數學科

有鑑於國小學生剛升入國中對於立體觀念之生疏二年級學生在"開方"學習上失去信心及國三學習低成就者在邏輯推理上之困遇引發了研究動機。

本文探討的問題是相同的正六邊形(蜂窩)所構成平面之染色問題，在同色不相鄰與相同顏色中心點距離皆相同的條件下，探討可用幾種顏色將蜂窩圖塗滿，其中運用「骨架」的概念並引入斜角座標解決問題，並將其推廣至地磚圖形的染色問題上。

分水遊戲是一個許多同學都聽過、玩過的遊戲，許多科展競賽（註1）或科學叢書也常能看到相關的命題出現。它的玩法很簡單，主要是利用二個不同的水桶，在反覆的傾倒後，產生我們要的水量。剛開始，我研究的目的，本來只是想考倒同學，哪知道同學比我厲害，反而是我被考倒了，因此激勵我做更深入的研究。於是在改變許多外加的條件後，對該命題作加深加廣的研究，也獲得了許多嶄新的發現：1. 在加廣部分：我改變了桶子的數量及種類，也改變了內容物的種類及判別性，並且求出相對應的解。2. 在加深部分：我詳細的探討了水池大小與總水量的關係，以及總水量的不同，造成解的變化情形。3. 在創新發現部分：一個是”虛擬刻度”，一個是跳格子解法，而這二個全新的發現，使這類問題變的簡單且有趣，這是讓我感到最自豪的！

本研究主題主要在探討在一平面上給定 n 條直線 L1 、 L2 、 L3 … Ln ，若有一點 P0 ，作關於 L1的對稱點 P1 。 P1 又作關於 L2 的對稱點 P2 ， P2 又作關於 L3 的對稱點 P3 ，…， Pn-1 又作關於 Ln 的對稱點 Pn ， Pn 又作關於 L1 的對稱點 Pn+1 ，如此反覆對直線 L1 、 L2 、 L3…Ln 對稱點 P1 、 P2 、 P3 …，Pm ，在什麼條件下 Pm 會和 P0 重合。這個問題是起源於三角形復原問題：已知三角形三邊的中垂線，要如何作出此三角形呢？我們知道中垂線其實就是兩個頂點的對稱軸。因此，要作出此三角形，如果能先找到這個三角形的一個頂點當作起始點，然後依序對這三條中垂線（對稱軸）作出對稱點，而能再回到起始點，就可以作出此三角形。我先從二條、三條、四條直線的情形開始研究，再逐步推展到一般的 n 條直線的情形。在研究過程中，從線對稱性質，分析四條直線情形，發現任一點依序對四條直線作線對稱，可以簡化成依序對二條直線作線對稱。這個重要性質，對 n 條直線連續作線對稱可依 n 為偶數或奇數化簡成對 2 條或 3 條直線作線對稱。因此再回頭分析 2 條以及 3 條直線的情形後，發展出一種雙重起始點測試法，對給定 n 條直線，會重合到起始點的的條件以及作圖法。這種化繁為簡的方法，完整的解決了 n 條直線的複雜問題。

有次在上課的時候上到了三角形，回家後我們就開始想， △ 有一個三角形，有五個三角形，有十三個三角形，但是層數越多就越不好算，因此我們想找出簡便的方法。

在此次的研究中，藉著製作動態幾何構圖(GSP)來觀察橢圓夾在兩軸間滾動、橢圓在平面上滾動、橢圓繞橢圓所形成的圖形，以期發現其中的規律及性質。

在切割了許多的圖形後，我們發現比較簡便而有趣的切割方法！我們嘗試透過特定的數學方法，找出有規律或固定模式且通用的切割方法來歸納、簡化切割的做法。整理、推論出可能的方法（邊連邊法、放射法、分枝法、夾心法）和結果數的規律並說明我們所用的方法是否正確。

有一天，無意間在報紙上發現了這個令我百思不解的問題，因為好奇心的趨使，我們開始了這項研究。

平分多邊形的的面積是常見的研究題材，要平分周長也容易，但要同時平分兩者，就須思考與探討了。本件作品的研究方向以計算證明著手，分別列出平分面積、周長的方程式，再利用一元二次方程式求聯立方程式的解。並從判別式與解的範圍，來探討可做出幾條平分線，並利用餘弦定理求平分線的最小值。由此可得知平分線的位置與最小周長的值。

這次科展我的主題是──平衡中心的研究，這是延續我國三時的科展──「垃圾處理場的位置問題──平衡中心的研究」而來的。 問題是：已給定空間中 N 個相異點 Ai， i = l , 2 ， ……， N ，求一點 P0，使得 這個問題的來源是：在一平而上有幾個城鎮，位於 A1 , A2 , …… AN，要共同設置一個垃圾處理場。設場的費用是一定的，而設立之後的費用一一運費，則和與諸城市之距離和（及垃圾重量）成正比。場址 P 應設何處方使運費最少？運費就是（ P ）。 這個問題並不好做，我只做出城鎮都在一直線上的等權、（垃圾等重）不等權情形，三鎮、四鎮（不共線）的等權情形，及附帶的，假設運費與距離平方正比時之情形。 現在上了高中，學到三維的空間，於是我們應該將平面上的城鎮推廣為空間中的鎮，即諸 Ai不必共面！ 在平面的情形中，等權三鎮情形最是有趣，所以我主要做的，也是比較可能做的，是空間中等權四鎮的情形。