數學科

對於一個由四個小方格組成的田字正方形，可以任意將小方格塗黑或不塗黑，而且將旋轉後會相同的塗色方法視為同一類型，那麼這個塗方格的問題，共可歸納為下列六個類型。 \r \r 如果將類型 1 貼在正方體的六個面上，則可產生一個田字面正方體。若將類型 6 貼在正方體的六個面上，也可產生一個田字面正方體，但是若正方體的六個面貼的是類型 3 的田字正方形，則它可產生的類型就不只一種，我把這樣的正方體叫做雙黑斜型正方體，把滾動後會相同的視為同一類型。這樣的問題，引發了我們研究的興趣，我們也希望其他類型的田字正方形貼在正方體上，看看它又可產生哪些類型？

平時，聖閔最喜歡玩魔術蛇與魔術方塊，利用旋轉摺翻的功夫就能轉出不同形狀的形體來。後來，班上都流行一陣魔術蛇，但宇純不小心把魔術蛇摔壞了，想買一個，又要花錢，這時，聖閔卻想到底要用什麼材料來做一個既便宜又方便的魔術蛇？哦！對了「紙」最便宜，且又輕便，經過大家討論之後，便分頭去搜集書籍與資料，後來，我們遇到很多問題，也請教老師，就在老師的指導，做了一連串的研究活動。

猶記得寒假上數學輔導課的時候，教師拿著正多面體要我們學習立體幾何的學問，並且探討尤拉定理，於是我就突發奇想，如果我們將此凸多面體以「平面」的眼光來看待時，立體空間的邊長就變成了平面的分割直線，那麼尤拉定理是否仍適用於平面圖形呢？或是有所改變呢？這個問題引起我研究平面分割的相關問題的動機。其實「研究n條直線可以將一平面分割成多少區域」這個主題在以前有很多人研究過，而我想推廣為更多圖形分割平面的相關問題，看看是否能由尤拉定理推導出相關理論出來。

看到「數學的神祕與奇趣」一書中對人口成長曲線的証明。而萌發了「何不把這樣的方法推廣到食物鏈，甚至食物網中各動物族群上」的念頭。

探討球體裝箱的奧秘。例如各種規則裝法的差異及在何種情況時，哪種裝法最為適用。

從太武山上望向前方，到底可以看多遠呢？利用三角形的相似性質，用對應邊成比例的特性，將我們要求的距離算出來，並考量實際光穿過大氣的折射率，調整成更符合實際情形。

我們研究的題目是屬於「覆面算」的一種題型。探討在n 進位制中，符合A1A2A3…… Am-2Am-1Am×N＝AmAm-1Am-2……A3A2A1 的m 位被乘數，其中N＝2～(n－1)，n 為該進位制的「基數」。並歸納在所有進位制中，解答的一般性。

目前計算機科學極為發達，並且微電腦的普及使得接觸這方面的人不再侷限於少數。在電腦的運用中，圖形的處理最為人們注目，炳且在CAD的技術上亦佔有重要的地位。如何在螢幕上顯現立體的圖像在電腦繪圖中是一個富趣味與挑戰的題目。故在此提出和大家切磋。

我們在一本小牛頓雜誌中，看到了有關卡布列克運算的有趣報導，其中提到了隨便選一個二位數，將它的十位數字和個位數字對調，得到一個新數，在比較這兩個數的大小之後，再以大數減去小數，所得的差一定會落在09/90、18/81、36/63、27/72、45/54五組數之中，而且這五組數會一直繞圈圈。學校數學課剛好提到整數的四則運算及分解，幾個好朋友決定一起利用學校所學到的數學及電腦課程知識來試試看。結果真有趣！

我們在昌爸數學工作坊玩數學遊戲時，接觸蛙跳和河內塔時，大家都喜歡這兩種遊戲，所以就想要結合這兩套遊戲規則合併，創出「青蛙」「塔」這個遊戲。研究中發現，青蛙數、荷葉數與總步數三者之間具有一定的規律：設N為荷葉數，Ｙ為青蛙移動的最少步數：當兩邊青蛙數各為1時，Y=2x（N-1）-1；當兩邊青蛙數各為2，N>=4時，N=偶數時， Y=9+4x〔（N-2）/ 2-1〕、N=奇數時，最少步數為Y=10+4x〔（N-3）/ 2-1〕；青蛙編號最大的最少步數：N為奇數時，青蛙編號最大的最少步數：（N-3）/ 2+1、N為雙數時，青蛙編號最大的最少步數：（N-2）/ 2+1。以及減少步數的方法：隔位跳躍、棋子的移動位置、鋪路、寄青蛙、青蛙編號最大顆的跳法。