數學科

我國現已邁向開發國家之林，經濟繁榮，工商業發達，國民生活水準提高，於是「分期付款」盛行，我們發覺各種分期付款，每期總和一定高於售價很多，與銀行利息相比，是高或是低？是每一位消費者想要知道的。因此我們想要研究一最簡便的計算方法，來幫助大家解決這個問題。

我們的研究是試著從最簡單的2×2 方格看起，先探討數字填入方格裡的所有情形，再看方格裡的數字經過一定規則（對任一行或任一列進行同時的更動）變化後的所有情形，找出最少步驟的變化方式，並試著去探討在方格中數字變化相關的奧妙。我們把2×2 方格及3×3方格所有情況列出，發現2×2 方格有16 種變化情形，3×3 方格有512 種變化情形，同時把變化的表格及圖形畫出，找出最少步驟的變化方式，也發現利用奇偶數的性質，可以用來判斷二個方格是否是可以互相轉換的方格。

在平面上，行數為 n 列數為m(表成n ×m )的長方形網格中若有一由單位長水平或垂直線段連接所有相鄰格子點的折線，同時不重複經過任一格子點，這樣的折線稱之為n ×m網格中的漢彌頓路徑，簡稱路徑。 我們研究了當m = 4,5時，在n ×m網格中，所有從左下角(1,1)出發，右下角(n,1)結束的路徑總數T(n,m)以及從左上角(1,m)出發，右下角(n,1)結束的路徑總數U(n,m)。在過程中我們也計算了n×3、n×4的網格中由左下角出發，左上角結束的路徑，分別以M(n,3), M(n,4)表示總數。 我們得到下列的結果：

本研究是以簡單的統計方式，來計算單個杯筊平面與凸面出現的機率，以及兩個杯筊投擲結果雙平面、雙凸面與一平一凸面出現的機率，在過程中我們分別從杯筊的大小、高度、材質三個面向，對杯筊的投擲結果來做探討，我們在研究的過程中發現，單個杯筊投擲時，因杯筊的形狀有凸面存在，所以當各種材質都會有凸面接觸地面後，凸面類似不倒翁的底部，杯筊會較容易平穩，因此平面朝上的機率較高，而高度、形狀、材質都會影響杯筊投擲的結果，不過最重要的是我們發現，同時投擲兩個杯筊時，可能因為杯筊凸面著地後較為平穩，再加上投擲過程中雙杯筊的碰撞，所以我們發現，同時投擲兩個杯筊時：一平一凸面出現的機率遠高於雙平面出現的機率(約高10%)，而雙平面出現的機率又高於雙凸面(約高5%)，但是不是一般所認為的：雙平面出現次數：雙凸面出現次數：一平面一凸面出現次數＝1：1：2。

弟弟在家裡「做實驗」，他拿出一大盒方糖，說是老師規定的作業，媽媽只好讓他去「玩」。一轉眼，方糖散落滿桌，媽媽見了差點暈倒，因為紙盒已分屍了。看到媽媽生氣的樣子，弟弟也哭了，爸爸好言安慰他又請我們幫忙收拾。這時，當老師的小阿姨來了，她是有名的「金頭腦」，我們都知道：救星來了！\r 小阿姨拿來美勞常用的厚紙板，教我們動手做盒子，她教我們先將四個角落各剪去一個小正方形，摺起來就成，一個紙盒了。「咦？怎麼姊姊的盒子看起來比我大？」我們把方糖裝進去，我的盒子確實裝的比較少，到底怎麼剪，才能摺出一個裝最多方糖的紙盒？我的心中充滿疑惑，就向小阿姨請教，她看我們都有興趣，非常高興，決定利用假期指導我們深入探討，我也邀了幾個同學一起做這個有趣的數學實驗。

