數學科

校內班際躲避球賽決賽採用單循環賽，結果發生難解的「和局▲」甲班勝乙班，乙班勝丙班，而丙班勝甲班，形成同獲1勝1負的特殊情況。因此特稱為異類排列組合。首先自創名詞、符號、作圖法……等著手，並依下列研究計畫進行。 1.縮小樣本簡化問題→2.用符號連線嘗試做有系統的符號連線圖依勝負規則性簡列成符號簡列表→3.經整理後逐一列舉→4.依排列圖深入研究，並找出和局▲→5.依序漸進導出公式→6.自製簡易計算器師生共同完成電腦程式設計整個研究過程，採用組合數學方法處理，並能從有系統有規則的紀錄表，自創簡易計算器更在老師教導下共同完成電腦程式的設計。總而言之，本研究符合將數學應用於日常生活中，解決日常生活問題的原則。

從太武山上望向前方，到底可以看多遠呢？利用三角形的相似性質，用對應邊成比例的特性，將我們要求的距離算出來，並考量實際光穿過大氣的折射率，調整成更符合實際情形。

給定任意△ABC及P點，連¯PA 、¯PB 、¯PC，再分別作△PAB、△PBC、△PAC的重心連成P點重心三角形，由此展開研究，推廣至任意n邊形的P點重心n邊形，觀察原n邊形與P點重心n邊形的關聯，發現在平面上移動P點，P點重心n邊形皆全等；接著嘗試透過尺規作圖反推作出原n邊形，探討其存在性及唯一性；進一步地推廣到空間中，作出正四、六、八、十二、二十面體的P點重心多面體，跟隨P點移動時為全等多面體。之後，重複疊作P點重心三、四、五邊形，可得△AkBkCk、四邊形AkBkCkDk、五邊形AkBkCkDkEk(k=1~n)，分別作重心G1、G2…Gk，發現P與G1、G2…Gk共線，又當n→∞時，limGn=P。推廣至相異三角形的P點重心三角形，發現會有重複疊作P點重心三角形的延伸性質。

探討球體裝箱的奧秘。例如各種規則裝法的差異及在何種情況時，哪種裝法最為適用。

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四張郵票，四種價值，卻能湊出1~10連續不斷的十種價錢。一張圖，能填入的數字與擺放的位置隱藏著絕妙的數學問題。對此，大家給了它一個名稱—IC圖。 我們將IC圖推廣到複雜的進階圖形，分別是多重放射圖、長鏈放射圖、階梯放射圖；環的研究則有三角環、四方環連接圖。它們的關係大致如下: 關於更複雜的圖—環與放射狀的結合，我們期望能在未來一窺其奧妙。

相較多邊形邊上的填數遊戲，本研究討論更複雜的平鋪圖形填數遊戲。我們發現所有填數遊戲都具備「互補性」，無論是數字填入內部或者是填入邊上，所以解答數量必定「對稱」。此外，填數遊戲都可用共通策略來處理：(1)以代數分析重複處的數字；(2)應用互補性，尋找一半原型即可（不需窮舉）；(3)計算原型的排列組合；(4)完成解之尋找。我們的三個填數遊戲，正三角形有576個解、正方形有6112個解、正六邊形部分，雖沒有求出所有解，但我們用Excel VBA程式設計介面，可供求解之用。最後，我們將單一正方形填數推廣到「複製後進行無限平鋪」，我們發現其中內部數字規律之必然性，包含配對、奇偶性、等差、交叉交換等，最後證明兩類共12個無限平鋪圖形。

在平面幾何中，有一個重要且有趣的問題：平面上有兩點A、 B ，在直線 L 同側，在 L 上找一點 P0，使有最小值，要解決這樣的問題，我們會將 L 視為一面鏡子，利用“鏡射”的方汰，解決“不定折線段最小長度問題”受了此觀念的啟發，我嘗試利用多條直線，交替鏡射去探討“不定多邊形最小周長為何？ " 因此，展開了我的研究之旅 … …

本研究在探討任意二個正整數 a ， b 的最大公因數與 a – b、b ( 或 a )的關係；並將公因數的觀念應用於解決日常生活中的數學問題。一、結果發現：(一) 若 a、b 不互質，即 ( a，b ) = d > 1，則必須 d 為 c 的因數，ax＋by = c才有 x、y 的整數解。並且找出如何得到 x、y 的整數解的具體方法。(二) 若 a、b 互質且 α ， β 是 ax＋by = c 的一組整數解，那麼 x 的任意整數解就可表成是 α + bk，y 的任意整數解就可表成是 β – ak。其中 k 為任意整數( 或 x 的解是 α – bk，y 的解是 β + ak 亦可)。二、在公因數的應用上則得出：(一) 任意給定二個容量為 a ， b 的容器時，可先判斷能否量出容量為 c 大小的溶液；若能量出，則由 ax＋by = c 的整數解，就可以有一相對應的準則，能很有規律地倒出容量為 c 的步驟與方法。(二) 如果要將一容量平分成二等分，第一步驟仍要先判斷是否有解；有解之後，再求出一整數解，然後再仿(一)的方法進行平分動作。(三) 利用求整數解的過程，也順道解決了：某整數 x 除以 m 餘 a ， 除以 n 餘 b ，但 m – a ≠ n – b 時， 我們找到至少一組求出整數 x 的方法。

在一已知三角形內，嵌入這三個互不重疊的圓（如圖 1 )，怎樣的情況下才使這三圓的面積和為最大？