數學科

由一個簡單的定義，可以作出一條曲線。我們便以一個新的定義畫出一條曲線，並嘗試分析其性質。

本研究主要是探究「孔明神算牌」的數列規律性及設計原理，然後加以應用。研究的結果發現，「孔明神算牌」是利用「2的次方」的組合及分類的原理設計而成，發現這個原理之後，我們嘗試以其他次方的組合找出數列的規律性，並歸納出設計公式及製作紙牌的要訣，最後以「4的次方」的組合，設計出好玩有趣而且獨一無二的「神機妙算牌」與大家同樂。

我們有機會欣賞建國高中學長發表的科展作品「走走跳跳」（ 1995 年國際科展國內初選加拿大正選），與屏東高中學長發表的科展作品「乾坤大挪移」（ 1999 年全國科展），兩校學長在一直線上處理黑白棋子的互換，獲得了很好的研究成果，但是都沒有涉及到如何在平面上文換棋子。因此我們興起了在平面上試走的念頭。就自行設計了下面的題目： 如圖 l ，由 2個 m×n 的矩形重疊一格所形成的棋盤上，每個矩形分別擺上 mn- l 個黑棋與白棋，只留下中央的重疊格不放置棋子，每個棋子可藉由移動一格或跳過相鄰一個棋子而前進，是否可以將黑白棋全部互換？

科學昌明的今日，各種儀器應有盡有，這是不可否認的。但在一般教學上、機械製圖上、或美工設計上，每逢繪製橢圓時，往往只能以「橢圓板」去描繪，但形狀、大小卻受限制，若超出「橢圓板」的範圍就不能描繪。也有利用「圓規」繪製，但手續繁雜，又不正確。至目前所知，繪製出來的橢圓都是近似橢圓形，並不能合乎橢圓方程式。

任意寫出一個三位數，求此三位數減去其倒寫所成三位數之差，再加上此差倒寫所成的三位數，其結果都是定值1089，是不是任意的n 位數，照這樣演算都會有一定值存在呢？似乎均會等定值，這引起了我們莫大的研究興趣。

六十九年十二月二十八日，零時到六時，為全國戶口普查標準時刻。我們全家都在家裹等候普查員的普查。我們覺得很新鮮，好玩！為什麼要動員那麼多的老師、警察伯伯和其他工作人員，來做這件事呢？我們老師累病了，還是抱病預查，為什麼呢？我問老師，她回答我說：「戶口普查是一種國力調查，可以明瞭人口質量、經濟狀況和居住分配的情形，以應人力運用、居住改善及各項建設規劃之需要。」我看到電視、報紙、廣播也談這件事。但是，我還是似懂非懂，到底人口質量是什麼呢？它和國力有什麼麼關係呢？於是我和同學建議老師說：「我們班也做一次戶口普查好嗎？」老師笑著說：「 很好！很好！」

上因數與倍數課時，課本列舉2、3、5、11的倍數的識別法，應用起來非常簡便，許心怡同學問老師說：「其他的整數是否也有簡便的識別法呢？」老師說：「大家一起去發現呀！」因此，我們就利用課餘時間，在老師的指導下 ，進行這個研究。

在一個方格陣列上擺放一定數量的阻隔點（即障礙物）時，從方格中由左下角走到右上角所需的捷徑步數與未受阻擋的方格比較，勢必會受到影響。本研究主要建立在此種模式中，經由觀察、假設到證明的過程，發現許多諸如對稱、分布、極值等性質。依次固定障礙數量，加以比較並歸納當障礙物擺放於何種位置或情況時，方格中的捷徑走法數量會產生極值，及探討障礙擺放於各位置時，所剩餘的捷徑走法數量分布情形與性質。 此外，我們也嘗試朝三維的方向進行討論。我們以二維情況的研究結果為基礎，研究出三維情形中捷徑走法數的計算方法與阻擋數分布情形，進而討論出當障礙物擺放於此方體陣列中，應擺放於何處才能使捷徑走法數產生極值。

阿波羅尼奧斯問題（Apollonius' Problem）是古希臘數學家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga）提出討論的幾何作圖問題：設有3個圓，要如何做出一個圓，使其與已知三圓相切？另外，如果將題目中的圓以線或點帶入，則總共十種的題目，要如何做？阿波羅尼斯按已知條件將問題分成10種：點點點、線線線、點點線、點線線、點點圓、點圓圓、線線圓、線圓圓、點線圓、圓圓圓。對於阿波羅尼奧斯所提出的問題，我們嘗試利用了國民中學第五冊尺規作圖的概念與邏輯思考來證明。

去年參加建中「中學生數學通訊解題」時，發現第二期 88205 斟酒問題，內容充滿了思考和推理的趣味性，引發我研究的動機。（原題摘錄如下） : （如附件一） n 個客人圍坐一圓桌，按逆時針方向依次編號 l , 2 , 3 ， … n 。服務員先給 l 號座位斟酒，然後再按逆時針的方向斟，但每次都要跳過兩個未被斟酒的客人（已斟過酒的客人自然也跳過），才給下一位客人斟酒，但最後一位客人不受此限制。試問：最後一位斟到酒的客大的座位編號是多少？ 在思索問題的過程中，處處充滿了難題與挑戰，因此我到圖書館尋找解題相關線索，想從相關文獻資料中，探討其研究方式。我找到－民國 84 年我國參加紐西蘭第十九屆科學展覽的科展作品名稱：劫後餘生(其研究題目如下) : （如附件二） 「有一個古代的故事」，歷史學家約瑟與他的四十位猶太同伴為逃避羅馬人的追殺而躲在一個山洞裡。這些人寧死也不願被俘虜，最後眾人決定輪流自殺，先指定首領為 1 號，然後大家接著首領圍成一圈，從 1 號算起，每次算到第三個存活的人就必須自殺，直到全部死光為止。約瑟夫並不贊成，但為了求生存，他只好預先算好個位置，使得站上這個位置的約瑟尖在輪流次序中是最後一個人。桔果，約瑟夫終於避開了自投的命運。 我們好奇的是，在危急之時，約瑟夫如何冷靜地算出最後存活的位置，難道他有速算的公式？」 及民國 85 年第二十九屆台北市高中組科展優勝作品「天算不如人算」：(如附件三 ) 並在網上瀏覽台師大數學系網站時，發現科學教育月刊通訊解題第 2035 題，傳錢幣問題有類似作法（其題如下） : （如附件四） n 個人圍成一圈玩戲， n 大於等於 4 ，首先他們依反時針方向依序編號為 1號、2號、… … n號。且讓每個人手上都有一枚銅板，遊戲規則如下：遊戲開始， 1 號拿一枚銅板給 2 號，然後 2 號拿二枚銅板給 3 號，接著 3 號拿一枚銅板給 4 號， 4 號拿二枚銅板給下一位，規定遊戲過程中，手上沒有銅板的人，他就自動出局，離開此遊戲，而遊戲繼續下去，如此依次拿一枚，拿二枚給下一位手上仍有銅板者。試證有無限多個 n 使這個遊戲最後僅剩一人，而其餘的人均出局。 我覺得此題目在傳遞過程中，隱藏了數學規律在其中，更使我有進一步深入研究的興趣。