此篇報告重點主要在研究「西爾平斯基猜想」： 西爾平斯基猜想(Sierpinski Conjecture) 對於任意自然數n≧5而言，不定方程式5/n=1/a+1/b+1/c均有相異自然數解。 得到相關的結果如下： 一、若n為自然數，則1/n=1/a+1/b+1/c至少有一組解。 二、若n為自然數，則2/n=1/a+1/b+1/c (n≧2)至少有一組解。 三、若n不是「6k + 1」型的自然數，則3/n=1/a+1/b+1/c (n≧3)至少有一組解。 四、設k為自然數或0，若n不是「60k + 1」型的自然數，則5/n=1/a+1/b+1/c ( n ≧5)至少有一組相異自然數解。

有一個電路網絡，其中含有N 個相同的電路元件，因為每個電路元件皆是相同的，所以會使得兩個電路網絡不相等的唯一原因，僅在於元件的排列和組合方式。一個電路元件有兩端點可以與其它的元件串聯或並聯。 其中所串聯的數個元件，是可以改變串聯的次序是不影響該電路網絡的運作的，改變並聯次序時亦同。因此若兩個電路網絡A, B，A 可以由調換串聯或並聯次序後跟B 相等，則稱此兩個電路網絡是等價的；不等價的電路網絡，稱為相異的。 本文最後給出了一個方法以求得：給n 個相同的電路元件，可以造出幾種相異的電路網絡的個數。 最後推得：有n 個電路元件的相異電路網絡個數，n=1 時為1；當n>1 時為2an，其中數列{an }的遞迴關係為：

在一次邂逅裡，我們碰到了一個三角形旁切拋物線的題目，我們經過代數、向量、幾何作圖方法，得到了一個完美的結果：△ABC 旁切拋物線的正焦弦長 = （其中F 是焦點，R是△ABC 的外接圓半徑），以這個結果為基礎，我們推導出︰當其對稱軸為△ABC 中的角平分線時，三個旁切拋物線的正焦弦長與三角形間的關係式，更對這三個正焦弦長做了關係的討論。 令人意想不到的是，這個對稱點的作圖（Simson 定理推廣），亦適用於三角形旁切橢圓及旁切雙曲線，並進一步得到△ABC 旁切橢圓（雙曲線）的長軸長（貫軸長）= ，短軸長（共軛軸長）的平方 = ，（其中d 是焦點F 到△ABC 外接圓圓心的距離，F1 ,F2 ,F3 分別為F 到
ABC 三邊的垂足），因而其正焦弦長 = 。

一天晚上，我正在做功課時，看到姊姊在一張紙上畫了好多的圈圈和線條，我好奇的湊上前去問她在盡什麼。 姊姊說：「這是考師要我們做的問題，它總共有 24 個小點（圖一），看誰能一筆把它們畫完。方法很簡單： 1.每一個黑點只走一次，不能重覆。 2.可以直走或橫走（圖二），但不可以斜走（圖三） " 3.不可以跨過空隔點（圖四）。」 我也拿出筆和紙來畫。 畫呀！畫呀！過了不多久，我開始感到很納悶： 「奇怪！怎麼多了一點？為什麼總有一個小點沒辦法畫到呢？」 後來，我把這個一筆畫的問題請教老師，也同時把我的疑問告訴老師，於是在賴老師和陳老師的指導下，開始研究這個有趣的一筆畫問題，試著探試 〝 為什麼會多了一點 〞 的秘密。

本文主要在探討幾何中的兩個重要結果—三角形中的『孟氏定理』與『西瓦定理』推廣到平面上任意的『凸 邊形』與『凹 邊形』的相對應結果，甚至於我可以將『凸凹 邊形』換成『 條直線』，我發現亦可以得到類似的結果。在完成平面上的圖形推廣之後，我也試著思考其在立體空間中是否也有類似的推論，很幸運地也發現有類似平面多邊形的結果，目前已完成空間中任意『 個頂點多面體』的『孟氏共面定理』，此外，我也證明了空間中任意四面體的『西瓦共點定理』，同時以實例驗證空間中的『西瓦共點定理』在四角錐中的形式。