由一個簡單的定義，可以作出一條曲線。我們便以一個新的定義畫出一條曲線，並嘗試分析其性質。

兩透明片Ａ和Ｂ分別印著同心圓系，Ａ的半徑依序為：λ1,2λ1,3λ1...Ｂ為λ2,2λ2,3λ2...。當兩透明片重疊時，會形成干涉圖樣，兩圓重疊處，形成加強性干涉，相當於水波槽實驗中波峰和波峰重疊形成腹點。此種干涉圖樣的最大特色為：移動其中的一片透明片，就會形成極大的圖樣變化。 本作品推導出一個四次極座標方程式，這個四次方程式滿足兩透明片重疊時所顯現的所有圖樣。我們證明： 1.若λ1 = λ2 則干涉圖形為雙曲線或橢圓。 2.若λ1 ≠ λ2 且Ａ和Ｂ兩圓心的距離 = 0時，形成新的同心圓。 3.若λ1 ≠ λ2 且Ａ和Ｂ兩圓心的距離 ≠ 0 時，形成類似心臟線或蚶線，我們證明在離圓心較遠處為蚶線或心臟線。

此篇報告重點主要在研究「西爾平斯基猜想」： 西爾平斯基猜想(Sierpinski Conjecture) 對於任意自然數n≧5而言，不定方程式5/n=1/a+1/b+1/c均有相異自然數解。 得到相關的結果如下： 一、若n為自然數，則1/n=1/a+1/b+1/c至少有一組解。 二、若n為自然數，則2/n=1/a+1/b+1/c (n≧2)至少有一組解。 三、若n不是「6k + 1」型的自然數，則3/n=1/a+1/b+1/c (n≧3)至少有一組解。 四、設k為自然數或0，若n不是「60k + 1」型的自然數，則5/n=1/a+1/b+1/c ( n ≧5)至少有一組相異自然數解。

教室後面的圖書箱最近圖書媽媽又添購了一些新書，其中「阿草的葫蘆」這本書內容很豐富，但大部份我們都看不懂，畢竟我們年紀還小。裡面偶而有一些數學推理遊戲，倒是能吸引住我們，其中「障礙賽跑」充滿了「障礙」(原文摘錄「阿草的葫蘆」 P . 347 、 P 348 ) : 一個炎熱的下午，阿拓和阿霧兩人在冰店輝聊天納涼。 「該想些遊戲來玩，輸的人付錢。」阿霧提議著。 「你可有什麼新鮮的？」阿拓問道。 「我想起一種遊戲，和百合接力賽跑差不多，暫且叫做障礙賽跑吧！」阿霧一面說著一面拿出撲克牌，把 1 到 6 的 24 張牌找了出來。 「規則和接力賽跑差不多，每個人輪流拿一張牌，把拿出的牌的點數全部累加起來，誰能使加起來的點數成為 31 點誰就贏，但是超過 31點要算輸。」 「嗯，這和最多六步，最少一步的接力賽跑又有什麼不同？」阿拓問道。 「當然不同，要不然怎麼叫做障礙賽跑？只是你一時還看不到障礙罷了！要不要試一試？」阿霧說道。 阿拓接受了挑戰，但滿腹狐疑，猜不透其中的機關： 「由我開始好了，31除以 7 餘 3 ，照接力寶跑的原則，我先拿 3 。」阿拓說。 阿霧不聲不響拿了一張4，接著阿拓又照接力賽跑的原則再拿一張 3 。然後兩個人輪流又拿了兩張 4 和兩張 3 ，此時點數已經累積到 24。阿霧嘴角泛著微笑，拿掉最後的一張 4，望著阿拓。 「障礙賽跑？！我看到障礙了！原來每個數字最多只有四張，這次我輸了，再來一次！」阿拓總算在數字遊戲上首嚐敗績。 一遍一遍玩下去，越鑽研越覺得這種遊戲變化之大。有時候要搶接力賽跑中的特殊點(即累積點數為 3 、 10 、 17 、 24 、31者 ) ，有時候又要盡力避開這些特殊點。經過長時間的分析，最後才得到致勝的原則。(非常複雜)。 這項遊戲和賽跑一點關係也沒有，而是在有限的字牌中取得勝利的關鍵牌。經過一陣子的摸索後發現變化實在很多，差點沒撞牆。我們現在試著從最基本的情況探討起。

