要發21張才必有SET出現」。

從太武山上望向前方，到底可以看多遠呢？利用三角形的相似性質，用對應邊成比例的特性，將我們要求的距離算出來，並考量實際光穿過大氣的折射率，調整成更符合實際情形。

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去年有同學製作『從角的方程式，到三角形、四邊形的方程式』參加科展，結果這些由線段組成的多邊形方程式，都是二元一次式與其絕對值的組合。接著我們學到圓錐曲線，其方程式則為二元二次方程式。引起我們興趣的是，利用二元二次式與其絕對值的組合，來表示一些有趣的圖形。

圖(一)中，在半徑r的圓形披薩上選一個任意點P，過此點畫四條線將披薩切成八份，要求這四條線中，任兩相鄰的線必須夾45?，圖中四塊黃色披薩與四塊白色披薩的面積相等，這就是有名的披薩定理。 這是台灣師大數學系教授許志農在「龍騰數亦優」中所撰寫的，但其處理的手法涉及微積分，本文將以更初等的數學方法加以證明，並推廣出下列結果： 一、 在圖(二)中，半徑r的圓形披薩內任一點P，過此點畫四條直線，四塊黃色披薩的夾角皆為θ，四塊白色披薩的夾角皆為90?-θ，則四塊黃色披薩的面積為r2(2θ) 二、 在橢圓形披薩，正2n邊形的披薩及球體，我們亦有相似的結果 另一部份，我們將用組合的手法，證明並推廣一個古典問題：「一個西瓜切n刀最多可以切多少塊，其中有幾塊不含西瓜皮」。

本研究主要是探究「孔明神算牌」的數列規律性及設計原理，然後加以應用。研究的結果發現，「孔明神算牌」是利用「2的次方」的組合及分類的原理設計而成，發現這個原理之後，我們嘗試以其他次方的組合找出數列的規律性，並歸納出設計公式及製作紙牌的要訣，最後以「4的次方」的組合，設計出好玩有趣而且獨一無二的「神機妙算牌」與大家同樂。

從2002年TRML思考賽試題出發，研究正三角形與正方形繞轉 矩形外圍的旋轉弧度、內部任意點P的移動路徑總長、橫掃區域面積等問題，再將其延伸成正s邊形去繞轉矩形外圍，發現m,n,s彼此間都有連帶的關係，成功地寫出一般化通式。之後改成繞轉mxn矩形內圍，只研究正三角形與正方形，觀察其與繞轉矩形外圍的差異性，發現在頂角處需做細部分解，修改通式、歸納分類。最後，設計了創新的『階梯問題』，設計攀爬t階層樓梯與(x+y)階層樓梯，在其過程中於頂角處需整合外轉與內轉的通式，於直線部分需仔細思索其少轉的數量，才得以寫出完備的通式。

本文主要是要探討在兩岸平行河流兩側(或同側)的兩個地點間，應在河流的何處造橋，方可達到首要要求(1)造橋經費最省，次要要求(2)各地與各地之間造路經費最省，即以「最短總路徑」建立道路及橋樑之間的聯絡路徑、進而推廣至多地時應於何處造橋與如何構造「最短總路徑」。

我們證明了，四面體的四個面上的四個九點圓共球面的充要條件是此四面體為「對直四面體」。此球面我們稱為對直四面體的「24 點球面」。並發現在對直四面體的條件下，九點圓的一些相關性質亦可以類推至三維空間。我們也試著將此結果推廣到其他的多面體上。

在“漫談卡特蘭數”這篇文章中，提到一個關於卡特蘭數的問題：「考慮在n×n的格子上從(0，0)點走到(n，n)點，不經過直線y=x之下的點有多少種方法？」而本篇研究除了將其規律找出、導出公式之外，並用一套有系統的鏡射方法將其推廣到直線x-y=n時的規律。此外，還可利用圖形切割、重疊的方式進而討論雙邊振盪。