m 個杯口向上的杯子，每次翻轉 n 個，讓所有的杯子朝下最少需要翻轉幾回合？去年的全國科展有一優勝作品，探討的正是這類問題。經過研究，我發現該文因較缺乏系統性，沒有提出快捷翻轉杯子的策略，在未證明翻轉次數確實是最少的情況下，即從所得數據歸納最少翻轉次數的公式，所以沒有發現部份結論有誤。一般研究杯子翻轉的問題都是在每一回合計算正反杯的數量變化，可是當杯數和翻量變大，這種計算杯數差的方法會十分複雜。因此本研究創造了三種特殊且簡易的操作法，分別稱為折半法、對稱法及折半法+對稱法。文內將介紹如何用這幾種快捷的翻法解各類型翻轉杯子的問題，並證明所得的確實是最少翻轉回合數。最後，本研究還會討論以連續數翻轉杯子的延伸問題，並設計一些生活應用題，以推廣研究的結果。

去年，學長; 姐找我和幾個同學一起做科展，在過程中我愈做愈有趣。今年我決定再接再厲，而且為了延續這項良好的活動，找同學外我還找了學弟一起來做科展，我以去年的心得跟他們分享，他們聽完之後，很感興趣，我們便開始找題目來做。這時數學課正好在上怎樣解題的單元，老師出了一個翻杯子的題目:「有七個杯口朝上的杯子，每次翻動四個不同的杯子，要翻幾次才能把所有的杯子都翻成杯口朝下?」我們一開始拿了幾個杯子做做看。想不到，把我們搞得暈頭轉向，好難啊!但此時不服輸的細胞告訴我們不要放棄!我便跟學弟們說:在研究的過程中遇到瓶頸是常有的事情，不需要感到驚訝。有人提議說，既然遇到不會的，那就簡化問題吧!所以我們開始以下的研究過程!

本篇文章從”將βm1 +βm2 +βm3 分解成β1 +β2 +β3 ， β1 β3 + β2 β1 +β2 β3 ， β1 β2 β3 的非線性組合出發，令fm(a1, a2, a3) = βm1 +βm2 +βm3 ，m = 0,1,2,......，我們發現fm(a1, a2, a3)= ， i,j,k? N ∪{0}，代表 ai1 aj2 ak3且i+2j+3k=m 這一項的係數，在空間座標中，標記在(i,j,k)點上，結果得到許多類似巴斯卡三角錐圖形的相關性質。而 的絕對值在 k=0 時的圖形，是一個 Lucas 三角形 ，因此我們稱 的圖形為”有符號的Lucas 三角錐”。 在探討巴斯卡三角錐 和”有符號的Lucas 三角錐”在X-Y 平面上的奇偶性圖形時，結果竟然發現只要把巴斯卡三角錐的奇偶性圖形往 X 軸正向移動1 單位就能和”有符號的Lucas 三角錐”的奇偶性圖形全等，這使我們更想知道巴斯卡三角錐與”有符號的Lucas 三角錐”在空間中的奇偶性圖形之間的關係。 最後我們將 的相關性質推廣到四維的情形。

近幾世紀以來，由於工業革命的成功，金屬材枓在我們的生活中造成了舉足輕重的影響，在我們周遭一定不難教現金屬的蹤跡。大多數的金屬在大氣中或腐蝕介質中，因它們的熱力學性質是不穩定的，有自發腐蝕破壞的傾向。而台灣位於亞熱帶地區，氣候潮濕且高溫，又近年來由於工商業發達，工業及汽機車廢氣造成了普降酸雨，使建材和機具皆暴露在惡劣的環境中，影響建築及公共安全問題甚巨。因此研究腐蝕及防護腐蝕，不單是科學技術問題，更是關係到保護資源、節約能源、保護環境、保證安全生產的重大社會問題相經濟問題。

有一次美勞課時，要把色紙分成五等分，起先並沒有去測量它，就拿剪刀大約的剪下去，剪完後一比較，才發現每塊都不一樣大，「哎！真慘！白白浪費了一張色紙。」因此引起我和同學研究等分圖形的興趣，並且擴大範圍，研究一切有關切割的問題，還請老師從旁指導。

一天上數學課時，老師介紹我們玩幾種跳棋遊戲，其中最受歡迎的就是“騎士問題”(Knight Question)一時風行全班，於是大家紛紛鑽研互相競賽，為求能贏過對方，我開始動手尋找騎士問題的各種特性，希望能夠由此找出各種階數的走法，並求出其快速解。

填填圈是一個常見的數學遊戲，規則是在一個三角形的每一邊畫上三個圈圈，並在圈圈內分別填入數字1～6使每邊數字和相等，我們討論了四邊形、五邊形、六邊形（規則不變）和可用數字範圍加大的進階版三、四邊形，以及每邊和與每邊平方和都相等的三、四邊形。普通版的研究我們找到一種適用於三、四、五、六邊形的快速刪解法稱作「三數字消去法」與「雙三數字消去法」，另外我們還發現普通版和進階版的填填圈均有「互補關係」，只要找出一半的答案，便能推出另外一半的解答。最後還發現只要找出一組答案便能以等差推出無限組其他的解答，稱為「平移關係」。以及找出所有奇數邊放入連續整數時必有的一解與排法。

一、利用電腦或媒體做出實驗的一些數據或圖形，從中觀察出規律，再加以數學的歸納與演繹，得到很不錯的事實或定理。 二、作品參考資料逐漸地做得比較好了，但仍有不週之處。 三、學生表現比以前大方得多，較能掌握面談的訣竅，就是如何呈現你的作品，刻板的背誦較少。 四、件數較往年為多，顯現能有一些喜歡數學的學生。有些高中生雖不以數學為升學志向，但數學能力不錯。

從『黃金矩形』的邊長比值中，發現了一個很特別的現象，就是一對具有小數點後的每一個對應的數字都一模一樣的無理數；又從對此數字的研究中，聯想到這樣的一對數是否與某種特殊矩形的邊長比有關。我們將這類特殊矩形命名為『K金矩形』，而『K金矩形』的邊長比具有很多特殊的性質，將它們表示成『繁分數』或『無窮根式』，都具有很美的型式；另外就像『黃金矩形』對應於『費氏數列』，『K金矩形』的邊長比也可以找到一個類似『費氏數列』的數列來與之對應。

本文利用尺規作圖的技巧求作三角形的第一型及第二型內接三角形，並擴展到任意凸多邊形。在第一型內接多邊形上找出其解的範圍，在第二型的順逆兩個內接圖形上，發現其解部分有共圓現象，部分有共橢圓或雙曲線的現象，直角△中有更多有趣的特性。關於正多邊形的第一型及第二型內接多邊形的尺規作圖，本文找到快速的畫法，並發現其解有許多特性。