班上同學總是喜歡一起下棋的感覺，其中又以五子棋最吸引我們，我們也發現當某方先達到三子連線或是四子連線的時候，最後都常常會是勝利的一方。為了分析研究出各種能先完成三子連線的下法，我們將五子棋的棋盤縮小為3X3 與4X4的大小以方便討論，並歸納出「活二連線」、「雙死二連線」等棋子的分佈是3X3 棋盤獲勝的條件，而在4X4 當中，亦發現了許多想要獲勝所需要的條件。有了這些基礎，在往後與同學的對奕之中，更多了許多自信與樂趣，值得一提的，當我們在方格紙上分析畫圖的過程中，也發現獲勝棋子分佈所形成的有趣圖案呢！

我們的研究主題是「若有連續n個數字（nεN），要如何將這些數平分成k組，且使各組的數字和皆相同？」研究重點在於嘗試從列舉法得到的數據中，找到n與k的規律，並且找到最快且最方便的分組方法，研究方向朝「數字個數增加」及「次方數提高」兩個面向進行。最後，我們成功找出數字分組的規則和公式。

本研究源自於某數學問題「王家珠寶盒」，內容為將1~169個數字排列成一個正六邊形的\r 形狀，排列完後有數個有趣的規律：169為13的平方，圖中每六個數字圍成小灰色六邊形，\r 數字和是13的倍數；黑色部分的數字是13的倍數，灰色六邊形外圍的12個數字圍成較大的\r 白色六邊形，這12個數字數字和也是13的倍數；六邊形的數字以對角來看154+15=169、\r 161+8=169為169……等，所有的規律都圍繞著13的倍數。因此研究主軸放在找出各項性質\r 的原因為何？排列方式為何？是否有其他的數字可排列成此種六邊形？經過分析後，利用\r excel計算1~2000000的數字，找出6個數符合1、169、32761、6355441、1232922769、\r 239180661721，但尚未能證明是否只有這6個數，故未來研究方向應置於證明是否還有其他的\r 解亦或只有這六個解成立。

有鑑於國小學生剛升入國中對於立體觀念之生疏二年級學生在"開方"學習上失去信心及國三學習低成就者在邏輯推理上之困遇引發了研究動機。

於高二下學期排列組合的課程中，一道有關棋盤形街道走捷徑的問題，改變遊戲規則來延伸探討不同狀況。首先，設計電腦程式來確定答案的正確性，以及用數學歸納法找尋其中的規則。最後，在解題的過程中發現其解竟然與費氏(Fibonacci ) 數列有著密切的關係，並且從中發現解題策略，進而試圖推測空間狀況是否仍有如此奇妙的結果。

以前曾經玩過一種可繪製曲線圖形的玩具，它包含幾個在邊緣滿是鋸齒的小圓形板，以及一個圓周內刻滿鋸齒的大圓形板，用法是將小圓板沿大圓板繞著轉，便可以畫出各式各樣的曲線。當時只覺得那些圖形變化多端，然而在和同學一起研究後，卻發現了很大的學問，這些都是在申述討論前意想不到的。

對於一個由四個小方格組成的田字正方形，可以任意將小方格塗黑或不塗黑，而且將旋轉後會相同的塗色方法視為同一類型，那麼這個塗方格的問題，共可歸納為下列六個類型。 \r \r 如果將類型 1 貼在正方體的六個面上，則可產生一個田字面正方體。若將類型 6 貼在正方體的六個面上，也可產生一個田字面正方體，但是若正方體的六個面貼的是類型 3 的田字正方形，則它可產生的類型就不只一種，我把這樣的正方體叫做雙黑斜型正方體，把滾動後會相同的視為同一類型。這樣的問題，引發了我們研究的興趣，我們也希望其他類型的田字正方形貼在正方體上，看看它又可產生哪些類型？

本文主要在探討幾何中的兩個重要結果—三角形中的『孟氏定理』與『西瓦定理』推廣到平面上任意的『凸 邊形』與『凹 邊形』的相對應結果，甚至於我可以將『凸凹 邊形』換成『 條直線』，我發現亦可以得到類似的結果。在完成平面上的圖形推廣之後，我也試著思考其在立體空間中是否也有類似的推論，很幸運地也發現有類似平面多邊形的結果，目前已完成空間中任意『 個頂點多面體』的『孟氏共面定理』，此外，我也證明了空間中任意四面體的『西瓦共點定理』，同時以實例驗證空間中的『西瓦共點定理』在四角錐中的形式。

當數學老師上到三角形重心的畫法及性質時，我突然想起牛頓科學雜誌中談及的宇宙起源大爆炸（ BIG BANG ）與黑洞（ BLACK HOLE ），我想到在大爆炸之後造成數個星系，小如太陽系，大到比銀河系還大的星系，它們的結構特性都是有一重力中心，四周圍繞著眾多的星球，整個星系是平衡地旋轉著，又如黑洞，其中心點即為一重力中心，周圍的星球因受其力量吸引而越繞越近，最後被吸入中心點，若我們假設每顆星球的質量都相等，並以三顆星圍繞著一重力中心開始，我們想要探討原三顆星如何轉換位置而移動到新位置且保持不變的重力中心，他們的轉換路徑是否可以用數學模式加以顯示？以下即為我的探討。

由左而右有A、B、C 三根管子，在A 管內有n 顆由上而下依序編號為1~n 的球 ( n
1)，移動球的規則為：一次只能由左往右移動任一管子內最上方的一顆球，在此規則下，最後C管中n 顆球的排列種類有n+2 E 種，其中為n 邊形被其對角線切成n－2 個三角形所有方法數。而C 管中n 顆球的排列方法，k 號球在底的方法數為種， 而這個數列滿足以下的關係式：。