數學科

無論在平面上或空間中，都存在有一些「正多邊形」或「正多面體」。在解析幾何出現之前，對於這些「正」的幾何形體，已有相當的研究結果。由於解析幾何的發明，四維以上歐氏空間的概念，也逐漸被人們接受。隨之而來的問題是，高維空間中也能找到由若干相同正多面體所組成的「超體」，或是由若干超體所組成的「超超體」嗎？在二度和三度空間中的各項性質，又能夠以怎樣的方法推廣至高維空間呢？

本研究主要是探究「孔明神算牌」的數列規律性及設計原理，然後加以應用。研究的結果發現，「孔明神算牌」是利用「2的次方」的組合及分類的原理設計而成，發現這個原理之後，我們嘗試以其他次方的組合找出數列的規律性，並歸納出設計公式及製作紙牌的要訣，最後以「4的次方」的組合，設計出好玩有趣而且獨一無二的「神機妙算牌」與大家同樂。

六十九年十二月二十八日，零時到六時，為全國戶口普查標準時刻。我們全家都在家裹等候普查員的普查。我們覺得很新鮮，好玩！為什麼要動員那麼多的老師、警察伯伯和其他工作人員，來做這件事呢？我們老師累病了，還是抱病預查，為什麼呢？我問老師，她回答我說：「戶口普查是一種國力調查，可以明瞭人口質量、經濟狀況和居住分配的情形，以應人力運用、居住改善及各項建設規劃之需要。」我看到電視、報紙、廣播也談這件事。但是，我還是似懂非懂，到底人口質量是什麼呢？它和國力有什麼麼關係呢？於是我和同學建議老師說：「我們班也做一次戶口普查好嗎？」老師笑著說：「 很好！很好！」

對於n柱河內塔的移動，當完成遊戲，其過程必存在「半移動」(名稱說明見P5 )狀態。我們從「半移動」狀態中，尋找出如何達成「捷徑半移動」(名稱說明見P14)的方法？此種方法為「滿格建構」(名稱說明見P12)。進一步利用「捷徑半移動」，建構出「河內塔的捷徑」。並從「滿格建構」推導出的「滿格數量關係表」，發現其關係存在著「巴斯卡三角圖形」。利用「巴斯卡三角圖形」的關係，我們推導出n柱m環的通式。成功的解決了”Explorations in 4-peg Tower of Hanoi” ( Ben Houston & Hassan Masum , 2004 )這篇論文，所談及的『百年來，河內塔4柱以上的移動是不能証明最優化』。

五年級時，我看到三姊在畫幾何圖形，我問她在做什麼？她說：「我在把各種圖形分成若干等分。」我那時覺得三姊很棒，我也想學學她。所以我利用這次參加科展的機會，與同學一起研究如何把各種圖形分成三等分。

好不容易才等到兩個星期才一次的棋弈課，又可以和老師好好的廝殺一場。上課鐘聲還沒響，我就已經做好開戰的準備了！老師怎麼還不趕快出現，我隨手把兩個棋子排在一起。心想：如果在外圍再畫一個大圓，不就是以前考過的數學題目嗎？(如下圖) ： 請下圖填填看： 大圓的直徑是8公分。 小圓的直徑是( )公分。 大圓的圓周約( )公分。 想著，想著，不知大圓面積和兩個小圓總面積有沒有什麼特別的關係？還有，最近不是在流行吃蛋塔嗎！如果把象棋變成蛋塔，那我的蛋塔盒不就變成圓的了！市面上好像都是方形的蛋塔盒。有趣！有趣！

由一個簡單的定義，可以作出一條曲線。我們便以一個新的定義畫出一條曲線，並嘗試分析其性質。

班上同學總是喜歡一起下棋的感覺，其中又以五子棋最吸引我們，我們也發現當某方先達到三子連線或是四子連線的時候，最後都常常會是勝利的一方。為了分析研究出各種能先完成三子連線的下法，我們將五子棋的棋盤縮小為3X3 與4X4的大小以方便討論，並歸納出「活二連線」、「雙死二連線」等棋子的分佈是3X3 棋盤獲勝的條件，而在4X4 當中，亦發現了許多想要獲勝所需要的條件。有了這些基礎，在往後與同學的對奕之中，更多了許多自信與樂趣，值得一提的，當我們在方格紙上分析畫圖的過程中，也發現獲勝棋子分佈所形成的有趣圖案呢！

科學昌明的今日，各種儀器應有盡有，這是不可否認的。但在一般教學上、機械製圖上、或美工設計上，每逢繪製橢圓時，往往只能以「橢圓板」去描繪，但形狀、大小卻受限制，若超出「橢圓板」的範圍就不能描繪。也有利用「圓規」繪製，但手續繁雜，又不正確。至目前所知，繪製出來的橢圓都是近似橢圓形，並不能合乎橢圓方程式。

我們有機會欣賞建國高中學長發表的科展作品「走走跳跳」（ 1995 年國際科展國內初選加拿大正選），與屏東高中學長發表的科展作品「乾坤大挪移」（ 1999 年全國科展），兩校學長在一直線上處理黑白棋子的互換，獲得了很好的研究成果，但是都沒有涉及到如何在平面上文換棋子。因此我們興起了在平面上試走的念頭。就自行設計了下面的題目： 如圖 l ，由 2個 m×n 的矩形重疊一格所形成的棋盤上，每個矩形分別擺上 mn- l 個黑棋與白棋，只留下中央的重疊格不放置棋子，每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進，是否可以將黑白棋全部互換？