數學科

我國由於經濟快速生長，現有公路不敷需要形成各地區交通壅塞狀態。政府為解決公路運輸之阻塞，自民國五十九年開始設計興築南北高速公路，並於民國六十二年分十三段分別施工，預定民國六十七年十二月全線完工通車。（註一）在高速公路全線未完工前，為加強疏導已完工路段之交通，分段提前通車，但每分段提前通車均造成該地區之交通擁擠（註二）。由此可知高速公路縮短了都市間之交通距離，但造成臨近交流道都市之交通阻塞問題。再者社會繁榮，國民所得提高，車輛急速增加，易造成交通擁擠。高速公路定於六十七年十二月全線完工通車。為使各交流路臨近都市未雨綢繆，設法疏導進出交流道車輛暢通而引起本研究之動機。

近幾世紀以來，由於工業革命的成功，金屬材枓在我們的生活中造成了舉足輕重的影響，在我們周遭一定不難教現金屬的蹤跡。大多數的金屬在大氣中或腐蝕介質中，因它們的熱力學性質是不穩定的，有自發腐蝕破壞的傾向。而台灣位於亞熱帶地區，氣候潮濕且高溫，又近年來由於工商業發達，工業及汽機車廢氣造成了普降酸雨，使建材和機具皆暴露在惡劣的環境中，影響建築及公共安全問題甚巨。因此研究腐蝕及防護腐蝕，不單是科學技術問題，更是關係到保護資源、節約能源、保護環境、保證安全生產的重大社會問題相經濟問題。

Hex遊戲是由諾貝爾經濟學獎得主納許(John Nash)在就讀研究所時所發明的一種圖形連接遊戲，本研究探究hex遊戲的獲勝技巧，同時初步探究hex遊戲的數學原理，包括hex棋盤的垂直座標表示法，同時根據此法來分析自創圖形連接的八種遊戲，如飛箭渡河(未改良前版本及改良後版本)、三角為王、六魔王、鑽石達令、家家樂、太陽笑臉及薇薇彩帶遊戲。 將遊戲棋盤使用垂直座標表示法表示之後，能清楚地了解圖形連接遊戲棋盤是由兩類基本圖形(三角形和四邊形)所擴展而成的，將六種自創遊戲、三種常見的連接類遊戲(傳聲筒、傳紙條和O×遊戲) 使用垂直座標表示法來分類之後，驚訝地發現自創遊戲棋盤中的家家樂遊戲和hex遊戲的結構相同，使得難度和玩法相近。

在上美勞課時，老師要我們用紙黏成「?球」，我黏了好幾次，發現面都不夠，一再重做，浪費了很多時間。因此，到下課我始終沒有做好一個漂亮的，我很急但是沒有辦法。\r 回到家我想起來，去年我做科展時，發現任何一種平面的形狀，它「頂點的數加面的數減邊的數都等於1」。這種情形，不知道能不能用在做「?球」上，而它會有不同的變化嗎？我向老師提出這個想法，繼續我的研究。

在此次的研究中，藉著製作動態幾何構圖(GSP)來觀察橢圓夾在兩軸間滾動、橢圓在平面上滾動、橢圓繞橢圓所形成的圖形，以期發現其中的規律及性質。

我們定義『驚奇的數』是指一個完全平方數a2，其中a∈N，若 Σn，恰為另一個完全平方數時，則稱a2為『驚奇的數』。本研究是找出哪些以驚奇的數為邊長的三邊形數是平方數。將問題轉換成連續股的直角三角形問題後，發現：當an2為驚奇的數時，滿足二階遞迴式為an=6an-1-an-2。本研究亦推廣上述結果，利用Pell方程式與矩陣計算來求哪些邊長的p邊形數亦同時為四邊形數。處理方法分為兩類：一類可以使用矩陣計算來討論，已討論出附帶方程式部分的初始解情形。另一類無法使用矩陣計算，利用因式分解的技巧處理，發現與切比雪夫多項式有著密切關係。

平分多邊形的的面積是常見的研究題材，要平分周長也容易，但要同時平分兩者，就須思考與探討了。本件作品的研究方向以計算證明著手，分別列出平分面積、周長的方程式，再利用一元二次方程式求聯立方程式的解。並從判別式與解的範圍，來探討可做出幾條平分線，並利用餘弦定理求平分線的最小值。由此可得知平分線的位置與最小周長的值。

繼去年我們以長、寬分別為 a 、 b 的平面撞球檯，在新竹市參加展覽之後。今年我們想更進一步的將其推廣成長、寬、高分別為 a、 b 、 c 的立體撞球檯，並嘗試用新的方法推導研究平面（二維）及立體（三維）撞球移動情況及相關的數學結果。

有一天，無意間在報紙上發現了這個令我百思不解的問題，因為好奇心的趨使，我們開始了這項研究。

本研究主題主要在探討在一平面上給定 n 條直線 L1 、 L2 、 L3 … Ln ，若有一點 P0 ，作關於 L1的對稱點 P1 。 P1 又作關於 L2 的對稱點 P2 ， P2 又作關於 L3 的對稱點 P3 ，…， Pn-1 又作關於 Ln 的對稱點 Pn ， Pn 又作關於 L1 的對稱點 Pn+1 ，如此反覆對直線 L1 、 L2 、 L3…Ln 對稱點 P1 、 P2 、 P3 …，Pm ，在什麼條件下 Pm 會和 P0 重合。這個問題是起源於三角形復原問題：已知三角形三邊的中垂線，要如何作出此三角形呢？我們知道中垂線其實就是兩個頂點的對稱軸。因此，要作出此三角形，如果能先找到這個三角形的一個頂點當作起始點，然後依序對這三條中垂線（對稱軸）作出對稱點，而能再回到起始點，就可以作出此三角形。我先從二條、三條、四條直線的情形開始研究，再逐步推展到一般的 n 條直線的情形。在研究過程中，從線對稱性質，分析四條直線情形，發現任一點依序對四條直線作線對稱，可以簡化成依序對二條直線作線對稱。這個重要性質，對 n 條直線連續作線對稱可依 n 為偶數或奇數化簡成對 2 條或 3 條直線作線對稱。因此再回頭分析 2 條以及 3 條直線的情形後，發展出一種雙重起始點測試法，對給定 n 條直線，會重合到起始點的的條件以及作圖法。這種化繁為簡的方法，完整的解決了 n 條直線的複雜問題。