數學科

寒假作業中，有一個題目： 已知1/4=(1/甲)+(1/乙)，其中甲是比乙小的整數，求甲和乙。 我的答案是1/4=(1/5)+(1/20)，也就是甲=5，乙=20，心瑩的答案卻是甲=6，乙=12 。驗算起來，兩個人都沒有錯。於是我們一起去請教老師。 原來的題目是1/3=(1/A)+(1/B)，A和B是不等的整數。查答案，只有：A=4，B=12。也就是1/3=(1/4)+(1/12)，而沒有其他答案了。我們都覺得，這個題目和原數的分母有很大的關係。就在老師的指導下，進行更深入的研究。

一、利用電腦或媒體做出實驗的一些數據或圖形，從中觀察出規律，再加以數學的歸納與演繹，得到很不錯的事實或定理。 二、作品參考資料逐漸地做得比較好了，但仍有不週之處。 三、學生表現比以前大方得多，較能掌握面談的訣竅，就是如何呈現你的作品，刻板的背誦較少。 四、件數較往年為多，顯現能有一些喜歡數學的學生。有些高中生雖不以數學為升學志向，但數學能力不錯。

我們這次的作品是探討一個撲克牌遊戲－抽鬼牌，其規則如下：一副撲克牌五十二張，外加兩張鬼牌，共五十四張，隨機發牌給二人各二十七張，發完牌後手中的牌同樣點數的兩張必須要丟出，之後兩人輪流抽對方的牌，且抽完牌後一旦手中有同點數的牌就必須丟出；玩到最後，一方手中沒有牌的人為贏家、另一方手中剩下兩張鬼牌的人為輸家。我們的目標是求出拿到各種不同牌型時，贏的機率是多少，最重要的是：找到這個撲克牌遊戲之贏的機率的函數。在求的過程中，我們一開始先畫牌組的樹狀圖並計算贏的機率，觀察機率的值，試圖找出其規律；後來由樹狀圖發現了牌組和牌組之間的遞迴關係，於是我們開始想辦法解遞迴數列，其難度甚高，讓我們苦惱了好一陣子，很高興能堅持到最後，完成這份作品。

1. 將 cos nθ以cosθ 形式依高次降羃排列展開，觀察各項係數，找尋其變化規律，進一步求得各項係數的一般項公式。2. 將 sin nθ以sinθ 形式依低次升羃排列展開，觀察各項係數之變化規律，進一步求得各項係數的一般項公式。3. 找出cos nθ 與cos(n-1)θ，cos(n+1)θ 之間的關係式。4. 找出sin nθ 與sin(n-1)θ，sin(n+1)θ 之間的關係式。5. 利用cos nθ 的係數間的遞迴關係，找出其相對應的特徵方程式。

本文是從一個正三角形的內切圓切線所延伸出來的數學問題，假設O為正△ABC的內切圓圓心，在靠近頂點A附近的弧上選一點 ，過P作圓切線，並與AB,AC交於D,E兩點，我們發現當P恰好落在AO上時，可得AD/DB+AE/EC=1，後來又發現即使P在AB, AC兩條切線範圍內的弧上游走，仍然有AD/DB+AE/EC=1的性質。過程中我們將正三角形延伸至正方形、正n邊形都發現依舊保持等於1的性質，接著我們考慮任意三角形或任意四邊形是否依舊保持等於1的性質，我們利用仿射變換及射影變換來處理這些情形，以下就是我們的研究成果。

一、作品與教材的相關性 我們在翰林版國中數學課本第一冊第三章「數與型的規律」單元中，學習到「數型規律」，也在第三章第四節例題2 中學習到三角數，在自我評量第4 題中學習到四角數。 二、作品的研究過程與展望 本組以「數形規律性」作為數理資優班研究主題，又在美國AMC8 數學測驗書中找到有趣的「方格著色」問題，我們研究該問題的解法，發現應用了我們在課本所學到的三角數知識。我們將原題的行數延伸為2 至n 行，研究其可行解。又將著色方法改變，使著色格為四角數、五角數至多角數，並應用整數同餘觀念研究其可行解。也推廣找出二階等差數列之可行解，且整理出一些規律，並以直接證題法、矛盾證題法、數學歸納法來證明結果之正確性。還發現利用我們的研究結果可運用在密碼學上，我們將做為未來的研究方向。

從一份「發現」科學月刊中，一位宋朝數學家丁東易＜大衍索隱＞三卷中的下卷「九宮八卦綜成七十二數河洛書圖」，簡稱「九宮八卦圖」。依其規則創造、分析，探索出許多有趣的數學內涵及新奇發現，而瞭解到雖然外表看似神秘莫測，且距今兩千多年的【丁東易九宮八卦】，藉著數學的這把利刃，我們從中探究其內涵。創造出屬於自己的「九宮八卦圖」。

本研究主要以正三角形作為基本單元，透過窮舉討論得到正三角形邊的作用方式只有五種，再經由排列組合歸納出 11 種正三角形密鋪磁磚設計方法。進一步，運用我們的研究結果，配合數學簡報系統製圖，創作新圖樣，也彌補了 Escher 在手繪時所造成的誤差，達到完全密鋪的效果。碎形磁磚的部份，我們也依據其背後的數學理論創作幾套結構圖，利用結構解析，碎形密鋪磁磚將變得十分容易，學習者將可輕鬆製作富有創意的新圖樣。

本文探討的問題是相同的正六邊形(蜂窩)所構成平面之染色問題，在同色不相鄰與相同顏色中心點距離皆相同的條件下，探討可用幾種顏色將蜂窩圖塗滿，其中運用「骨架」的概念並引入斜角座標解決問題，並將其推廣至地磚圖形的染色問題上。