數學科

對於任一矩形磚牆，為了尋找如何用1×2的磚塊砌成沒有瑕疵線磚牆的策略。本研究發現：一、可以畫出沒有瑕疵線的磚牆最小規格為5×6(奇數×偶數型)或6×8(偶數×偶數型)的磚牆。二、(一)、在p×q磚牆中(p為奇數、q為偶數)，若滿足條件p×q≧4p＋3q－8，則當此磚牆被1×2的磚塊填滿時，必可以排出沒有瑕疵線的磚牆。(二)、在p×q磚牆中，(p、q皆為偶數)，若滿足條件p×q≧4p＋4q－8，則當此磚牆被1×2的磚塊填滿時，必可以排出沒有瑕疵線的磚牆。三、對於一奇×偶或偶×偶的磚牆(最小規格分別為5×6或6×8)，必有策略可以畫出沒有瑕疵線的圖形。

「點燈」益智遊戲，要想辦法讓所有的格子變亮，但點亮的方式必須遵循一個法則，即點亮一個燈時，周遭緊鄰的格子也都會亮起或熄滅，依其原本明暗狀態而變化。二維平面的點燈技巧，經過參考相關資料及嘗試，很快便能掌握，但是較為複雜的三維立體空間點燈，更引起我們的興趣。藉由這次的探討，我們發現立體點燈和平面點燈是有關聯性的，而且解法都具有規律。只要整理出規律，便能推算出同類圖形的解法，輕鬆掌握立體點燈的技巧。

在這次的研究中，我深入的研究三種結論：第一，路徑的步數和最大公因數有關。第二，圖形最後會回到起始點，之後路徑就會重覆。第三，如果起始點不同，圖形看起來似乎不一樣，但是實際上是有關聯的。而在同一個棋盤中所有的圖形數也和最大公因數有關。而且，很多圖形看起來好像是無關的，但是我歸納出7種基本圖形，所有的圖形都是這7種圖形延伸和擴展出來的。最後，在棋盤中，不同的起點會出不同的圖形，當然有些是相同的。我也發現到不同起點但是圖形相同也有規則，剛好形成S形的排法。這些結論其實和線對稱有很大的關係，利用線對稱的想法可以解釋出很多規則。而且，所有的棋盤可以看作是某一個正方形棋盤的延伸。

由於螢幕保護程式產生的有趣立體圖形動畫，引發我的興趣想進一步探討是否可以以數學為工具處理大量的圖形運算取代卡通式的貼圖進而探討剛體的運動及其 3D 動態式模擬。

利用正因數的方式，將指定的數列取完，不能再取者敗。例如：一、單線形規則規則：在一直線上給定ｎ個球，甲乙兩人分別先後依序由左而右拿ｎ的正因數個球(本身除外)，不能再取球者敗。二、多線形規則規則：在ｍ直線上給定ｎ個球，甲乙兩人分別先後依序由左而右拿第╳排ｎ的正因數個球(本 身除外)，且不許跨線，一次只能取一列中的球，不能再取球者敗。

有一次美勞課時，要把色紙分成五等分，起先並沒有去測量它，就拿剪刀大約的剪下去，剪完後一比較，才發現每塊都不一樣大，「哎！真慘！白白浪費了一張色紙。」因此引起我和同學研究等分圖形的興趣，並且擴大範圍，研究一切有關切割的問題，還請老師從旁指導。

從『黃金矩形』的邊長比值中，發現了一個很特別的現象，就是一對具有小數點後的每一個對應的數字都一模一樣的無理數；又從對此數字的研究中，聯想到這樣的一對數是否與某種特殊矩形的邊長比有關。我們將這類特殊矩形命名為『K金矩形』，而『K金矩形』的邊長比具有很多特殊的性質，將它們表示成『繁分數』或『無窮根式』，都具有很美的型式；另外就像『黃金矩形』對應於『費氏數列』，『K金矩形』的邊長比也可以找到一個類似『費氏數列』的數列來與之對應。

對於集合 S={k,k+1,…,k+3n-1}，考慮其所有三元子集的劃分，我們研究在其中所有子集皆含有的一致性：鈍角三角形。文中給出了對於初始值 k 尋找 n 的方法，並證明其存在性。對於所有 k 我們都能給出 n 的下界，並且發現這下界其實是相當緊的，如果能給出遞增性並且將極小值都構造出來，我們即可將所有 n 最小值之上下界差皆壓至1。在文末我們期望能夠從解析方面來對這問題進行更深的剖析，所以對於一類鈍角三角的的劃分方式給出了其必要條件的限制，並且同時作出關於全體鈍角三角形的等價類分組方式。

在平面三角形的性質中， 有面積公式：；三角形的正弦公式：；餘弦公式：；外接圓半徑和內接圓半徑等等。如果把這些性質類比到空間四面體中會是什麼樣的形式呢？以下就是我們的探討過程。

評審想在一群猴子參與的完美競賽活動中，評比出最完美的前三名；由於受到量化問題與環境等因素，不得不採用兩兩比較的方式時，評審們至少需要作幾次的評比工作，才能選出前三名最完美的猴子呢？