這是一個好玩又特別的拼湊卡遊戲，我們發現和拼湊卡有關的科展研究曾拿過 3個全國第一名(第 31 屆初小、第 32 屆高小、第 41 屆初小)，但我們詴著從另外的角度出發，在紙卡上畫出兩面均是 4 欄*4 列的格子，利用不同的切割方式，產生不同格式的拼湊卡，接著訂出每一型的遊戲規則，再經由不同的摺法所產生之田字型數字組合的數值，其數值必須是連續性，我們藉由嘗詴研究與歸納整理，詴圖摺出理想中田字和連續之最大數值。

在國中數學選修上冊中，第四章討論圓與直線的關係，老師曾講過一個這樣的題目類似此種圖形的題目在考試中也常出現，引起我們研究的興趣。 \r 已知： \r AO = OD = r = EO = FO， \r AD為圓內一弦，被EO、FO三等分 (即AB = BC = CD) \r 求證：∠BOC ﹥∠AOB = ∠COD \r

在一次邂逅裡，我們碰到了一個三角形旁切拋物線的題目，我們經過代數、向量、幾何作圖方法，得到了一個完美的結果：△ABC 旁切拋物線的正焦弦長 = （其中F 是焦點，R是△ABC 的外接圓半徑），以這個結果為基礎，我們推導出︰當其對稱軸為△ABC 中的角平分線時，三個旁切拋物線的正焦弦長與三角形間的關係式，更對這三個正焦弦長做了關係的討論。 令人意想不到的是，這個對稱點的作圖（Simson 定理推廣），亦適用於三角形旁切橢圓及旁切雙曲線，並進一步得到△ABC 旁切橢圓（雙曲線）的長軸長（貫軸長）= ，短軸長（共軛軸長）的平方 = ，（其中d 是焦點F 到△ABC 外接圓圓心的距離，F1 ,F2 ,F3 分別為F 到
ABC 三邊的垂足），因而其正焦弦長 = 。

平時，聖閔最喜歡玩魔術蛇與魔術方塊，利用旋轉摺翻的功夫就能轉出不同形狀的形體來。後來，班上都流行一陣魔術蛇，但宇純不小心把魔術蛇摔壞了，想買一個，又要花錢，這時，聖閔卻想到底要用什麼材料來做一個既便宜又方便的魔術蛇？哦！對了「紙」最便宜，且又輕便，經過大家討論之後，便分頭去搜集書籍與資料，後來，我們遇到很多問題，也請教老師，就在老師的指導，做了一連串的研究活動。

布 9 個正方體各個面上填入適當的數，使這些正方體經過翻轉調動後， 9 個朝上的面可以是九九乘法表任何一列 的 9 個數，亦即可以用這9個正方體排出(1) l , 2 , 3 ， … ， 9 ；(2) 2 , 4 , 6 ， … ， 18 ； (3) 3 , 6 , 9 ,…, 27；(4) … ；…；(9) 9 , 18 , 27 , …… , 81 ，等 9 種祖合。填入的數要盡量避免重複，且必須盡量平均分布在各個正方體，如此才算是最佳解。以下簡稱此問題為”9□乘法表”。 有人研究“ 12 合乘法表”的最佳解法，並找出正方體共填 63 個數的解答，其中有 4 個數重複填了兩次，但尚未找到填 59 個數的解法；也就是沒有任何數重複的情形。我想要探討是否有填 59 個數的解法的存在性，並推擴此問題到正方體個數不為 12 的情形。

在平面三角形的性質中， 有面積公式：；三角形的正弦公式：；餘弦公式：；外接圓半徑和內接圓半徑等等。如果把這些性質類比到空間四面體中會是什麼樣的形式呢？以下就是我們的探討過程。

上因數與倍數課時，課本列舉2、3、5、11的倍數的識別法，應用起來非常簡便，許心怡同學問老師說：「其他的整數是否也有簡便的識別法呢？」老師說：「大家一起去發現呀！」因此，我們就利用課餘時間，在老師的指導下 ，進行這個研究。

有個密碼鎖由D個旋鈕組成，每個旋鈕有N種不同的號碼，由於構造缺點若D個旋鈕中僅有1個號碼錯誤仍能打開密碼鎖，問最少嘗試多少組號碼才能保證一定能打開這個鎖？這個問題等同於在N元D維超立方中找一組點集，點集中的點各自向其D維度畫出延伸線，若超立方中的所有點都至少被1條延伸線所涵蓋，要求重複涵蓋的次數總和要最少。 43屆的科展中已經討論過3個旋鈕的情況，我們接著分析4個旋鈕的情況。在討論中發現D=4時並沒有型如D=3時保證打開的最小次數公式，我們給出上下限的公式。但D=N+1且N是任意質數時卻很特別，恰可利用拉丁超立方挑出1組點集，其所有延伸線涵蓋的點都沒有重複，稱為完美控制，而保證打開鎖的最小次數是NN-1。

由於螢幕保護程式產生的有趣立體圖形動畫，引發我的興趣想進一步探討是否可以以數學為工具處理大量的圖形運算取代卡通式的貼圖進而探討剛體的運動及其 3D 動態式模擬。

智慧拼圖現在已是一種處處可見的益智遊戲。在本研究中我們利用矩陣去定義智慧拼圖的位置，實際去操作a11與其他位置互換的狀況。我們將矩陣分成長方形與正方形兩部分來討論，並且在兩種不同形狀的矩陣中找出基本變換型，並且定義出一些固定走法，讓我們推導出不管是m×n矩陣或是n階方陣我們一樣可按照固定走法配合基本變換型進行a11 與aij的最短路徑的位置互換。最後我們嘗試點對稱的倒轉，也就是將矩陣內所有aij與a(m+1-i)(n+1-j)對調，去找出倒轉的可行性及步法規則，並且利用遞迴數列推導出在我們的固定走法下的步數通式。