數學科

我們發現三角形重心之垂足三角形的近似重心，會落在原三角形的尤拉線上。由於此心未編錄在EncyclopediaofTriangleCenters-ETC中，於是我們將此發現傳給ClarkKimberling，經確認後，此心於08/05/31編錄至ETC中，編號為3363。在本文中，我們找到與此新心有關且未編錄在ETC中的某些點會共線，及某些線會平行之有趣性質。

在數學思考這本書中，提到一個關於矩形對角線的問題：「方格紙上畫一個三格乘五格的長方形，並且連起一條對角線，有多少方格和對角線接觸﹖」本篇研究除了將邊長為正整數之矩形的情形一般化外，同時也將結論推廣至邊長為實數之矩形，更近一步地將對角線推廣至有寬度的「線」，並導出有系統且漂亮的規則與一般式。除此之外，我們更利用將立體空間問題轉換成平面模式的方式，將二維的情形推廣到三維空間之情形，並且由對角直線延伸出任意曲線的解題原理。

從直角△斜邊上的各等分點，對直角頂依序做1倍、2倍…等的長度投射，得一連串投射點，觀察投射點形成的軌跡，文中發現若投射倍率成等差時，投射出的各點軌跡必成拋物線，且發現投射倍率組合做縮放平移時，能保持投射圖形為拋物線。接著將相等的四段改成不一定相等的四段(N=4)，使投射組合的長度L≥4，從L=4到L=16做個全面性的觀察，得到的不只拋物線，還有很多不同圖形如雙曲線、橢圓、平行線、交叉直線和一點一線等，但沒發現圓，作者利用代數計算投射和幾何作圖投射畫出圓形。並利用找圓的概念，將N>4時的分段組合和投射倍率組合在指定的△中呈現出來。最後藉著改變投射倍率組合成級數狀，竟能將本文中涉及的所有投射圖形(N≥4)都轉成拋物線。

我國由於經濟快速生長，現有公路不敷需要形成各地區交通壅塞狀態。政府為解決公路運輸之阻塞，自民國五十九年開始設計興築南北高速公路，並於民國六十二年分十三段分別施工，預定民國六十七年十二月全線完工通車。（註一）在高速公路全線未完工前，為加強疏導已完工路段之交通，分段提前通車，但每分段提前通車均造成該地區之交通擁擠（註二）。由此可知高速公路縮短了都市間之交通距離，但造成臨近交流道都市之交通阻塞問題。再者社會繁榮，國民所得提高，車輛急速增加，易造成交通擁擠。高速公路定於六十七年十二月全線完工通車。為使各交流路臨近都市未雨綢繆，設法疏導進出交流道車輛暢通而引起本研究之動機。

過去曾碰到「正方形的內接正三角形」這樣的問題，基於好奇心，便對三角形之內接三角形產生濃厚的興趣，於是開始著手研究。我們的目的是在任意三角形的一邊上取一點，由這點出發，做出此三角形的內接三角形，並求出所有同類型的相似內接三角形之最小面積。

此研究乃從兩股差1 的勾股三角形 (3 ,4 ,5)開始，藉由勾股數的表達式(n2–m2,2mn,m2+n2)得一數對(m,n)=(1,2)。而我發現一遞迴關係式Sn+2Sn+1=Sn+2。令S1=1,S2=2 則可產生一條數列1 ,2 , 5 , 12 , …；取相鄰兩項如(2,5)、(5,12)、…等，則可找到其他兩股差1 的勾股三角形。Sn+2Sn+1=Sn+2 對於所有邊長為最簡整數比之勾股三角形皆適用。此外我發現任何互質邊長之勾股三角形的股差皆可寫成8k±1 的形式。接著討論股差與數列之性質。我找到一個合成法則，可以將股差分別是d1、d2 之兩條數列合成一條新的數列，且其股差恰為d1d2。另外我也找到共軛法則，來對同一股差的數列予以衍生。最後，將所有的數列集結在一起，便成了一網絡。在數列鐵路網建構完成後，我則推導出了一套原則，用以確認或預估數列的條數。在數列鐵路網建構完成後，我則推導出了一套原則，用以確認或預估數列的條數。

有鑑於國小學生剛升入國中對於立體觀念之生疏二年級學生在"開方"學習上失去信心及國三學習低成就者在邏輯推理上之困遇引發了研究動機。

一天上數學課時，老師介紹我們玩幾種跳棋遊戲，其中最受歡迎的就是“騎士問題”(Knight Question)一時風行全班，於是大家紛紛鑽研互相競賽，為求能贏過對方，我開始動手尋找騎士問題的各種特性，希望能夠由此找出各種階數的走法，並求出其快速解。

分水遊戲是一個許多同學都聽過、玩過的遊戲，許多科展競賽（註1）或科學叢書也常能看到相關的命題出現。它的玩法很簡單，主要是利用二個不同的水桶，在反覆的傾倒後，產生我們要的水量。剛開始，我研究的目的，本來只是想考倒同學，哪知道同學比我厲害，反而是我被考倒了，因此激勵我做更深入的研究。於是在改變許多外加的條件後，對該命題作加深加廣的研究，也獲得了許多嶄新的發現：1. 在加廣部分：我改變了桶子的數量及種類，也改變了內容物的種類及判別性，並且求出相對應的解。2. 在加深部分：我詳細的探討了水池大小與總水量的關係，以及總水量的不同，造成解的變化情形。3. 在創新發現部分：一個是”虛擬刻度”，一個是跳格子解法，而這二個全新的發現，使這類問題變的簡單且有趣，這是讓我感到最自豪的！