將高中課程所學到的巴斯卡三角形做點變化，原本以「1」為首、「+」為運算符號，現在則改成以「-1」或「ω 」為首、「×」為運算符號，新產生的三角形隱藏著某種規律性，為了更全面性的瞭解這種規律，使用電腦軟體套色繪出圖形。圖形本身具有明顯的遞迴關係，我們於是嘗試描述此種具規律性的模式；同時，我們也探討了所指定列中的某數字（如-1、ω 或ω2 ）的個數，並以通式表示之；我們發現國外的研究報告都採用同餘觀點來看改變後的巴斯卡三角形，他們將巴斯卡三角形以某數為模的餘數記錄下，並探討這些餘數在圖形中的分布情形，這個觀點讓我們重新檢視第一個數放「-1」或「ω 」且運算符號為「×」的巴斯卡三角形，發現其實可看作是以「2」為模與以「3」為模的巴斯卡三角形，並探討任一列同類餘數的個數。最後，希望能以一個演算法或通式，算出所指定列與行的該數為何。

在一次的數學專題中，老師提出了以下的題目：「有一隻若干人的軍隊，在戰敗中決定集體自殺，此軍隊圍成一圓圈依序從1號開始自盡，接著跳過2號由3號自殺?一直到全部的人都死光為止。此時，若有一人欲獨活，則他應位於何處？」在老師的深入淺出的講解之下，我們很容易用數學歸納法尋求並證明出其結果。但我在參加去年的全國網路數學競試時，發現有一題目竟與此題目相似，不同處是前兩人自盡，跳過下一人?依序下去。這便引起了我的極大的興趣，便想了解其中條件的變化對其結果有什麼關聯性，便深入的探討此題目。

校內班際躲避球賽決賽採用單循環賽，結果發生難解的「和局▲」甲班勝乙班，乙班勝丙班，而丙班勝甲班，形成同獲1勝1負的特殊情況。因此特稱為異類排列組合。首先自創名詞、符號、作圖法……等著手，並依下列研究計畫進行。 1.縮小樣本簡化問題→2.用符號連線嘗試做有系統的符號連線圖依勝負規則性簡列成符號簡列表→3.經整理後逐一列舉→4.依排列圖深入研究，並找出和局▲→5.依序漸進導出公式→6.自製簡易計算器師生共同完成電腦程式設計整個研究過程，採用組合數學方法處理，並能從有系統有規則的紀錄表，自創簡易計算器更在老師教導下共同完成電腦程式的設計。總而言之，本研究符合將數學應用於日常生活中，解決日常生活問題的原則。

Hex遊戲是由諾貝爾經濟學獎得主納許(John Nash)在就讀研究所時所發明的一種圖形連接遊戲，本研究探究hex遊戲的獲勝技巧，同時初步探究hex遊戲的數學原理，包括hex棋盤的垂直座標表示法，同時根據此法來分析自創圖形連接的八種遊戲，如飛箭渡河(未改良前版本及改良後版本)、三角為王、六魔王、鑽石達令、家家樂、太陽笑臉及薇薇彩帶遊戲。 將遊戲棋盤使用垂直座標表示法表示之後，能清楚地了解圖形連接遊戲棋盤是由兩類基本圖形(三角形和四邊形)所擴展而成的，將六種自創遊戲、三種常見的連接類遊戲(傳聲筒、傳紙條和O×遊戲) 使用垂直座標表示法來分類之後，驚訝地發現自創遊戲棋盤中的家家樂遊戲和hex遊戲的結構相同，使得難度和玩法相近。

有一天，我看到國語日報的趣味數學欄裡，有一個問題：叫做「節約尺有獎徵答」，就是在一根沒有刻度的直尺上，畫上最少道刻度，使它量出 1 到最大的連續長度。這個遊戲使我聯想到：「用哪三個整數，本身或經過相加、相減，可排出由 1 到最大的連續整數？」，後來又想到金子店的老板，用天平秤金子時，盒子裡有很多很多的砝碼，那麼「怎樣用最少的砝碼，量出各種的重量呢？」於是我邀請同學，請爸爸、媽媽和老師指導我們做了下面的研究。

利用不同的對稱軸，操作旋轉與鏡射變換，歸納出一些幾何圖形對稱群的規則性，進而利用對稱群推演一些幾何圖形有趣的著色問題。

本研究的目的是在對4/n=1/x + 1/y + 1/z 作探討, 我們以2/n=1/x + 1/y為基礎,推至3/n ,再經由操作5000以內的所有4/n化成1/x + 1/y + 1/z 的所有方式,進而找出規律性,以期導出4/n的所有三項表達式

本研究是以簡單的統計方式，來計算單個杯筊平面與凸面出現的機率，以及兩個杯筊投擲結果雙平面、雙凸面與一平一凸面出現的機率，在過程中我們分別從杯筊的大小、高度、材質三個面向，對杯筊的投擲結果來做探討，我們在研究的過程中發現，單個杯筊投擲時，因杯筊的形狀有凸面存在，所以當各種材質都會有凸面接觸地面後，凸面類似不倒翁的底部，杯筊會較容易平穩，因此平面朝上的機率較高，而高度、形狀、材質都會影響杯筊投擲的結果，不過最重要的是我們發現，同時投擲兩個杯筊時，可能因為杯筊凸面著地後較為平穩，再加上投擲過程中雙杯筊的碰撞，所以我們發現，同時投擲兩個杯筊時：一平一凸面出現的機率遠高於雙平面出現的機率(約高10%)，而雙平面出現的機率又高於雙凸面(約高5%)，但是不是一般所認為的：雙平面出現次數：雙凸面出現次數：一平面一凸面出現次數＝1：1：2。

在三角形第三點繞半圓的研究中，我們求出三角形五心座標的相關性質及公式，其中重心的軌跡是所繞半圓縮小1/3的半圓；垂心的軌跡圖形較為多變，其圖形和固定兩點所在位置有著高度的相關性，我們並試著用不同的方法證明垂心的軌跡方程式；外心是中垂線的交點，因此不論如何移動第三點，其交點總落在固定兩點的中垂線上，所以其軌跡不是一點就是一直線，且直線出現的位置也能證明出來；內心和旁心的軌跡類似，只有在固定兩點分居於直徑兩側時，才真正是一個90°的圓弧，而其餘皆不是圓弧。研究過程中出現許多繁複的代數運算，我們也嘗試用幾何的方法加以證明，希望”心”的性質更平易近人。

任意寫出一個三位數，求此三位數減去其倒寫所成三位數之差，再加上此差倒寫所成的三位數，其結果都是定值1089，是不是任意的n 位數，照這樣演算都會有一定值存在呢？似乎均會等定值，這引起了我們莫大的研究興趣。