上數學課時，我們從五上第七單元【三角形與扇形】學到了如何求出三角形的內角角度及扇形角度，第九單元【表面積】扉頁說明認識了正多面體。我們在一次偶然機會，將課本上已分成四等分的圓形圓周上與半徑相交的點相連，發現可以連成一個正方形，經由老師的說明才知道原來這是「圓內接正四邊形」，於是我們想進一步深入研究圓內接正多邊形。我們利用半徑六公分的圓製作各種圓內接正多邊形，將對摺、平分、倍數等觀念，成功摺出圓內接正偶數邊圖形；利用半徑等分，也成功摺出圓內接正三、五、七、九、十一邊形；我們更將摺出的圖形組合成各種正多面體及正三角形多面體；最後再試著利用一張圓內接正多邊形做成角錐。由平面到立體，讓我們在研究與實作的過程充滿驚喜，真的是太有趣了！

此研究是針對正Ｎ邊形各邊分點與頂點連線所形成的小正Ｎ邊形和原正Ｎ邊形的面積比，因商高定理的說明圖形為起源，所以先針對正方形作研究，剛開始我們利用切割法(研究過程中有介紹)找出正方形各邊分點與頂點連線所形成的小正方形和原正方形的面積比，再依同樣的切割法對正三角形、正五邊形、正六邊形作切割找出面積比，過程中有些正Ｎ邊形可以用此切割法求出面積比，在文中我們稱此圖形為完美切割，而無法用此切割法求出面積比的正Ｎ邊形，我們利用了鋪瓷磚方法和代數法解釋了哪些正Ｎ邊形可用此切割法求面積比和無法用切割法的正Ｎ邊形面積比公式。

本研究從「雙心多邊形其旁心n邊形和內切圓切點n邊形面積成等比且相似」為靈感，將雙心條件放寬為圓外切四邊形，觀察面積等比關係是否繼續存在或作了何種改變，後來延伸到圓外切多邊形時發現奇數多邊形因為能證明旁心n邊形和內切圓切點n邊形相似，我們證明了其必為雙心多邊形，偶數多邊形因不相似，我們利用每一層圓心角的性質變化，觀察到偶數多邊形面積變化規則。

我們定義『驚奇的數』是指一個完全平方數a2，其中a∈N，若 Σn，恰為另一個完全平方數時，則稱a2為『驚奇的數』。本研究是找出哪些以驚奇的數為邊長的三邊形數是平方數。將問題轉換成連續股的直角三角形問題後，發現：當an2為驚奇的數時，滿足二階遞迴式為an=6an-1-an-2。本研究亦推廣上述結果，利用Pell方程式與矩陣計算來求哪些邊長的p邊形數亦同時為四邊形數。處理方法分為兩類：一類可以使用矩陣計算來討論，已討論出附帶方程式部分的初始解情形。另一類無法使用矩陣計算，利用因式分解的技巧處理，發現與切比雪夫多項式有著密切關係。

阿波羅尼奧斯問題（Apollonius' Problem）是古希臘數學家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）提出討論的幾何作圖問題：設有3個圓，要如何做出一個圓，使其與已知三圓相切？另外，如果將題目中的圓以線或點帶入，則總共十種的題目，要如何做？阿波羅尼斯按已知條件將問題分成10種：點點點、線線線、點點線、點線線、點點圓、點圓圓、線線圓、線圓圓、點線圓、圓圓圓。對於阿波羅尼奧斯所提出的問題，我們嘗試利用了國民中學第五冊尺規作圖的概念與邏輯思考來證明。

『美麗的幾何圖形，與數字的運算，這之間居然有著奇妙的關係！你相信嗎？』９３年９月的科學研習期刊中的這句話吸引了我們的注意。只要在一個正方形的四個頂點處各寫下一個正整數，如１、２、３、４、…然後算出相鄰兩角數字的差，寫在四條邊線的中點，再以四個中點畫一個新的正方形，繼續重複這個程序，最後一定會出現一個四個角數字都相同的正方形。如下圖：