數學科

以前曾經玩過一種可繪製曲線圖形的玩具，它包含幾個在邊緣滿是鋸齒的小圓形板，以及一個圓周內刻滿鋸齒的大圓形板，用法是將小圓板沿大圓板繞著轉，便可以畫出各式各樣的曲線。當時只覺得那些圖形變化多端，然而在和同學一起研究後，卻發現了很大的學問，這些都是在申述討論前意想不到的。

將高中課程所學到的巴斯卡三角形做點變化，原本以「1」為首、「+」為運算符號，現在則改成以「-1」或「ω 」為首、「×」為運算符號，新產生的三角形隱藏著某種規律性，為了更全面性的瞭解這種規律，使用電腦軟體套色繪出圖形。圖形本身具有明顯的遞迴關係，我們於是嘗試描述此種具規律性的模式；同時，我們也探討了所指定列中的某數字（如-1、ω 或ω2 ）的個數，並以通式表示之；我們發現國外的研究報告都採用同餘觀點來看改變後的巴斯卡三角形，他們將巴斯卡三角形以某數為模的餘數記錄下，並探討這些餘數在圖形中的分布情形，這個觀點讓我們重新檢視第一個數放「-1」或「ω 」且運算符號為「×」的巴斯卡三角形，發現其實可看作是以「2」為模與以「3」為模的巴斯卡三角形，並探討任一列同類餘數的個數。最後，希望能以一個演算法或通式，算出所指定列與行的該數為何。

我國現已邁向開發國家之林，經濟繁榮，工商業發達，國民生活水準提高，於是「分期付款」盛行，我們發覺各種分期付款，每期總和一定高於售價很多，與銀行利息相比，是高或是低？是每一位消費者想要知道的。因此我們想要研究一最簡便的計算方法，來幫助大家解決這個問題。

在一已知三角形內，嵌入這三個互不重疊的圓（如圖 1 )，怎樣的情況下才使這三圓的面積和為最大？

本研究討論一條線和兩條線打成死結或活結的原因，再探討有寬度的線段（?帶）翻轉不同度數後黏合的情形，與由橡皮筋衍伸出的各種圖形有哪些規律與特色，最後我們也探討了一些和拓樸有關的遊戲並研究發明其他遊戲或魔術。從這次的研究中，我們發現生活中不起眼的繩子、紙帶與橡皮筋，竟然也隱含了數學的拓樸原理，而且從簡單的拓樸性質-物體或圖形在不割裂、破壞孔洞下，可任意伸縮及變形，就可以衍伸出許多神奇有趣的遊戲。

本研究是以簡單的統計方式，來計算單個杯筊平面與凸面出現的機率，以及兩個杯筊投擲結果雙平面、雙凸面與一平一凸面出現的機率，在過程中我們分別從杯筊的大小、高度、材質三個面向，對杯筊的投擲結果來做探討，我們在研究的過程中發現，單個杯筊投擲時，因杯筊的形狀有凸面存在，所以當各種材質都會有凸面接觸地面後，凸面類似不倒翁的底部，杯筊會較容易平穩，因此平面朝上的機率較高，而高度、形狀、材質都會影響杯筊投擲的結果，不過最重要的是我們發現，同時投擲兩個杯筊時，可能因為杯筊凸面著地後較為平穩，再加上投擲過程中雙杯筊的碰撞，所以我們發現，同時投擲兩個杯筊時：一平一凸面出現的機率遠高於雙平面出現的機率(約高10%)，而雙平面出現的機率又高於雙凸面(約高5%)，但是不是一般所認為的：雙平面出現次數：雙凸面出現次數：一平面一凸面出現次數＝1：1：2。

我們的研究是試著從最簡單的2×2 方格看起，先探討數字填入方格裡的所有情形，再看方格裡的數字經過一定規則（對任一行或任一列進行同時的更動）變化後的所有情形，找出最少步驟的變化方式，並試著去探討在方格中數字變化相關的奧妙。我們把2×2 方格及3×3方格所有情況列出，發現2×2 方格有16 種變化情形，3×3 方格有512 種變化情形，同時把變化的表格及圖形畫出，找出最少步驟的變化方式，也發現利用奇偶數的性質，可以用來判斷二個方格是否是可以互相轉換的方格。

在“漫談卡特蘭數”這篇文章中，提到一個關於卡特蘭數的問題：「考慮在n×n的格子上從(0，0)點走到(n，n)點，不經過直線y=x之下的點有多少種方法？」而本篇研究除了將其規律找出、導出公式之外，並用一套有系統的鏡射方法將其推廣到直線x-y=n時的規律。此外，還可利用圖形切割、重疊的方式進而討論雙邊振盪。

上美勞課的時候，我們用色紙做摺紙遊戲，在摺紙時，發現每一種摺紙會有不同的線條和圖形出現，有斜的、直的、交叉的……；有三角形、四邊形……。尤其是鮑立羲摺出看起來是一道美麗的“彎曲的線”，引起我們好奇，在老師指導之下，展開了我們的研究。

有一個電路網絡，其中含有N 個相同的電路元件，因為每個電路元件皆是相同的，所以會使得兩個電路網絡不相等的唯一原因，僅在於元件的排列和組合方式。一個電路元件有兩端點可以與其它的元件串聯或並聯。 其中所串聯的數個元件，是可以改變串聯的次序是不影響該電路網絡的運作的，改變並聯次序時亦同。因此若兩個電路網絡A, B，A 可以由調換串聯或並聯次序後跟B 相等，則稱此兩個電路網絡是等價的；不等價的電路網絡，稱為相異的。 本文最後給出了一個方法以求得：給n 個相同的電路元件，可以造出幾種相異的電路網絡的個數。 最後推得：有n 個電路元件的相異電路網絡個數，n=1 時為1；當n>1 時為2an，其中數列{an }的遞迴關係為：