數學科

有一次上美勞課時，老師教我們製作美麗的裝飾品，用吸管摺成粽子。起初，我們是用剪刀把吸管剪成長條狀，然後，應用摺紙的方法，上下翻轉，一會兒，就摺出一粒粽子。忽然，俊良想到在玩魔術蛇，利用翻轉的功夫，可以轉出不同的形狀來。況且，我們又能用一支吸管摺出一粒粽子來，那麼，我們用一長條紙，是否也能摺出各種不同的形體來呢？因此，我們便開始著手進行摺紙，也請教老師和搜集市面上的書籍，後來，卻發現到令人意想不到的結果。

移位遊戲是相當熱門的科展主題，不論是調整棋子的數量、變化棋子的顏色、或是改變棋盤的樣式，都能讓研究者有不同的發現。在這次的研究中，我們嘗試自己設計棋盤樣式，並應用原有直線移位遊戲的策略來解決我們所遇到的問題，在遊戲的操作過程中，整理歸納我們所設計出的眼鏡棋的規律，這對我們來說，是很有意義的經驗，也讓我們很希望有機會將我們的研究成果介紹給大家。

以前曾經玩過一種可繪製曲線圖形的玩具，它包含幾個在邊緣滿是鋸齒的小圓形板，以及一個圓周內刻滿鋸齒的大圓形板，用法是將小圓板沿大圓板繞著轉，便可以畫出各式各樣的曲線。當時只覺得那些圖形變化多端，然而在和同學一起研究後，卻發現了很大的學問，這些都是在申述討論前意想不到的。

本研究討論一條線和兩條線打成死結或活結的原因，再探討有寬度的線段（?帶）翻轉不同度數後黏合的情形，與由橡皮筋衍伸出的各種圖形有哪些規律與特色，最後我們也探討了一些和拓樸有關的遊戲並研究發明其他遊戲或魔術。從這次的研究中，我們發現生活中不起眼的繩子、紙帶與橡皮筋，竟然也隱含了數學的拓樸原理，而且從簡單的拓樸性質-物體或圖形在不割裂、破壞孔洞下，可任意伸縮及變形，就可以衍伸出許多神奇有趣的遊戲。

猶記得寒假上數學輔導課的時候，教師拿著正多面體要我們學習立體幾何的學問，並且探討尤拉定理，於是我就突發奇想，如果我們將此凸多面體以「平面」的眼光來看待時，立體空間的邊長就變成了平面的分割直線，那麼尤拉定理是否仍適用於平面圖形呢？或是有所改變呢？這個問題引起我研究平面分割的相關問題的動機。其實「研究n條直線可以將一平面分割成多少區域」這個主題在以前有很多人研究過，而我想推廣為更多圖形分割平面的相關問題，看看是否能由尤拉定理推導出相關理論出來。

本文主要探討等差數列、等比數列的性質。首先證明任意等差數列之內，一定有等比子數列，且其首項、公差的比值必為有理數。接著利用等比數列公比 r，求出其相鄰兩項在原等差數列中項數的關係。又發現等比子數列相鄰兩項的差與其在原等差數列中的項數所構成的數列，其相鄰兩項的差皆可以構成等比數列。並得到等比子數列在原等差數列中項數的一般項。也利用等比子數列連續三個項的項數，找出任意項的一般式。等差數列的各個項可以構成係數類似巴斯卡三角形性質的等式。我們又發現等差數列中祇要有完全平方（立方）數，就有無限多個完全平方（立方）數。最後，討論兩相異等差數列共同項的關係，並得到結論。

我在中視的「奪標」節目裹，看到一位衛標的小姐在猜完獎金 2500 後，當節月主持人包國良先生問她：「是不是繼續猜下去？」這位小姐忽然搖搖頭，笑著宣布放棄 …… 這位小姐先後猜對了 300 元、400元、 500 元、600元、700 元，得到了累積獎金2500 元時，這時，爸爸和媽媽為了這個問題便爭論了起來，爸爸說：「...小姐是應該繼續猜下去，再猜下去也不會吃虧的 ……」「不！我總為得到 2500元，已經很不錯了，不要太貪心，免得猜下去後，獎金愈來愈少，是會 吃虧的 ……」媽媽有點不服氣，頂了爸爸一句。我站在媽媽旁邊，想了又想，覺得爸媽的爭論很有趣，值得更進一步驗證，到底是爸爸對呢？還是媽媽對？於是，第二天我很好奇地把這個問題，一五一十的告訴老師，請老師指導我解開這個難題，老師很樂意的告訴我：「很好，發現了問題就興設法來解決。老師會從旁指導你的 …… 聽完老師的鼓勵，我更加有信心，想進一步得到正確的結論。

我們試著尋找所需最小的城堡個數以看守整個a × b× c (a,b,c ? N) 的長方體。在a = b = c 及a = b 的結果，而在a = b > c 與a > b > c 情形下我們得到了上界，其中a = b > c 我們更發明了區塊分割法來快速求解，此外我們運用clique polynomial的x多項式來描述a ×b× c 城堡數刪去的過程中完全圖分佈的變化，直到最後求出clique polynomial只有常數項的解。

上美勞課的時候，我們用色紙做摺紙遊戲，在摺紙時，發現每一種摺紙會有不同的線條和圖形出現，有斜的、直的、交叉的……；有三角形、四邊形……。尤其是鮑立羲摺出看起來是一道美麗的“彎曲的線”，引起我們好奇，在老師指導之下，展開了我們的研究。

將高中課程所學到的巴斯卡三角形做點變化，原本以「1」為首、「+」為運算符號，現在則改成以「-1」或「ω 」為首、「×」為運算符號，新產生的三角形隱藏著某種規律性，為了更全面性的瞭解這種規律，使用電腦軟體套色繪出圖形。圖形本身具有明顯的遞迴關係，我們於是嘗試描述此種具規律性的模式；同時，我們也探討了所指定列中的某數字（如-1、ω 或ω2 ）的個數，並以通式表示之；我們發現國外的研究報告都採用同餘觀點來看改變後的巴斯卡三角形，他們將巴斯卡三角形以某數為模的餘數記錄下，並探討這些餘數在圖形中的分布情形，這個觀點讓我們重新檢視第一個數放「-1」或「ω 」且運算符號為「×」的巴斯卡三角形，發現其實可看作是以「2」為模與以「3」為模的巴斯卡三角形，並探討任一列同類餘數的個數。最後，希望能以一個演算法或通式，算出所指定列與行的該數為何。